大膽猜想小心求證

英國著名物理學家牛頓說過：沒有大膽而放肆的猜想，就不可能有偉大的發現. 數學教育家G·波利亞也指出：要成為一個好的數學家，必須首先是一個好的猜想家. 這兩句至理名言道出了猜想的重要性. 可是僅有猜想的大膽并不能確保問題的圓滿解決，還需要我們深入問題、小心求證，下面我們結合典型考題給同學們作一些講解.

在圖1至圖3中，點B是線段AC的中點，點D是線段CE的中點，四邊形BCGF和CDHN都是正方形，AE的中點是M.

（1）如圖1所示，點E在AC的延長線上，點N與點G重合時，點M與點C重合，求證：FM=MH，FM⊥MH.

（2）將圖1中的CE繞點C順時針旋轉一個銳角，得到圖2，試猜想△FMH的形狀，并說明理由.

（3）將圖2中的CE縮短到圖3的情況，△FMH的形狀又如何呢？（不必說明理由）

思路探究

（1）易得△FBM≌△MDH，有FM=MH，再分析出∠FMH=90°，問題獲證.

（2）這個小問由（1）問遞進生成，由（1）中的證明，我們感受到△FMH是一個等腰直角三角形，經過旋轉變換后的△FMH形狀如何？我們可以大膽地猜想仍然是一個等腰直角三角形，于是證明的關鍵是FM=MH，FM⊥MH. 選擇連結BM，MD，設法證明△FBM≌△MDH能獲得問題的突破.

（3）在（2）問上繼續演變生成圖3中的△FMH，仍然大膽猜想是一個等腰直角三角形，證明的關鍵同（2），從特殊到一般，類比問題（2）的證法，可利用中位線定理，證明兩個三角形全等.

證明 （1）因為四邊形BCGF和CDHN都是正方形，又因為點N與點G重合，點M與點C重合，所以FB=BM=MG=MD=DH，∠FBM=∠MDH=90°. 所以△FBM≌△MDH. 所以FM= MH. 因為∠FMB=∠DMH=45°，所以∠FMH=90°. 所以FM⊥MH.

（2）△FMH是等腰直角三角形，理由如下. 連結MB，MD，如圖2，設FM與AC交于點P，因為B，D，M分別是AC，CE，AE的中點，所以MD∥BC，且MD=BC=BF；MB∥CD，且MB=CD=DH，∠FMD=∠APM. 所以四邊形BCDM是平行四邊形. 所以∠CBM=∠CDM.

又因為∠FBP=∠HDC，所以∠FBM=∠MDH. 所以△FBM≌ △MDH.所以FM=MH，且∠MFB =∠HMD. 所以∠FMH=∠FMD-∠HMD=∠APM-∠HMD=∠APM-∠MFB=∠FBP=90°.

所以△FMH是等腰直角三角形.

（3）△FMH是等腰直角三角形，理由如下. 如圖4所示，連結MB，MD，設FM與AC交于點P. 因為B，D，M分別是AC，CE，AE的中點，所以MD∥BC，且MD=BC=BF；MB∥CD，且MB=CD=DH. 所以四邊形BCDM是平行四邊形.

所以∠CBM=∠CDM，∠FMD=∠APM.

又因為∠FBP=∠HDC，所以∠FBM=∠MDH.