豐富數學思維活動 培養學生空間觀念

小學“圖形與幾何”教學主要是在學生已有的知識和經驗基礎之上，通過觀察和操作、比較和分析、抽象和概括、推理和判斷等活動，幫助學生認識常見的幾何圖形和幾何體的形狀、大小、位置關系、運動方式，使學生更好地認識和描述生活空間，發展空間觀念、幾何直觀和推理能力，以及運用所學知識解決實際問題的能力。研究表明，發展學生空間觀念的基本策略是多種多樣的，經驗的回憶、觀察與操作、想象與推理、表達與交流等都是學生感知和體驗空間與圖形的現實意義，體驗數和形的聯系，建立空間觀念的重要途徑和方法。

一、經驗是展開幾何學習活動的前提條件

學生的幾何知識來自豐富的現實原型，與現實生活關系非常緊密。小學生在生活中已經積累了較為豐富的幾何經驗，這在他們認識和理解幾何圖形、發展空間觀念的過程中起著非常重要的作用，是教師組織教學活動的寶貴資源，也是學生展開幾何學習活動的前提條件。因此，激活并利用學生的已有經驗來幫助他們認識圖形的性質和特征，體驗幾何學習內容的實際價值是十分必要的。

用量角器量角是小學幾何教學中重要的操作技能，而學生在日常生活中一般不會直接接觸比較角的大小問題，因此學生缺乏這一方面的直接經驗，也沒有量角的實際需求，要找到學生熟悉的有關角的度量的生活原型并不容易。北京市第二實驗小學的華應龍老師就在他的課堂里“制造”了現實生活中并不存在的兩個不同角度的滑梯、使之與學生經驗中的滑梯形成鮮明的對比，給學生以視覺上的沖擊，不但有效地激活了學生的已有經驗，而且啟迪了學生的思維。當學生先選擇傾斜度最大的滑梯，然后又立刻改變主意選擇傾斜度適中的滑梯時，他們已經強烈地感受到角的大小，意識到這三個滑梯的區別在于角度不同。在這一過程中，學生產生了探索量角方法的迫切愿望，并初步體會到角的度量在現實生活中的應用價值。

二、觀察是獲得空間知覺的必要環節

觀察是一種有目的、有順序、相對持久的視覺活動，是學生了解外部世界不可或缺的一種活動。幾何學習中的觀察是多樣化和多側面的，主要是通過對具體實物、幾何模型、幾何圖形等材料的觀察，形成對研究對象的形狀特征及構成要素的認識，獲得對研究對象本質屬性以及對象性質之間關系的感知。小學生的幾何學習往往是從對具體對象的觀察開始的。只有通過觀察，學生才有可能建立圖形的形狀、大小和位置關系的表象，才有可能獲得對圖形性質的理解，才有可能正確把握圖形之間的聯系。因此，觀察是學生獲得空間知覺的必要環節，是建立和發展空間觀念的重要基礎。教學中要組織多種多樣的觀察活動，有目的、有計劃地對學生進行觀察方法的指導和良好觀察習慣的培養，以提高學生的觀察能力，發展空間觀念。此外，學生觀察的效果與學習材料的呈現方式有關。課堂教學中，既要通過標準圖形幫助學生初步建立幾何概念的表象，又要注意通過變式圖形幫助學生加深對幾何概念本質屬性的認識和體驗。

“三角形的內角和等于180°”是三角形的一條重要性質。由于學生在以前的學習中有過測量三角形三個內角度數的經驗，且對三角尺中三個角的度數比較熟悉，讓學生正確提出有關三角形內角和的猜想并不困難，但教學中不應以學生能提出猜想為唯一目的，還要注重讓學生經歷提出猜想的過程，并在這一過程中獲得一些直觀思考的經驗。上海市寶山區第一中心小學的潘小明老師在執教這一課時就精心組織了三個層次的活動。首先，引導學生觀察由銳角、直角和鈍角畫出銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形的過程，討論“哪個三角形內角度數的和最大”，并針對學生中出現的不同意見，通過觀察、比較和想象，引導學生根據“三角形的一個角在變大時，另兩個角在變小”的現象，初步形成“三個三角形的內角和可能一樣大”的認識。其次，引導學生從已有的學習經驗出發，由三角尺上三個內角的和是180°進一步提出“其他三角形的內角和是不是也等于180°”的疑問。再次，引導學生通過觀察和想象，進一步發現：鈍角越大，另外兩個銳角越小；當鈍角接近180°時，另外兩個銳角接近0°。由此建立“三角形的內角和等于180°”的猜想。整個教學環節，層層深入、步步為營，既關注猜想的結論，更關注提出猜想的過程，使學生在建立猜想的同時，思維能力和空間觀念得到了充分的發展。

三、操作是構建空間形式的重要方式

學生學習“圖形與幾何”，并不是一味地識記圖形的形狀、名稱、性質或量的計算公式，而要通過具體的操作活動去感知、發現，建構正確的空間形式和關系。因此，空間觀念的建立只靠觀察是不夠的，還必須引導學生進行具體的操作活動，在搭一搭、折一折、剪一剪、拼一拼、量一量、做一做、畫一畫等過程中，視覺、觸覺、聽覺等多種感官協同作用，完成對具體對象的抽象，形成相應的空間表象，獲得對幾何知識和方法的理解，建立和發展空間觀念。

探索三角形的三邊關系是認識三角形的教學難點。一是由于操作或視覺上的誤差，有些學生會誤認為用10厘米、6厘米和4厘米這樣的3根小棒也能圍成三角形；二是由于借助直觀進行歸納時，學生容易得出“三角形中兩條短邊長度的和一定大于最長的邊”這一結論，而再把這樣先入為主的結論引導到“三角形任意兩邊長度的和大于第三邊”上來往往比較困難。因此，組織好學生的操作和交流活動就顯得尤為重要。所以在這一課教學中我們對探索三角形三邊關系的教學環節做了細致的安排。首先，在呈現操作材料后，是先讓學生借助直覺進行判斷：從10厘米、6厘米、5厘米、4厘米這4根小棒中任意選擇3根是不是都能圍成三角形？激發了學生進一步探索的欲望。其次，在討論用10厘米、6厘米和4厘米這3根小棒能否圍成三角形時，一方面讓不同意見的學生展示自己的操作過程，使他們在交流與碰撞中逐步形成正確的認識；另一方面通過多媒體的精確演示，明確這3根小棒不能圍成三角形的道理，既凸顯了學生的主體地位，又充分發揮了教師的主導作用，實現了教與學的和諧統一。再次，完成操作與交流后，教師沒有就此歸納三角形的三條邊的關系，而是引導學生把3根小棒中任意兩根的長度與第三邊比較，得到4組算式，并由此發現圍成三角形的3根小棒的必要條件，概括出三角形的三邊關系。這樣為學生提供了足夠的探索空間，促使學生展開有效的數學思考，并在觀察、操作、比較和交流中自主歸納出三角形的三邊關系，有效地發展了空間觀念。

四、想象是建立空間觀念的關鍵因素

數學想象是數學思維的基本要素，是數學認知活動中不可缺少的環節。一般來說，在各種數學新觀念產生的過程中，或多或少都有數學想象的作用。在幾何學習過程中，想象往往伴隨著觀察、操作等活動展開。學生通過想象能直接、有效地獲得圖形的形狀、大小、位置關系以及物體間距離的表象，形成正確的概念表征。因此，空間想象是小學生幾何學習活動中重要的學習方式，是學生發展空間思維、建立空間觀念的關鍵因素。

例如教學正方體的展開圖時，學生通過操作得到最基本的正方體展開圖后，教師并沒有進一步讓學生沿著其他的棱把正方體展開，而是引導學生通過觀察和想象發現：這個圖形中4個連排的正方形可以看做正方體兩組相對的面，而正方體上下面“2只耳朵”可以看做另外一組相對的面，使學生對正方體展開圖中各個面的分布規律有一個結構性的把握，也為接下來想象展開不同圖形的活動積累一定的感性經驗。在構造正方體展開圖的活動中，教師引導學生圍繞“這2只耳朵還可以長在哪兒”的問題展開想象，并通過操作進行驗證，使學生在正反例的對比中，發現“有連排4個正方形的圖形”是否能折疊成正方體的規律。在此基礎上，引導學生把判斷一個圖形是不是正方體展開圖的方法推廣到更一般的情況，解決沒有4個正方形連排的圖形是否能折疊圍成正方體的問題，使學生在反復想象和驗證的過程中學會判斷一個由6個正方形組成的圖形能否折疊圍成正方體的方法。在這個過程中，想象始終是學生學習活動的主要方式——構造展開圖時需要想象“2只耳朵”的位置；判斷一個圖形能否折疊圍成正方體時需要在頭腦中嘗試將圖形進行折疊并找到三組相對的面；完成標注后，需要想象展開圖中正方形與正方體各面之間的對應關系。正是因為經歷了想象的活動過程，學生才能逐漸積累根據表象展開想象的經驗，發展空間觀念。

五、推理是發展空間思維的主要渠道

推理是數學的基本思維方式，也是人們學習和生活中經常使用的思維方式。小學生幾何學習過程中的推理很大程度上是依賴直觀展開的，學生的幾何推理能力主要是在圖形的變換、轉化等過程中得到發展的。教學中，要引導學生在觀察、操作、想象和交流中，通過比較和分析、抽象和概括、歸納和類比等活動，逐步認識圖形的特征及性質，了解不同圖形之間的關系，解釋和解答一些簡單的幾何問題，發展空間觀念、幾何直觀和推理能力。

例如在教學三角形面積計算公式的推導時，引導學生用兩個完全一樣的銳角三角形、直角三角形或鈍角三角形，通過剪、拼得到平行四邊形或長方形后，組織學生對兩個問題展開討論。第一個問題主要是幫助學生建立三角形的底和高與拼成的平行四邊形（或長方形）的底和高之間的對應關系，這也是接下來借助直觀進行推理的前提條件。第二個問題主要是引導學生進行兩個層次的直觀推理：一是由剪、拼圖形的過程，推出拼成的平行四邊形（或長方形）的底和高（或長和寬）與三角形的底和高之間的對應關系，推出三角形的面積公式。這既需要細心的觀察和比較，更需要用數學來思考，學生在這一過程中，不僅理解了三角形的面積公式，還從中領悟了轉化的思想方法，感受到圖形之間的聯系，數學思維能力和空間觀念得到了充分的發展。揭示三角形的面積公式后，教師進一步引導學生討論“底×高”算出的是什么，為什么要除以2，為學生進一步強化三角形面積公式的表象提供了機會。

（作者單位：丹陽市正則小學，江蘇 丹陽，212300）