相似形中的數(shù)學思想

化歸與轉(zhuǎn)化的思想

如圖1所示，已知矩形ABCD的對角線AC，BD交于點O，OF⊥AC，垂足為O，且OF交AB于點E，交CB的延長線于點F，求證：OB是OE與OF的比例中項.

顯然，只需證明△BOE∽△FOB即可.

此時，由矩形的性質(zhì)可知OA=OB，則∠OBA=∠OAB；由OF⊥AC可得∠AOE=90°；在△AOE和△FBE中，易證∠OAE=∠BFE，于是有∠OBE=∠OFB，又∠BOE=∠FOB，則問題獲證.

點評 要證明線段成比例，尋找與線段相關(guān)的兩個三角形相似是處理此類問題最為常見的思維方式. 有時需先將原題中的某些線段進行等量代換，然后再通過相似進行證明.

方程思想和分類討論思想

在△ABC中，AB=24，AC=18，D是AC上一點，AD=12，在AB上取一點E，使A，D，E三點組成的三角形與△ABC相似，則AE的長為（ ）

A. 16 B. 14

C. 16或14 D. 16或9

解析 在AB上取一點E，使A，D，E三點組成的三角形與△ABC相似，顯然點E有兩種情況，即∠AED=∠ACB或DE∥BC，這樣，由相似三角形即可求出AE=9或16. 故應(yīng)選D.

點評 在解答有關(guān)相似形的某些習題時，往往需要按某一標準把問題分成若干個部分或情況，分別加以研究，逐一解決，從而得到完整的結(jié)果. 這種分類討論思想，需仔細審題，同時，分類要注意兩點，即正確選擇分類標準及分類要做到既不重復又不遺漏.

一塊直角三角形余料，直角邊BC=80 cm，AC=60 cm，現(xiàn)要最大限度地利用這個余料把它加工為一個正方形，求這個正方形的邊長.

解析 最大限度地利用余料，說明加工出來的正方形的頂點應(yīng)全部都在三角形的邊上，其中有兩個頂點在同一邊上，此時的這兩個頂點便出現(xiàn)了兩種情況：在直角邊上和在斜邊上，那究竟在什么邊上的面積最大？應(yīng)加以討論.