操作題

1. 操作題考查動手操作能力，往往與面積、對稱性質聯系在一起，常涉及畫圖、測量、猜想證明、歸納等問題.

2. 簡單的操作題往往通過仔細閱讀、動手操作或發揮空間想象能力，結合生活的經驗以及有關的數學知識來解決；難度稍大的證明、探索性的操作型問題則通過動手測量、作圖、取值、計算等實驗，猜想并探索獲得數學結論.

1. 如圖1，將半徑為2，圓心角為60°的扇形紙片AOB，在直線l上向右作無滑動的滾動至扇形A′O′B′處，則頂點O經過的路線總長為_________．

2. 如圖2，在矩形ABCD中，AB=6 cm，BC=8 cm，若將矩形折疊，使點B與點D重合，則折痕EF的長為________cm．

3. 如圖3，方格紙中的每個小方格都是邊長為1個單位的正方形，在建立平面直角坐標系后，△ABC的頂點均在格點上，點C的坐標為（4，-1）．

①把△ABC向上平移5個單位后得到對應的△ABC，畫出△ABC，并寫出C的坐標.

②以原點O為對稱中心，再畫出與△ABC關于原點O對稱的△ABC，并寫出點C的坐標．

4. （2011浙江杭州）在平面上，七個邊長均為1的等邊三角形，分別用①至⑦表示（如圖4）． 從④⑤⑥⑦組成的圖形中，取出一個三角形，使剩下的圖形經過一次平移，與①②③組成的圖形拼成一個正六邊形．

（1）你取出的是哪個三角形？寫出平移的方向和平移的距離.

（2）將取出的三角形任意放置在拼成的正六邊形所在平面上，問：正六邊形沒有被三角形蓋住的面積能否等于？請說明理由．

5. （2010北京密云）（1）觀察與發現：

小明將三角形紙片ABC（AB＞AC）沿過點A的直線折疊，使得AC落在AB邊上，折痕為AD，展開紙片（如圖4）；再次折疊該三角形紙片，使點A和點D重合，折痕為EF，展平紙片后得到△AEF（如圖5）． 小明認為△AEF是等腰三角形，你同意嗎？請說明理由．

（2）實踐與運用：

將矩形紙片ABCD沿過點B的直線折疊，使點A落在BC邊上的點F處，折痕為BE（如圖7）；再沿過點E的直線折疊，使點D落在BE上的點D′處，折痕為EG（如圖8）；再展平紙片（如圖9）． 求圖9中∠α的大小．

6. 如圖10，在△ABC中，AD為BC邊上的中線，則S=S，由這個結論解答下列問題：

（1）在圖11中，E，F分別為矩形ABCD的邊AD，BC的中點，則S和S之間滿足的關系式為_________；圖12中，E，F分別為平行四邊形ABCD的邊AD，BC的中點，則S和S之間滿足的關系式為_________.

（2）圖13中，E，F分別為四邊形ABCD的邊AD，BC的中點，則S和S之間滿足的關系式為_________.

（3）解決問題：如圖14中，E，G，F，H分別為任意四邊形ABCD的邊AD，AB，BC，CD的中點，并且圖中四個小三角形的面積的和為1，即S+S+S+S=1，求陰影部分的面積． （寫出過程）

7. （2008廈門）如圖15所示的一張矩形紙片ABCD（AD＞AB），將紙片折疊一次，使點A與點C重合，再展開，折痕EF交AD邊于E，交BC邊于F，分別連結AF和CE．

（1）求證：四邊形AFCE是菱形.

（2）若AE=10 cm，△ABF的面積為24 cm2，求△ABF的周長.

（3）在線段AC上是否存在一點P，使得2AE2=AC·AP？若存在，請說明點P的位置，并予以證明；若不存在，請說明理由．

8. 在平面上有且只有四個點，這四個點有一個獨特的性質：每兩點之間的距離有且只有兩種長度，例如正方形ABCD的四個頂點A，B，C，D，有AB=BC=CD=DA，AC=BD，請畫出具有這種獨特性質的另外四種不同的圖形，并標明相等的線段．

9. 圖17是邊長分別為4和3的兩個等邊三角形紙片ABC和C′D′E′疊放在一起（C與C′重合）．

（1）操作：固定△ABC，將△C′D′E′繞點C順時針旋轉30°得到△CDE，連結AD，BE，CE的延長線交AB于F（圖18）.

探究：在圖18中，線段BE與AD之間有怎樣的大小關系？試證明你的結論．

（2）操作：將圖18中的△CDE在線段CF上沿著CF方向以每秒1個單位的速度平移，平移后的△CDE設為△PQR（圖19）.

探究：設△PQR移動的時間為x s，△PQR與△ABC重疊部分的面積為y，求y與x之間的函數解析式，并寫出函數自變量x的取值范圍．

（3）操作：圖17中△C′D′E′固定，將△ABC移動，使頂點C落在C′E′的中點，邊BC交D′E′于點M，邊AC交D′C′于點N，設∠AC C′=α（30°＜α＜90°（圖20）.

探究：在圖20中，線段C′N·E′M的值是否隨α的變化而變化？如果沒有變化，請你求出C′N·E′M的值；如果有變化，請你說明理由．