初中數學教學片斷有感

摘 要：數字是有靈性的，它承載著哲理，可以把玩。從一些教學片段可感知學生群體本身是潛在的、豐富的、可利用的數學教學資源；可以感悟數學概念的形成過程是自然的，數學是自然而然的。

關鍵詞：數字把玩；學生群體；教學資源；數學概念；形成過程

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1009-010X（2012）10-0050-03

在使用華師大版初中數學教學過程中，在和學生共同學習和生成的課堂上，有過諸多難忘的感受，現舉二三例，與大家交流與分享。

一、數字是有靈性的，數字承載著哲理，數字是可以把玩的

七年級上冊有這樣一道練習題：下列各數中，哪些是正數？哪些是負數？

+6，-21，54，0，，-3.14，0. 001，-999.

這本是一道課堂練習，經觀察，口述即可完成。但仔細看這些數字，個個都是躍動的精靈，每個都有精彩的故事。

6，是個吉祥的數字，寓意“六六順”。 基督教《圣經》記：上帝創造天地時于第六日依照自己的形象用泥土塑造了人，然后從鼻孔中吹進生氣，讓他居住在伊甸園（Eden）中。六，是一周的最后一天，稱周末星期六。6是由1開始的最初3個自然數的和：1 + 2 + 3 = 6， 是第3個三角形數。6又是最初兩個素數的積：2 × 3 = 6。早時航海觀測天象使用六分儀。螺母和螺帽是正六邊形。正方體有6個面。正方體骰子的點數最多是6點。6倒過來翻了個個兒，就增加了半倍，成了9。臺球子的6子和9子都得在頭上作標識，才不會引起混淆。9和6剛開始還經常吵架， 9罵6整天價里挺著個肚子不像話，6罵9整天價倒立走路沒個正經。美國的柯爾特發明的左輪手槍的轉輪彈匣有6個彈倉，可以裝6顆子彈。

21，常言道，不管三七二十一，也就是不管好壞，所以“三”常常指代和意味著“好”，“七”常常指代和意味著“壞”。不過現在“七”已不再當作“壞”。時下私家車的車牌號還常常帶7，因為“七”與“妻”諧音，如517（我愛妻），917（久要妻），587（我發妻），799（妻久久）等，以表男主人對女主人的心跡。有家公司還叫3721公司呢。21是由1開始的前6個自然數的和：1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21，是第6個三角形數。21還是菲波那契數列的第8個成員：1，1，2，3，5，8，13，21，……

54，“五·四”青年節，“五·四運動”。一副撲克牌有54張。54o的余角是36o，36o是黃金三角形的內角。36o是18o的2倍， 54o是18o的3倍， 18o的正弦值是黃金分割率的一半。54 = 6 × 9，可分解出豐富的因數：2，3，6，9，18，27.

0，如水中月，鏡中花，不管來多少個還是0：0 + 0 = 0.

0，滴水之恩，涌泉相報。你瞧，給1送去1個，1當10回報：1 + 0 = 10. （此處自然不是算術，而是一種邏輯表式） 給1送去2個，1當100回報：1 + 0 + 0 = 100.

0，如谷粒，雞面前的盤中物，來一個，消滅一個，來兩個，消滅一雙：對任何數a，a + 0 = a。（此處a即如雞，谷子0被雞吃掉，吞進肚里，消失了。）

0，似如來佛的大肚，能容天下所有難容：對任何數a，a × 0 = 0. （任何事物a，都可以被如來佛的大肚0所容納，化解了，消失了。）

0，午夜零點，是起點，還是終點？0，像谷子，是果實，還是種子？這個問題猶如那個古老的問題：是先有雞，還是先有雞蛋？又如亞當（Adam，the first man according to the Bible）和夏娃（Eve，the first woman according to the Bible）有沒有肚臍眼？

3. 14，常用來近似指代圓周率。

0. 001，精確度的要求：精確到0. 001。0和1，二進制數。0和1，曲與直。1，是0的突破。0和1，可作為開關語言，也是電子計算機的整個運行工作語言。

教室有兩個門，門開著記作1，門關著記作0. 一個門開著，另一個門關著，那么教室開著：1 + 0 = 1. 兩個門都關著，當然教室關著：0 + 0 = 0。 兩個門都開著，自然教室開著：1 + 1 = 1. （此處自然也不是算術，也是邏輯表式）

999，999感冒靈，三九胃泰. 奔馳（Benz）和寶馬（BMW）等名車車牌號常見。香港飾品的黃金成色，如999.9金. 999一齊做一個前滾翻就能減掉三分之一的體重，成了666.

二、學生群體本身是一份潛在的、豐富的、可利用的教學資源

七年級下冊有一道練習題： 編一道聯系實際的數學問題，使所列的方程是3x + 4 （45–x） = 150.

如果只當是一道作業題，批改了發回，那么就白白地浪費了一份絕好的教學資源，也錯過了一回精彩的教育資源的利用。事實上，學生的作品真是五花八門，五彩紛呈。通過實物投影儀，展示在課堂上，課堂就成了學生的思想相互交流的愉快平臺，就成了學生作品認可與被認可、欣賞與被欣賞、認同與被認同的最自然、最可接受的方式的平臺。同時還真切地體現了數學模型的高度抽象性，因為構成該數學模型的背景居然是可以千差萬別的。現采擷部分學生的作品如下。

莊萌鳳編：有花生重45千克，其中較好的價格為4元/千克，較次的為3元/千克，共賣出150元，問較好的、較次的花生各賣出多重？（花生的價格便宜了點，哪兒有的賣？也幫多買點）

蔡榮瑩編：小雪做紙花，有紅、白、黃三種顏色。已知白花和黃花共有150朵，白花是紅花的3倍，白花和紅花共有45朵，黃花是白花的4倍。 求紅花有多少朵？

許洋洋編：爸爸45歲，爸爸的歲數減哥哥的歲數的差的4倍與哥哥歲數的3倍的和是150. 求哥哥的歲數。（“爸爸”早婚！哈哈！宜改“哥哥”為“堂哥”或“表哥”）

三、數學是自然的，數學概念的形成過程是自然的

在八年級下冊教學“方差與標準差”這兩個統計學概念的過程中，可能會出現一道灰暗的色彩，即學生對課本給出的方差的概念、定義，普遍感到生硬、困惑、不理解。

方差是用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”這樣一個算式得到的結果，來表示一組數據偏離平均值的情況。

形成這樣一個游戲規則的合理性是什么？必要性又是什么？因此有必要對方差和標準差這兩個概念形成的原理做個通俗的解釋和引導，展示其自然形成的過程。

但是，當兩組不同的數據，其各自的平均數相等、相同、一樣的情況下，作為各自原始數據的集中的、居中的代表，平均數已無法區別、反映這兩組數據的不同情況，或者說，此時利用平均數來比較已失效、無效。

當然，平均數畢竟是一組數據的集中的、居中的、很好的代表，但對于兩組數據不同，數據分布不同，偏差客觀存在，因此可以考慮、考察一組數據與平均數的集中趨勢，或“同心同德”狀態，或集聚、集居、群集情況。而反過來講，就是可以考慮、考察一組數據與平均數的偏離、偏差、離差情況，亦即離勢，或“離心離德”狀態，或散居、離散、游離情況，這是相通的。

與平均數的集中趨勢較好的，凝聚力大，較團結、集聚、集居、群集、穩定在平均數周圍，較“同心同德”，自然地，與平均數的偏離、偏差、離差就較小，即離勢較小，“離心離德”的少，散居、游離、波動、離散的程度就小。反之，與平均數的偏離、偏差、離差較大，即離勢較大，“離心離德”的多，“眾叛親離”的多，散居、游離、波動、離散的程度大，自然地，與平均數的集中趨勢就較差，凝聚力小，群集緊密程度較差。

至此，當兩組不同的原始數據的平均數都一樣的情況下，不僅使用平均數失效，而且使用平均離差也失效。這就需要考慮、考察導致平均離差為零的原因何在。事實上，導致平均離差為零的原因是，所有的離差在加法運算中將全部互相抵消，或上或下，或前或后，或左或右，通通消化掉。由于偏差、離差是一個客觀存在，因此就需要考慮如何保住離差，使其在加法運算上不被互相抵消，得以保存下來，以期反映一組數據的一個客觀實在。

就在此時，一道亮麗的光彩在課堂上閃現，學生潘翊、趙弦不約而同地提出，給每個離差取絕對值！這是很數學化的思考的，合情合理，合乎邏輯，簡直就是專業數學工作者的思考，而且是課本上所未提及的。

當已知一組具體的數據，用筆算是不難求出其平均距離的。可是，由于平均距離含有一組絕對離差，而在理論上，去掉每一個絕對值都需要首先判斷絕對值符號內式子的正負號，因此平均距離在理論演算、運算上很不方便、很不經濟。這就需要進一步考慮尋求具有與絕對值相同的功能、相當的作用的數學方法。

至此，學生普遍能作出自然的反應，即對離差取平方！水到渠成。事實上，只要是對離差取偶次方，都能保住離差，使其不在加法運算中被相互抵消。不過取平方自然是取偶次方的最簡單者。這樣，兩數差的平方就可以容易地展開為二次齊次三項式，理論運算比較起來非常方便。

這就是方差的來歷。

真乃一波三折、跌宕起伏！盡管如此，事實上，從平均距離、方差和標準差的算式來看，它們都可以分別直接反映一組數據偏離平均數的情況，都能從反面反映一組數據與平均數的集中趨勢。更何況方差與標準差是一對對偶關系，平方與開平方的關系。