關于新課標將《九章算術》列入數學教材的思考

為貫徹落實《國家中長期教育改革和發展規劃綱要（2010-2020年）》，深化基礎教育課程改革，教育部對義務教育階段各學科的課程標準進行了修訂。修訂后的課程標準有很多方面的變化。其中，數學課程標準的一個重要變化是建議將《九章算術》列為教材內容[1]。本文試就《九章算術》融入數學教材這一主題進行論述，實際探索以《九章算術》為代表的古代算經與新課程的整合方式及其教育價值。

筆者首先查閱了現行人教版、北師大版、華東師大版等三個版本的初中、高中實驗教材，發現以《九章算術》為代表的我國古代算經中的問題已經在這些教材中占據了一席之地。相比之下，各版本初中數學教材中古算題數量較多一些，分別為北師大版（21道），人教版（11道），華東師大版（4道）。高中教材中，僅有的如北師大版高中教材必修3中的“韓信點兵”，蘇教版教材必修3中的“百雞問題”等。調查發現，新教材所涉及的古算題數量較少，而且僅僅在“勾股定理”等內容上才有所涉及。顯然，對于這些古代算經的使用還有待進一步開發。

一、《九章算術》史述

《九章算術》是中國古典數學最重要的著作，也是我國現存最早的數學專著。《九章算術》因全書共有九章而得名，九章的章名及所指用途如下：方田一以御田疇界域；粟米一以御交質變易；衰分一以御貴賤察稅；少廣一以御積冪方圓；商功一以御功程積實；均輸一以御遠近勞費；盈不足一以御隱雜互見；方程一以御錯揉正負；勾股一以御高深廣遠。全書共包括246個應用問題，近百條一般性的抽象公式、解法，涉及算術、代數、幾何等多方面的知識。具體來看，“方田章”講述四畝面積的計算，結合這種需要，系統地介紹了分數的加、減、乘、除四則運算，化帶分數為假分數，以及求幾個分母的最小公倍數的方法。根據現有的史料，《九章算術》是世界上最早記載分數運算法則的文獻。歐洲人到15世紀才掌握這些法則。“粟米章”研究各類糧食的交換。“衰分章”提出比例分配法則，稱為衰分術，討論按比例分配賦稅與徭役。“均輸章”用衰分術解決賦役的合理負擔問題。今有術、衰分術及其應用方法，構成了包括今天正、反比例、比例分配、復比例、連鎖比例在內的整套比例理論。西方直到15世紀末以后才形成類似的全套方法。“盈不足章”根據兩次假設所得出的盈余或不足，來推算問題的答案，它是我國古代數學的又一項創造，后來歐洲人就把它叫做“中國算法”。“少廣章”介紹籌算開平方與開立方，其中也包含了分數的內容。“商功章”專門解決筑城、開渠等土木工程中所提出的各種體積計算問題。“勾股章”論述勾股定理和相似的直角三角形。并且提出了二次方程的籌算解法，這是世界上運用一定的算法求解二次方程的最早記錄。“方程章”詳細地研究了一次方程組的解法，引進了正負數的概念及其加減運算法則，這是我國古代數學中兩項非常杰出的成就。在這一章里，共收集了18道涉及實際應用的多元一次方程組的問題。我國古代解這類問題的方法（“方程術”）是把方程各未知數的系數與常數項用算籌依次按“直行”排成一個“方程組”，然后通過行的數乘與行、行之間的加減，逐個消去未知數，得到“方程組”的解。這些思想及形式，可以無愧地稱之為近代高等代數中“矩陣”概念和“線性方程組矩陣解法”的先聲。《九章算術》的出現，標志著我國古代數學體系的正式確立。自隋唐之際，《九章算術》已傳入朝鮮、日本，后期又經印度和阿拉伯傳播至歐洲，現在更被譯成多種文字。可以說，《九章算術》不但對我國的數學發展奠定了優良的傳統，對世界數學的發展也有著重要的貢獻。

二、《九章算術》與數學教育的整合形式分析

1.直接將《九章算術》中的古算題作為例題、習題使用，呈現原題、翻譯及注解

對現行數學教材的調研發現，教師對古算題的呈現、處理和一般習題沒什么兩樣，在很大程度上忽視了古算題在數學思想方法、育人等方面的教育功能。結合對新課標的解讀，我們認為《九章算術》與新教材的融合應著重體現數學思想方法和數學文化兩個層面的教育意義。因此，《九章算術》在新教材中的呈現應圖文并茂，既有原文的文化底蘊，又為了便于學生理解，還要有現代白話文的解釋；既要呈現原書的解答過程，又要呈現出解題的思路—“術”。下面以《九章算術》“盈不足章”問題1為例進行說明。問題如下：“今有共買物，人出八，盈三；人出七，不足四。問人數、物價各幾何？答曰：七人，物價五十三”。術曰：列出所出率，盈、不足之數各在其下方。令盈、不足數與所出率交叉相乘，所得之數相加作被除數。將盈、不足之數相加作除數。除數除以被除數得一結果。若有分數，要通分。盈、不足若與“同買物”相關，列出所出率，以少減多，用所得余數去約除數、被除數。被除數約后為物價，除數約后為人數[3]。在此基礎上，應在解題進行的同時，逐句理解“術”及后世數學家的“注釋”的本質，然后將“術”及“注”用現代文翻譯出來，在此基礎上，遵循波利亞的解題四步驟，在“檢驗回顧”的同時加深對解題思維的理解。

2.以古算題為背景的考試題

以古算題為背景的試題的編制主要有以下幾種方式：一是直接選用。命制試題時要特別注意試題的取材，要量力而行不能糾纏細枝末節，所涉及的知識點應屬基礎知識且要服務于能力考查。二是將古算題稍加設計或簡化情形或保留其思路和方法。可以將一些基礎知識和基本方法嫁接在所要使用的古算題上，也可以通過古算題將相關的基礎概念、基本結論、重要性質和方法等有機地組合在一起，以擴大知識覆蓋面。命制的試題應在能力目標的要求范圍內，有效地利用古算題讓這些知識點能夠整合得自然流暢。三是以古算題為素材，對其進行推廣。對古算題的推廣主要是對所要利用的古算題的條件、結論或者證明思路進行整合或調整。可以拓寬條件得到一般的結論，也可以對結論進行合理的修改成為探索性的試題，亦可同時變更古算題的條件及其結論從而得到更一般的兼具開放性和探索性的研究性試題。

此類試題最直接地就是能夠調動中學數學教師積極地在課堂里滲透數學文化。它拓寬了數學試題命制思路，有效避免了數學試題命制模式化。這一類型的試題能夠客觀地檢測學生猜測、歸納、類比、推廣等數學思維水平；能夠有效地檢測學生運用所學的知識和方法在古算題情境中分析、解決問題的能力；能夠間接地檢測學生的后續學習能力；能夠適當地檢測學生遇到陌生的數學語言和符號時的應變能力和心理素質。

三、以《九章算術》為代表的古代算經的教育價值分析

1.激發學習興趣，激勵成就動機

縱觀現今的數學實驗教材的內容體系編排，呈現在學生面前的數學只是一個孤零零的“骨架”，使得原本活生生的、有血有肉、富有文化意蘊的、鮮活的、生動的數學知識被淹沒在數學課程的形式化、結構化、演繹性的體系之下。一般來說，古算題立意廣泛，大都切實反映了那個年代人們的衣食住行以及社會的民風、民俗等特征。此類問題融入課程勢必會激發學生對數學的熱愛，對數學的好奇心，讓學生以一種平和、積極的心態來學習數學、欣賞數學、理解數學。

歷史上各個時代的古算題的提出都是為了解決當時的實際問題，《九章算術》中的問題涉及現實生活中的糧食比例折換、工程分配、合理攤派賦稅、土地面積丈量等現實問題。這些問題本身或者直接提供了相應數學內容的現實背景，或者揭示了實質性的數學思想方法。而且許多古算題的求解歷經多位不同時代的數學家的演繹，這會讓學生感到他正在解決一個曾經被數學家探索過的問題，學生會感到一種智力的挑戰，也會激發學生無限的潛能，這有利于激發學生的主動學習態度和成就動機。

2.展示數學文化，培養學生的情感、態度、價值觀

如上所述，古算題的提出及解決都是為了解決當時社會的實際問題，涉及社會生活的方方面面，諸如糧食囤積、房屋建造、商業貿易、市場買賣、天文歷法、戰爭等。因此，古算題在一定程度上反映了各個時代的人們關注的熱點問題，因而古算題本身就包含著豐富的社會文化信息，古算題題設的字里行間也充滿著濃郁的人文色彩和寶貴的非物質文化遺產。在此試舉幾例，以期引起讀者的共鳴，激發一線教師的對于古算題的開發欲望。

問題1：廬山山高八十里，山峰頂上一粒米，黍米一轉只三分，幾轉轉到山腳底？（選自明程大位《算法統宗》）之“粒米求程”）[4]

本題是說廬山從山頂到山腳有一條80里長的道路，山頂上有一粒黍米，滾動一周，行程3分，問沿著這條路滾到山腳底，共轉了多少周？這是一個明代的題，取明朝的度量制度，1步為5尺，1里為360步。其實問題本身很簡單，但借用“黍米”來命題卻與我國度量衡制度形成的歷史背景有關。數學源于生活，度量衡制度的建立也是生活的需要。在歷史上，黍米是用來作為建立度量衡制度的“標準參照物”的。[2]《說苑·辨物篇》：“度量權衡，以黍生之。十黍為一分，十分為一寸，十寸為一尺，十尺為一丈。”學生從本題可以體會到，我國以農立國，度量權衡，無一不與農業有關，也可以了解到有關度量衡單位之間的換算。

再看下面幾個例子[5]：

問題2：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺。問折者高幾何？（《九章算術》之“竹折抵地”）

問題3：竹高十八尺，為風吹折，竹尖抵地，離根六尺，求兩段之長。（印度婆羅摩及多，620年）。

問題4：一矛直立水中，出水三尺，風吹矛沒入水中，矛尖恰在水面上，矛尾仍在原位，矛頭與原位相距5尺，求矛長。（阿爾卡西《算術之論》，1427年）

上述三個問題都是有關勾股定理的應用，其出處、文獻的年代都相距甚遠，這體現出全世界范圍內對于勾股定理及其應用的關注。三個問題中，印度婆羅摩及多的問題2的表述近似于問題1的“竹折抵地”，且《九章算術》的成書年代遠遠早于婆羅摩及多的著作，再結合我國古代社會與國外的交往情況，不排除這可能是《九章算術》等古代算經流傳國外，再由國外的學者編譯而成的題目。這可以被認為是不同社會文化在數學知識方面相互借鑒和轉化的典范。通過設置并合理使用這些頗具代表性的古算題，可使學生獲得社會歷史文化與數學思維的雙重熏陶，進而獲得數學認知活動的文化意義。

3.呈現一題多解以及解題方法的古今演變，培養學生數學思維能力

在數學教學中，解題是最基本的活動形式，知識的獲得、方法的掌握都需要通過解題活動來完成。然而，由于考試功利的驅使，常常把數學解題異化為“把學生培養為對考題作出快速反應的解題機器”，使得數學教學逐漸流于單純的演算習題的訓練。真正的解題教學，應通過典型數學問題的學習，去探究數學解題的基本規律，學會數學地思維。因此，在古算題的教學中，應側重把古算題的古今解法、初高等解法進行比較，幫助學生認識各種方法的特點，理清解題方法演變的脈絡，明晰何種方法更適合于何種脈絡，哪種策略應該向什么地方遷移。通過比較，可以清楚地看出其中的指導思想和總體思路，有助于拓寬學生的視野，培養全方位的認知能力，在更高層面上理解和把握知識。以《張邱健算經》的“百雞問題”為例。

原題為：今有雞翁一值錢五，雞母一值錢三，雞雛三值錢一，凡百錢買雞百只。問雞翁、母、雛各幾何？

答曰：雞翁四，值錢二十。雞母十八，值錢五十四。雞雛七十八，值錢二十六。

雞翁八，值錢四十。雞母十一，值錢三十三。雞雛八十一，值錢二十七。

雞翁十二，值錢六十。雞母四，值錢十二。雞雛八十四，值錢二十八。

術曰：雞翁每增四，雞母每減七，雞雛每益三即得[6]。

分析發現，原題中的“術曰”令人費解，很難從中想出解題的思路。我們不妨按照常規思路，設未知數，列方程，將探得的結果盡量用“術曰”來解釋。

解：設有大公雞x只，母雞y只，小雞z只，依題意有，

5x+3y+=100……（1）x+y+z=100……（2）

消去z得7x=4（25-y）……，（3）式表明，公雞x數應是4的倍數，不妨令x=4t，則y=25-7tz=75+3t……（4），

當t=1，2，3時，其解為：x：4，8，12y：18，11，4z：78，81，84。分析發現，（4）式揭示了“術曰”的關鍵：t增1，則x增4，y減7，z益3。從x必須是4的倍數出發，其解就不難得到了。

我們知道，“百雞問題”是一個二元一次不定方程的問題，然而學者除了用《九章算術》的“方程術”外，還把它化歸為等價的同余問題，用“大衍求一術”來解。此外，我國著名數學家陳景潤也給出了“百雞問題”的解法，其解法的本質也是蘊含了極為重要的“求一”思想。限于篇幅，這兩種解題方法本文不再展開，有興趣的讀者可參閱清代學者時曰醇著《百雞術衍》（1861年），以及陳景潤著《初等數論》。幾百年來，眾多學者圍繞“百雞問題”進行了研究，給出了不同的解題方法。教學中全面、系統分析這些解法首先是豐富了教學內容知識（PCK），也拓寬了學生的視野，有利于從整體上把握數學發展的脈絡，掌握各種數學思想方法。

4.原始、樸素的數學思想的引領作用

數學思想方法是指現實世界的空間形式和數量關系反映到人們的意識之中，經過思維活動而產生的結果。人的數學智能在很大程度上依賴于數學思想方法的掌握。數學思想方法作為數學教學的一條“暗線”，反映著知識間的橫向聯系，常常隱藏在基礎知識的背后，需要加以分析、提煉才能使之顯露出來。在數學知識的發生發展與應用過程中應始終以數學思想方法的形成作為數學教學的高層次追求，數學思想方法是數學知識的骨架與肌肉，是數學知識結構的活力與靈魂。這其中，教材中的習題也應體現數學基礎知識與數學思想方法的有機結合。然而遺憾的是，傳統的解題教學大都是為解題而解題，忽視對解題過程中數學思想方法的整理與提煉，這與問題本身質量不高，純粹為了“題海戰術”式的演練有很大關系。古算題卻恰恰相反，以《九章算術》為例，其每一章都是先列舉若干個實際問題，并對每個問題都給出解答，然后再給出“術”作為一類問題的共同解法，這些“術”都包含了深刻的數學思想。以《九章算術》“盈不足”章的“雙鼠穿垣”問題為例。

原題為：今有垣厚五尺，兩鼠對穿。大鼠日一尺，小鼠亦日一尺。大鼠日自倍，小鼠日自半。問幾何日相逢？各穿幾何？

答曰：二日、十七分日之二。

大鼠穿三尺四寸、十七分寸之十二，

小鼠穿一尺五寸、十七分寸之五。

術曰：假令二日，不足五寸。令之三日，有余三尺七寸半[7]。

《九章算術》對于該題的求解思路是把問題巧妙地轉化為“盈虧問題”，用“盈不足術”求解。

解：假設兩只老鼠打洞2天，則仍差5寸，不能把墻打穿；假設打洞3天，就會多出3尺7寸半。利用《九章算術》中的一盈，一不足公式得到，兩只老鼠相遇的天數為：

=2。相會時，大小老鼠分別穿墻：1+2+4×=3，1++×=1。

可以看出，這種解法的高明之處是避開了每天變化的速度，把含有變量的數學問題轉化為常量的數學問題。這種方法的本質是通過兩次假設，得到問題的解決。其實，“盈不足術”也包含著哲學思辨，對待一個多因素制約的問題，采用增、減自變量數值，觀察結果的變化，最終找到最佳方案，使得問題定量解決，從這個角度看，盈虧思想已經超越數學本身而成為一種思維模式。

“雙鼠穿垣”問題還有指數方程的解法。設天后兩鼠相遇，那么，

大鼠打洞：1+2+22+23+…+2x-1，小鼠打洞：1++（）2+（）3+…+（）x-1，

可得方程，1+2+22+23+…2x-1+1++（）2+（）3+…+（）x-1，最終解得，

x=。

如上，該題的兩種解法蘊含了深刻的數學思想。盈虧方法體現了轉化的思想，指數方法體現了直觀化的數學思想。此外，我們也發現，兩種解法所得到的答案不一樣，顯然，一個是有理數，一個是無理數。各取近似值進行比較，發現誤差不大。究竟是什么原因導致結果不一致？追根溯源，其實這是由對問題背后的數學意境的理解不同造成的。我們知道，古代數學家缺少“動“的數學意境，他們很自然地把老鼠的打洞速度看成是每天不變的勻速，因此用盈虧方法來解。近代數學則是動態的，用指數方程來解，是把每一天老鼠打洞的速度也呈現指數規律變化的，所以不同的結果就產生了。兩種截然不同的數學思想也代表了數學發展的基本規律，數學就是在不斷地發現、否定、完善的過程中發展起來的。因此，教學中系統利用這些古算題，有效地進行解題教學的“變式”訓練，對于學生的學習以及數學思想方法的深刻理解和靈活運用都是非常有幫助的。

參考文獻

[1] 中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2011年版）.北京：北京師范大學出版社，2011.

[2] 紀志剛.數學的歷史.南京：江蘇人民出版社，2009.

[3] 李文林.數學史概論（第三版）.北京：高等教育出版社，2011.

[4] 郁祖權.中國古算解趣.北京：科學出版社，2004.

[5] Fauvel.JMaanen.J.Histor yinmathe maticseducation.The ICMIStudy.Dordrecht，The Netherlands：Kluwer，2000.

[6] [美]V.J.Katz.數學史通論.李文林，等譯.北京：高等教育出版社，2004.

[7] 武錫環，郭宗明.數學史與數學教育.成都：電子科技大學出版社，2003.（責任編輯 劉永慶）