如何利用解幾知識(shí)解決面積最大問題

例題.如圖，在一條直的國道同側(cè)有相距120米的A、C兩處，點(diǎn)A、C到公路的距離分別是119米、47米.擬規(guī)劃建設(shè)一個(gè)以AC為對(duì)角線的平行四邊形ABCD的臨時(shí)倉庫，且四周圍墻總長(zhǎng)為400米. 根據(jù)公路法以及省公路管理?xiàng)l例規(guī)定，建筑物離公路距離不得少于20米. 若將臨時(shí)倉庫面積建到最大，此規(guī)劃是否符合規(guī)定？

分析：這是一個(gè)實(shí)際問題，給出的條件是幾何圖形及其要滿足的條件.首先，我們知道臨時(shí)倉庫ABCD是平行四邊形，且平行四邊形ABCD的周長(zhǎng)是400m，由于平行四邊形兩對(duì)邊平行且相等，所以AB+BC=AD+AC=200>160. 建立以AC所在直線為x軸，AC中點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，可知B、D兩點(diǎn)在以A、C為焦點(diǎn)的橢圓上（除去兩個(gè)點(diǎn)）.

其次，臨時(shí)倉庫面積最大，即ABCD面積最大.什么時(shí)候ABCD面積最大？這是我們要解決的一個(gè)難點(diǎn).由于平行四邊形ABCD的面積等于兩個(gè)三角形ADC的面積，即等于AC乘以高.觀察圖形知，當(dāng)B、D是橢圓短軸的兩個(gè)端點(diǎn)時(shí)，滿足條件.

再次，建筑物（臨時(shí)倉庫）離公路距離不得少于20米，即求最近點(diǎn)D到公路的距離是多少，即可判斷規(guī)劃是否符合題意.問題又可轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)D到直線（公路）的距離.這里求直線方程（公路所在的直線）又是一個(gè)難點(diǎn).有兩種思路：一是由A（—60，0），C（60，0），設(shè)公路所在的直線方程為y=kx+b，再由A、C到直線的距離分別為119m、47m，建立關(guān)于k、b的二元一次方程組，再求出k、b的值，方程便可求出；另一種思路是利用幾何性質(zhì)，即通過相似三角形的性質(zhì)和斜率的定義，求出直線方程.

解析：由題意，得|AB|+|CB|=|DA|+|DC|=200>160，

所以平行四邊形基地的另兩個(gè)頂點(diǎn)B、D在以A、C為焦點(diǎn)的橢圓上.

以AC所在直線為x軸，AC中點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，如圖所示，