相似與全等對對碰

1. 定義

（1）相似形：形狀相同的圖形叫做相似形.

由于定義中只強(qiáng)調(diào)了形狀，所以相似形只與圖形的形狀有關(guān)，而與圖形的大小、位置無關(guān)，如圖1和圖2所示.

在圖1中，兩個獎杯雖然大小有區(qū)別，可是形狀完全相同，所以它們相似；在圖2中，盡管兩個圖形的其中一個是傾斜的，可不難看出它們的形狀完全相同，故也為相似形.

（2）全等形：不僅形狀相同而且大小也相同的圖形叫做全等形.

定義中強(qiáng)調(diào)了形狀和大小，所以程度比相似加深了，但是定義沒有強(qiáng)調(diào)位置，所以全等形與圖形的位置無關(guān)，如圖3和圖4所示.

圖3中兩個梨擺放的位置不一樣，可是大小、形狀完全相同，故為全等形；圖4中兩個圖形無論是大小、形狀還是擺放的位置都完全相同，所以也為全等形.

2. 符號

（1）相似用符號“∽”來表示，讀作“相似于”. 如果△ABC和△DEF相似，可用數(shù)學(xué)符號記作：△ABC∽△DEF.

（2）全等用符號“≌”表示，讀作“全等于”. 如果△ABC和△DEF全等，可用數(shù)學(xué)符號記作：△ABC≌△DEF. 全等的符號是在相似符號“∽”的下面多了一個“=”.

3. 性質(zhì)

（1）相似形

在相似三角形中，對應(yīng)角相等；對應(yīng)邊、對應(yīng)高、對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線以及周長，它們的比都等于相似比，而面積的比則等于相似比的平方.

在圖5和圖6中，如果△ABC∽△A1B1C1，它們的相似比為k，CD，C1D1分別是它們的高（或中線或角平分線），那么∠A=∠A1，∠B=∠B1，∠ACB=∠A1C1B1；AB ∶ A1B1=BC ∶ B1C1=AC ∶ A1C1=CD （2）全等形

全等形的對應(yīng)角相等；對應(yīng)邊相等；周長相等；面積相等.

在圖7和圖8中，如果△ABC≌△DEF，則AB=DE，AC=DF，BC=EF，∠E=∠B，∠D=∠A，∠F=∠C，且它們的周長相等，面積也相等.

4. 判定定理

（1）相似形

在初中階段學(xué)習(xí)的相似形中，相似三角形是重點(diǎn)內(nèi)容. 判定兩個三角形相似有下面的五種方法：①定義：兩個三角形的三個角對應(yīng)相等，三條邊對應(yīng)成比例. ②兩個三角形中有兩角對應(yīng)相等. ③兩個三角形的兩邊對應(yīng)成比例且它們的夾角相等. ④兩個三角形的三邊對應(yīng)成比例.⑤如果一個直角三角形一條直角邊和斜邊分別與另一個直角三角形一直角邊和斜邊對應(yīng)成比例，那么這兩個直角三角形相似.

欲使兩個三角形相似，我們常用的方法是先尋找對應(yīng)角相等，再判斷對應(yīng)邊成比例. 首選的方法是兩角對應(yīng)相等，其次是兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，如果還不能夠證明相似，再尋找其他的判定方法.

（2）全等形

在初中學(xué)習(xí)的全等形中，以全等三角形為重點(diǎn).判定兩個三角形全等有以下6種方法：①定義：兩個三角形的三個角對應(yīng)相等，三條邊對應(yīng)相等（對應(yīng)邊的比值為1）. ②兩個三角形的兩個角及其夾邊對應(yīng)相等（ASA）. ③兩個三角形的兩個角和其中一個角的對邊對應(yīng)相等（AAS）. ④兩個三角形的兩邊及夾角對應(yīng)相等（SAS）.⑤兩個三角形的三邊對應(yīng)相等（SSS）.⑥直角三角形一條直角邊和斜邊與另一個直角三角形一條直角邊和斜邊對應(yīng)相等（HL）.

由上可知，欲證明兩個三角形全等，必須有三個對應(yīng)元素相等，并且其中至少有一條是邊. 其中，直角三角形中隱含有勾股定理的三邊關(guān)系，所以只需斜邊、直角邊對應(yīng)相等即可. 解題時需注意，HL只適用于直角三角形.

注意 在判定兩個三角形全等時容易出現(xiàn)下面的錯誤——通過一個三角形的兩邊及其中一邊的對角與另一個三角形的兩邊及一邊的對角對應(yīng)相等來判定兩個三角形全等，即所謂的“邊邊角”（SSA）.

1. 全等是特殊的相似，它們是特殊與一般的關(guān)系

相似在定義中只強(qiáng)調(diào)了形狀相同，而全等則在強(qiáng)調(diào)形狀相同的同時還強(qiáng)調(diào)了大小也要相同，所以全等比相似的程度更深，也即是全等包含在相似當(dāng)中，是相似的特殊情況. 若兩個圖形全等，則它們必相似，但若兩個圖形相似，它們不一定全等.

2. 全等與相似均具有傳遞性

相似和全等都具有傳遞性，即若△ABC∽△DEF，△ABC∽△MNP，則△DEF∽△MNP；若△ABC≌△DEF，△ABC≌△MNP，則△DEF≌△MNP.

3. 書寫全等和相似的時候均要求對應(yīng)頂點(diǎn)對應(yīng)寫

表示兩個三角形相似時，要求對應(yīng)頂點(diǎn)對應(yīng)寫，從書寫的順序便可以看出對應(yīng)頂點(diǎn)、對應(yīng)邊. 比如△ABC∽△DEF，則點(diǎn)A與點(diǎn)D對應(yīng)，點(diǎn)B與點(diǎn)E對應(yīng)，點(diǎn)C與點(diǎn)F對應(yīng). 全等也是一個道理.

在解決相似與全等的問題時，我們必須熟悉相似三角形與全等三角形常用的證題方法和技巧. 即使是多邊形也可以將其轉(zhuǎn)化為三角形來解決.

要證明線段相等或角相等，通常是通過證明三角形全等而得到. 證明兩個三角形全等時，通常是根據(jù)具體問題來合理選擇“SSS”“SAS”“AAS”“ASA”.

要證明線段成比例，一般是證明線段所在的兩個三角形相似，證明時需合理選擇證法：兩個三角形中的兩對對應(yīng)角相等；或兩邊對應(yīng)成比例夾角相等；或三邊對應(yīng)成比例.

試題1 如圖10所示，ABCD是矩形紙片，F(xiàn)是AB邊上的一點(diǎn)，把△ADF沿折痕DF向下翻折，若點(diǎn)A恰好落在BC邊上，設(shè)這個點(diǎn)為E.

（1）找出圖中的相似三角形和全等三角形，并加以證明.

解析 （1）由于翻折是全等變換，所以△AFD≌△EFD. 由兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似可以判定△BEF∽△CDE. （2）設(shè)BF=3x，則FA=5x. 由于△AFD≌△EFD，所以FA=FE=5x. 在Rt△BFE中，根據(jù)勾股定理可得BE=4x. 又因為△BEF∽△CDE，所以BF ∶ CE=BE ∶ CD，即3x ∶ CE=4x ∶ 8x.所以CE=6x. 因為AD=ED=BC，所以ED=10x. 在Rt△EDF中，根據(jù)勾股定理可得x=1. 所以AB=8，BC=10.

試題2 如圖11所示，在平行四邊形ABCD中，AE⊥BC于點(diǎn)E，AF⊥CD于點(diǎn)F，BD與AE，AF分別交于點(diǎn)G，H.

（1）求證：△ABE∽△ADF.

（2）若AG=AH，求證：四邊形ABCD是菱形.

解析 （1）因為AE⊥BC，AF⊥CD，所以∠AEB=∠AFD=90°. 因為四邊形ABCD是平行四邊形，所以∠ABE=∠ADF. 所以△ABE∽△ADF.

（2）因為△ABE∽△ADF，所以∠BAG=∠DAH.因為AG=AH，所以∠AGH=∠AHG. 從而∠AGB=∠AHD.所以△ABG≌△ADH. 所以AB=AD. 又因為四邊形ABCD是平行四邊形，所以四邊形ABCD是菱形.

在中考中，命題者常常把全等和相似結(jié)合在一起進(jìn)行綜合考查. 解題時要結(jié)合題目所給條件，靈活運(yùn)用所學(xué)知識進(jìn)行解答，有時還需結(jié)合方程思想、類比思想等思想方法. 一般來說，題目中有幾個小問的話，前一問所得的結(jié)論可作為下一問的條件來利用.