在多樣化表征討論交流中促進學生的數學理解

摘 要：為了讓學生在交流討論中提高對數學的理解，美國德州農工大學在與當地中學開展的教育科研活動中使用了多樣化表征的數學教學方式。這種方式為學生提供同一數學問題的多種表征形式，讓學生在分組分析問題的基礎上交換各自表征的特征和解決方式，以促進學生從多渠道深入理解數學，提升數學交流能力，豐富情感體驗，同時，促進教師專業發展。

關鍵詞：多樣化表征；數學理解；數學交流

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1009-010X（2012）05-0046-03

一、國內外相關研究

世界各地的數學課程改革普遍強調要提高學生對數學的理解。我國的數學課程標準修訂稿在對數學教學的“實施建議”中提出，要注重學生對基礎知識、基本技能的理解和掌握，數學知識的教學，應注重學生對所學知識的理解，體會數學知識之間的關聯[1]。學生對數學知識的理解存在操作性理解、關系性理解和遷移性理解三個層次，調查表明，我國大部分學生對知識的理解處于第一層次，他們可以在帶有識記性與操作步驟的問題解答中取得較好的認知成績，但因為許多學生對數學知識的理解尚未達到關系性理解與遷移性理解水平的深刻理解，所以綜合性問題測試成績、解決實際問題的能力測試不盡如人意。因此在教學中提升學生的數學理解水平是很有必要的。[2]

對數學交流的重視同樣日益突出，美國數學教師協會（NCTM）在“學校數學評價標準”中提出的學校數學教育要培養學生七個方面的素養之一就是數學交流能力。在1995年和2000年NCTM制定的《數學課程與評價標準》中都倡導在數學課堂中讓學生使用數學詞匯進行交流表達、建立數學聯系。從幼兒園到12年級的教學過程都應當使得學生通過交流組織和鞏固他們的數學思想；一致、連貫、清晰地向同伴、教師和其他人交流自己的數學思想；分析和評價他人的數學思想和策略；使用數學語言來準確地解釋數學思想。[3]

數學教學的目的是提升理解，不僅僅需要讓學生全面投入到學習中去，還要讓教師能夠從多種側面了解學生的思維過程，并嘗試用多種途徑指導引領學生的學習。生生之間、師生之間的數學交流可以有效暴露學生的思維，因此，目的性的數學理解和工具性的數學交流在教學中勢必融合在一起。有研究表明，小組合作對于讓學生理解數學問題有很大的幫助，同時可以促進他們反思自己的解決方法[4]。在對上述理論的關注中孕育出了多樣化表征這一新的教學方式，作為教學輔助形式它可以很好的促進學生的數學探究，提高他們對問題認識的深度，提高學生的數學交流能力，讓學生更全面地參與到學習中來。

基于上述認識，在德州農工大學與當地中學開展的教育科研活動中，數學教育專家與一線教師一同研制了多樣化表征的數學教學方法，并在“以教學促進學生學習”項目中推廣，受到一致好評。本研究試圖探索多樣表征教學方式對學生的數學理解的促進作用，并提出在使用該教學方法時該注意的地方。

二、研究界定

多樣化表征的數學教學是指：在解決數學問題時，教師向學生呈現同一問題的多種表達方式，學生要對各種表征方式加入自己的理解，在觀察、分析問題的基礎上解決問題，并深化對不同表征之間聯系的認識。

在對數學語言的多樣化表征的研究中，比較權威的觀點是蔡金法等人本世紀初所做的研究，[5]他們認為：高水平的學生可以識別符號化或較抽象的表征，可以熟練地在自己的語言、數學語言、符號語言、公式表征之間轉換；低水平的學生在問題解決的語言轉換和表征上常常遇到困難。此外，不同的學生的解決問題策略各有不同，教師要采取一定策略促進各種學生對數學的理解，提高他們的數學表現。之后，他們還針對此問題做了量化研究，一定程度上支持了自己的理論。[6]

多樣化表征教學正是試圖提高學生對各種數學表達的認識，并能建立起其間的聯系。面對多樣化表征任務時，學生首先要讀懂題目含義，繼而將文字表征或圖表表征中蘊含的數學模型轉換為符號等數學語言，然后用書寫或口頭表述的方法呈現出對該問題的理解，最重要的環節是，學生們以小組為單位交流各自如何對不同表征建立理解。這一合作學習的過程可以培養學生的興趣，形成良好的學習習慣，養成有效的學習策略，更可以讓學生在集體討論中樹立分享的意識，以及向他人學習的意識，培養學生的溝通能力。

三、開展步驟

開展多樣化表征教學時，教師首先對一個數學問題提供出4種到6種不同表征。我們以5組為例說明教學過程。5組表征分別記為A組，B組，C組，D組和E組。第一階段為小組討論階段，各組均由5位同學一起討論完成，如A組的5位同學記為A1，A2，A3，A4和A5，每小組的5為同學一起研究同一個問題表征。

10分鐘的討論之后進入第二階段，交換匯總階段，各組編號為1的同學又重新組合為新的小組，在新的匯總交流組中，5位同學都帶著自己的問題——共5種表征方式，他們要分享各自的任務卡片，分別講解自己小組是如何分析并解決問題的。

最后的第三階段是全班討論階段。在此過程中教師承擔了資料的籌備者和課堂的協作者的角色，教師要適時提出適當的具有啟發性的問題。

我們以下面這個案例對該教學形式加以說明：在開展“二元一次方程組的應用”教學時，教師設計了如下的多樣化表征教學。材料共分為7個組，分別涵蓋了不同的問題背景呈現方式，有畫圖形象陳述（A組）、剪紙方式輔助解題（B組）、直接陳述（C組）、直接解方程組（D組）、謎題方式陳述（E組）、多維表格輔助解題（F組）、表格陳述（G組）等等。

在教學中，7組內容并非都要使用，教師可以根據自己學生的情況和人數有選擇的使用其中的4～6組。經過第一階段的小組討論和第二階段的交換匯總之后，全班再一起進行第三階段，交流探討各自的發現、方法和結論，一起總結各組之間的異同。

在B組題目的討論中，學生依據要求動手剪下了圖片，發現所有8個水果的價格之和是20元，可以求出一把香蕉和一個蘋果的總價，接下來從三把香蕉一個蘋果中拿走一把香蕉和一個蘋果，就只剩一下兩把香蕉了，可求其價格。在F組題目的討論中，學生首先要讀懂表格的含義，接下來習慣性的用常規解方程組的方法解決問題。但有學生提出，其中的第四個問題“你是如何利用表格得出的結論”啟發他們思考，不解方程組能不能解決問題？繼而發現，在表格中12元位子可記為（3，1），8元位置可記為（1，3）。將兩組數據相加，即可得到（4，4）的數值，即4把香蕉和4個蘋果的價格，因此對角線上的數據都可以算出來，再將（3，1）與（1，1）相減，即可得到2把香蕉價格為7元，故問題可解。在G組的題目討論中，學生也發現了表格對解方程組的幫助。第二階段和第三階段的交流中，大家討論的重點是充分展示各種工具的利與弊及其使用條件。

四、討論

多樣化表征教學對數學教學的促進作用可以總結為以下幾點：

（一）多渠道深入理解數學

多樣化表征教學的一大特點就是開闊了學生的視野，用多種表征形式豐富他們對數學本質的認識，找到各種方法之間聯系和差異的過程可以提高學生的思辨能力。在教學中會發現，有的學生對圖示表示非常有悟性，可以敏銳的捕捉到其中蘊含的信息，有的學生認為直觀的表格更能幫助他認識問題，有的學生則對解決文字表述問題更為擅長，在充分的討論交流中，各類表征的優勢劣勢都可以互相彌補。

（二）提升學生的數學交流能力

由于在交流討論中每一位同學都要發言，所以多樣化表征教學對提高學生的交流能力有很大幫助，這對于平時不愿意發表見解的學生來講是一個很好的契機。數學交流不僅僅包括表達，還要學會傾聽，在此活動中，學生有機會分析和評價各式各樣的想法，他們學會了欣賞他人、傾聽并學習他人的見解，這使得該教學形式的價值不僅僅指向知識本身，更指向了在合作交流中獲取的活動經驗。

（三）豐富學生的情感體驗

在多樣化表征教學過程中，全班學生都能投入到學習中來，課堂氣氛很活躍熱烈，對每一個學生的情感發展都有幫助。尤其是在數學認知上具有較低能力的同學，他們也能獲得表達的機會，也能體驗到他人的尊重和他人的認可，這對他們來講是莫大的鼓勵。

（四）促進教師專業發展

該教學形式對教師有較高的要求，經歷了這樣的教學，教師的學科知識和學科教學法知識都得以提升。教師不僅要提供具有挑戰性、典型性的問題材料，還要確保問題蘊含思維含量、具備探索空間。在活動中教師的角色發生轉變，起到了協調、引導、歸納提升的作用。實際教學中可以依據需要選擇小組長，負責確保每一個學生都參與討論，并領會了其他方法的精髓。教師則要關注和引導每一個小組討論的主要方向。

多樣化表征對數學學習的促進作用不可低估，它轉變了學生的學習角色，使學生成為學習的主人，教師適當使用這樣的方式可以開闊學生的思維，具有積極的推廣意義。同時，需要開發大量適合中學數學使用的材料，配套的科學評價方式也有待進一步研究。

參考文獻：

［1］全日制義務教育數學課程標準（修訂稿）（送審稿）［S］.北京:北京師范大學出版社，2011.

［2］王光明.關于學生數學認知理解的調查和思考［J］.學科教育，2005，（23）.

［3］Principles and Standards of Mathematics［S］.NCTM，2000.

［4］Sung， Y.-T.， Chang， K.-E.， Chiou， S.-K.， Hou， H.-T. The design and application of a web-based self- and peer-assessment system ［J］.Computers Education，2005，45（2）187-202.

［5］Cai， J.， Hwang， S. Generalized and generative thinking in US and Chinese students’ mathematical problem solving and problem posing［J］.Mathematical Behavior，2002，21（4）401-421.

［6］Hwang W. Y.， Chen N. S.， Hsu J. L. Development and Evaluation of Multimedia Whiteboard System for Improving Mathematical Problem Solving［J］.Computers Education，2006，46 （2），105-121.