基于“課題研究模式”的數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容理解和處理

數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師具備一定的課題研究意識和能力，將教學(xué)內(nèi)容變成課題研究的過程，引導(dǎo)學(xué)生作為研究者或探究者來操作學(xué)習(xí)材料，對培養(yǎng)學(xué)生的思維能力和創(chuàng)新意識大有好處。調(diào)研發(fā)現(xiàn)，學(xué)生的數(shù)學(xué)合情推理與演繹推理能力不強(qiáng)，知其然而不知其所以然；缺乏“尋找表面看似不同的材料間共性結(jié)構(gòu)，對感悟到的命題的嚴(yán)密求證，問題解決的簡便方法尋找——等等”的思維方式和求真意識，而這正是引導(dǎo)數(shù)學(xué)家研究數(shù)學(xué)的動力。

當(dāng)教師把數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容變成課題研究來理解并對學(xué)生解讀時，使得師生探究活動類似于數(shù)學(xué)家研究和發(fā)展該學(xué)科的那種方式進(jìn)行，就能真正地開展學(xué)生合作探究交流的學(xué)習(xí)活動。也就是說，基于“課題研究模式”的數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的理解和處理，有助于教師設(shè)置利于學(xué)生的思維能力和創(chuàng)新能力發(fā)展的師生探究活動，實現(xiàn)新課程的教學(xué)要求。

一、基于“課題研究模式”的數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容理解和處理的緣由

我們知道，課題研究模式一般是這樣的，1、研究背景與問題提出，2、研究目的與意義，3、國內(nèi)外有關(guān)研究綜述，4、研究思路與方法，5、研究創(chuàng)新點，對研究的“是什么？”“為什么？”“怎么樣？”等進(jìn)行了描述。這模式為研究課題指明了研究范式和思考框架，按此進(jìn)行“研究設(shè)計”思考，可以確保課題研究的新穎性、合理性、科學(xué)性和創(chuàng)新性。它是研究工作的線索，也是解讀一項研究工作的框架。

數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容是人類課題研究的結(jié)晶，在教科書中是以一定的邏輯演繹定論形式呈現(xiàn)的，其中課題發(fā)現(xiàn)以及研究過程不可能在教科書中呈現(xiàn)出來，但是研究過程對學(xué)生的思維能力和創(chuàng)新能力是必不可少的，需要教師對數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行加工改造，將“知識結(jié)果”還原成類似人類科學(xué)發(fā)現(xiàn)的“研究過程”，以使得學(xué)生以探究者身份對此進(jìn)行操作，獲得發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決問題的本領(lǐng)，掌握人類積累下來的知識觀點和思想方法。

在新課程教學(xué)理念下，教師對數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的處理，關(guān)鍵在于將“知識內(nèi)容”轉(zhuǎn)化成“研究過程”，為學(xué)生探究合作交流提供土壤。而這種轉(zhuǎn)化技術(shù)，需要教師對教學(xué)內(nèi)容的“研究性理解”。所謂教學(xué)內(nèi)容的“研究性理解”，就是將教學(xué)內(nèi)容視為一個課題的研究成果，從課題研究模式進(jìn)行解讀教學(xué)內(nèi)容，以此安排教學(xué)活動過程。教師通過對教學(xué)內(nèi)容的研究性理解，做好表征研究過程，生成學(xué)生探究活動。

二、基于“課題研究模式”的數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容理解和處理

教師處理數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容，實質(zhì)上就是自我理解并操作教學(xué)內(nèi)容，由此按照教學(xué)目標(biāo)的要求將教學(xué)內(nèi)容處理為利于學(xué)生知識內(nèi)化和能力培養(yǎng)的學(xué)習(xí)活動材料。為此，教師可以借助“課題研究模式”，對數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行研究性理解和處理，使得“靜態(tài)”教學(xué)內(nèi)容變成“動態(tài)”的研究過程，教學(xué)過程變得親切而自然、有興趣而富于挑戰(zhàn)性。下面以九年級《公式法解一元二次方程》（人教版）為例來說明。

1.確定教學(xué)內(nèi)容的“課題”及其研究域

教師根據(jù)教學(xué)內(nèi)容的“是什么、為什么、怎么樣”理解，概括出研究“課題”題目內(nèi)涵；然后對照教學(xué)目標(biāo)要求和學(xué)生實際水平，確定此課題研究的范圍和深度，最后進(jìn)行研究材料的選擇。例如，該《公式法解一元二次方程》課題題目就反映出：一元二次方程求根公式是什么；一元二次方程公式怎么得到的；一元二次方程公式法怎么應(yīng)用。進(jìn)一步確定此課題研究域：關(guān)于一元二次方程解的存在性（兩解、一解和無解）、以及解的推導(dǎo)表達(dá)，公式法運(yùn)用技能技巧。這反映了課題研究討論的順序。除此之外，考慮該課題研究，需要哪些材料來說明解的存在性，以及推導(dǎo)出“公式法”在哪些材料中可以檢驗，如何應(yīng)用研究得到的知識觀點和思想方法，等等。

2.從“研究背景和問題提出”角度理解教學(xué)內(nèi)容

確定“課題”后，了解該課題應(yīng)該在什么知識背景下才可能探究，它是通過什么問題來展開研究的，即，或為解決一類問題而產(chǎn)生的，或修改已有的知識觀點。當(dāng)然，問題探索結(jié)果，能提出假設(shè)結(jié)論，也就是說，問題情境應(yīng)內(nèi)含著課題的一般觀點和思想方法。例如，該《公式法解一元二次方程》是在一些比較特殊的一元二次方程求解的基礎(chǔ)上，再對一般一元二次方程求解研究。作為一個課題研究所依賴的問題（問題提出）能達(dá)到：或?qū)で笠辉畏匠探獾奶卣鳎ㄓ小o解），或?qū)で笠话阋辉畏匠痰墓浇猓芊裼梦粗獢?shù)系數(shù)表達(dá)方程的解），或解決特殊方程不易求解的有關(guān)實際問題。

3.從“研究目的與意義”角度理解教學(xué)內(nèi)容

教學(xué)內(nèi)容“課題”深入研究，需要整體上明確該課題的目的，即，或解決哪類問題？或建構(gòu)多大知識體系？同時，分析該課題存在的價值以及現(xiàn)實意義，并在研究活動中體現(xiàn)出該課題的作用以及構(gòu)成該體系的紐帶聯(lián)系，這需要從數(shù)學(xué)哲學(xué)角度上高屋建瓴地闡釋其目的和意義。例如，該《公式法解一元二次方程》研究目的，應(yīng)是探究更加一般化的解方程規(guī)律，提高解方程的效率。其實踐意義，應(yīng)是尋找有關(guān)一元二次方程實際應(yīng)用的方法；其理論意義，應(yīng)是發(fā)展了方程理論，并驗證了帶根號無理數(shù)和不能開平方的負(fù)數(shù)的存在性，推動了數(shù)域的發(fā)展。

4.從“有關(guān)研究綜述”角度理解教學(xué)內(nèi)容

對于該教學(xué)內(nèi)容“課題”的研究，在此之前有何研究（或涉及）呢？程度如何？或者相關(guān)研究如何？本研究是對原來研究的發(fā)展呢？還是對幾個相關(guān)內(nèi)容的概括提升，抑或?qū)︻愃茊栴}的研究？等等，研究結(jié)果會達(dá)到什么地步？有關(guān)研究對本課題研究在方法上有什么啟示？例如，該《公式法解一元二次方程》的有關(guān)研究，有配方法和直接開平方法，也有一元一次方程的一般公式解法，這些都是研究《公式法解一元二次方程》的基礎(chǔ)。從以前相關(guān)研究中可以啟示（即“述評”），解方程無論什么方法，目的是化繁難為容易，即降低未知數(shù)的次數(shù)和減少未知數(shù)的個數(shù)（降次和消元），化成一元一次方程為最后目標(biāo)。

5.從“研究方法與思路”角度理解教學(xué)內(nèi)容

研究該教學(xué)內(nèi)容的課題，需要借助什么方法論證課題假設(shè)？并能說明這種方法的合理性。在情境中發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的每個階段要用什么方法？以及小組討論時，對什么內(nèi)容應(yīng)該采用什么方法？同時研究該課題的思路是什么？為什么是這樣？為此，師生在研究活動中，使學(xué)生明確研究方向，思路清楚，掌握研究方法，以此培養(yǎng)思維能力和創(chuàng)新能力。例如，該《公式法解一元二次方程》的研究方法，首先借用分類法從問題情境中發(fā)現(xiàn)一元二次方程解的類型假設(shè)，由此產(chǎn)生新的問題，即，為什么會產(chǎn)生不同解（有解或無解），接著推導(dǎo)出一般方程的公式解，論證并說明解的存在性，然后進(jìn)行技能技巧的訓(xùn)練，加深知識觀點和思想方法的理解，最后接受理論和實踐的檢驗，學(xué)生從中獲得解決實際問題的能力。

6.從“研究創(chuàng)新點”角度理解教學(xué)內(nèi)容

通過研究該課題，得到哪些新知識點和思想方法？可以解決什么問題？能對以前的知識得到什么樣的發(fā)展？顯然，課題的研究創(chuàng)新點正是學(xué)生必須掌握的顯性知識（概念公式等）以及隱性知識（思想方法等）。例如，該《公式法解一元二次方程》研究創(chuàng)新點，一是理論推導(dǎo)出求根公式，二是解決了一元二次方程“用未知數(shù)系數(shù)求解方程根的問題”（一般地，一元五次或五次以上方程的根不可以用系數(shù)根號表示的，即阿貝爾理論），三是討論了一元二次方程解的情況，四是發(fā)現(xiàn)了“新數(shù)”（無理數(shù)和虛數(shù)），五是配方法、直接開平方法和降次思想等的綜合應(yīng)用。

由此可見，這些理解處理是把教學(xué)內(nèi)容作為研究課題所闡發(fā)的知識意義、方法、思想、過程、情感等的全景圖式展示，它展現(xiàn)了數(shù)學(xué)家研究該課題的動態(tài)過程。事實上，學(xué)生只有模擬如此的研究場景和身同感受地研究，才稱得上有效學(xué)習(xí)，才能掌握人類歷史積累下來的知識及其思想觀點方法，才能在此過程中獲得素質(zhì)發(fā)展。教師借用“課題研究模式”指導(dǎo)自己的教學(xué)內(nèi)容操作處理，有助于引導(dǎo)學(xué)生的探究活動，培養(yǎng)學(xué)生思維能力和創(chuàng)新意識、以及情感態(tài)度價值觀。例，結(jié)合“課題研究模式”的理解與教學(xué)活動規(guī)律的要求，發(fā)掘《公式法解一元二次方程》的探究活動線索。

（1）問題情境（基于“研究背景和問題提出”）

老師：請同學(xué)們解答下列問題并討論一元二次方程解的大致情況。

①（x-4）2=0；（2）x2-4=0；（3）x2+4=0

學(xué)生：（1）有兩相等解；（2）有兩不等解；（3）沒有實數(shù)解。

老師：是不是一元二次方程解的情況就是（1）（2）（3）類型呢？請同學(xué)們回憶或舉出一些一元二次方程，看它們的解是不是如上幾類，或者超出以上類型。

（2）提出假設(shè)（基于“研究背景和問題提出”和“研究目的和意義”）

師生通過分析、概括和歸納，得出如下假設(shè)：

①一元二次方程最多有兩解。

②一元二次方程或兩解、或一解、或無解。

老師：我們得到這樣的假設(shè)，有什么用呢？

（3）證明假設(shè)（基于“有關(guān)研究綜述”和“研究方法與思路”）

老師：如何證明我們得到的假設(shè)呢？學(xué)過的一元二次方程求解方法中哪些可用？

學(xué)生：利用以前學(xué)過的直接開平方和配方法或許可以推導(dǎo)出解的公式，得到一元二次方程的解的情況。

老師：選取一元二次方程的什么形式來推證呢？為什么呢？

學(xué)生：選取一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0（a≠0），它具有一般性。

師生探討：

ax2+bx+c=0（a≠0）

方程兩邊除以a，得.（由“1中（1）、（2）、（3）x2的系數(shù)都是1”想到）

x2+x+=0

配方得. （由“1中（1）中的（x-4）2=0”想到配方法）

（x+）2-=0（由“1中（2）中的x2-4=0”想到）

或

（x+）2= （由“1中x2=4”想到直接開平方法）

當(dāng)>0時，有x+=x+（類似于“1中x2=4直接開平方得x=±2”）.

當(dāng)=0時，有（x+）２=0 （類似于“1中（x-4）2=0”）.

當(dāng)<0時，有（x+）２=在實數(shù)范圍內(nèi)不成立。（類似于“1中x2+4=0”）.

由合情推理與演繹推理相結(jié)合，得到如上的探索與求證過程。結(jié)果整理如下：

一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的解的情況及解的公式。

①當(dāng)b2-4ac>0時，ax2+bx+c=0有兩不等的實解，x1，x2=x±b+。

②當(dāng)b2-4ac=0時，ax2+bx+c=0有兩相等的實解，x1=x2=-。

③當(dāng)b2-4ac<0時，ax2+bx+c=0無實解。

（4）結(jié)論分析（基于“研究創(chuàng)新點”和“研究目的和研究意義”）

師生對以上探究過程進(jìn)行討論后，得到如下結(jié)論：

①一元二次方程的解可以用未知數(shù)系數(shù)表達(dá)。

②配方法可以求解任何一元二次方程。

③降低次數(shù)是解高次方程的關(guān)鍵。

老師：還有沒有其他結(jié)論呢？這些結(jié)論對你有何啟發(fā)？

或者進(jìn)一步說，這樣的探討，對學(xué)習(xí)其他內(nèi)容有何建議呢？

（5）綜合應(yīng)用（基于“研究方法與思路”）

教師布置練習(xí)，師生或?qū)W生獨立完成。

①技能訓(xùn)練

練習(xí)各種變式題目（盡量用多種方法求解）

②建模訓(xùn)練

解決有關(guān)一元二次方程的實際問題（結(jié)果可以是取近似值的根式）

（6）學(xué)生對探究的總結(jié)

教師引導(dǎo)學(xué)生對“原型問題、歸納假設(shè)、推理方法、結(jié)論意義，結(jié)構(gòu)模式，等等”，進(jìn)行研究性的反思。

由此可見，借用“課題研究模式”進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計時，就能全面而又深刻地考慮教學(xué)內(nèi)容的課題探究，尤其是通過該模式的教學(xué)內(nèi)容理解和處理，發(fā)現(xiàn)原先發(fā)現(xiàn)不了的對教與學(xué)有啟發(fā)價值的東西，教師由此生成指導(dǎo)學(xué)生探究活動的有效方法。

我們知道，數(shù)學(xué)新課程內(nèi)容相對減少了，但學(xué)習(xí)目標(biāo)提升了。前者為數(shù)學(xué)教學(xué)方式的改革提供了時間和空間的保障，后者為數(shù)學(xué)教學(xué)方式的改革提出了方向和質(zhì)量的指導(dǎo)。開展學(xué)生有效的探究合作交流的教學(xué)方式，是教學(xué)理論與實踐探討的有價值課題。利用“課題研究模式”，提高教師數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容理解和處理能力，不乏是在觀念操作上探討數(shù)學(xué)教學(xué)方式改革的新舉措。

參考文獻(xiàn)

鄭毓信.數(shù)學(xué)教育哲學(xué).成都：四川教育出版社，2001，9.

（責(zé)任編輯 劉永慶）