從2012年高考湖北卷數(shù)學(xué)理科第13題話回文與回文數(shù)

2012年高考數(shù)學(xué)湖北卷理科第13題如下：

回文數(shù)是指從左到右讀與從右到左讀都一樣的正整數(shù).如22，121，3443，94249等.顯然2位回文數(shù)有9個(gè)：11，22，33，…，99. 3位回文數(shù)有90個(gè)：101，111，121，…，191，202，…，999.則（Ⅰ）4位回文數(shù)有 個(gè)；（Ⅱ）2n+1（n∈N*）位回文數(shù)有 個(gè).

回文“palindrome”一詞來(lái)源于希臘語(yǔ)的“palindromo”，意為“running back again”，是指無(wú)論順拼（寫(xiě)）或倒拼（寫(xiě)）都完全一樣的詞、詩(shī)歌、句子或數(shù)字等.如我國(guó)清代著名女詞人吳絳雪曾有詠四季的四首回文詩(shī)《春夏秋冬》，其中的《夏》為：

香蓮碧水動(dòng)風(fēng)涼，水動(dòng)風(fēng)涼夏日長(zhǎng).

長(zhǎng)日夏涼風(fēng)動(dòng)水，涼風(fēng)動(dòng)水碧蓮香.

詩(shī)詞描繪了一副卷卷夏日涼風(fēng)吹拂湖面，水波蕩漾，荷花飄香的美景，讀來(lái)音韻優(yōu)美，意境清新，形式奇妙，可為佳作.而在中國(guó)詩(shī)壇上這樣的回文詩(shī)句舉不勝舉.

北京“天然居”餐館，迎面有對(duì)聯(lián)：

客上天然居，居然天上客.

客人看了心境特好，而且上、下聯(lián)為回文聯(lián).據(jù)說(shuō)乾隆皇帝別出心裁，把兩句并成新的上聯(lián)，征求下聯(lián).大臣紀(jì)昀機(jī)敏過(guò)人，對(duì)出下聯(lián)：

人過(guò)大佛寺，寺佛大過(guò)人.

對(duì)仗工整，體現(xiàn)了對(duì)稱、和諧、高雅美！

再如英語(yǔ)中有回文單詞：radar（雷達(dá)），level（水平，水平面），rotator（旋轉(zhuǎn)體），pop（流行音樂(lè)），deed（行動(dòng)），civic（市民的）等等；還有回文句，如：Able was I ere I saw Elba（不見(jiàn)厄爾巴島，我不倒.這是拿破侖被問(wèn)及是否已入侵英格蘭時(shí)的回答）；Ma is as selfless as I am（媽媽和我一樣無(wú)私）；A man，a plan，a canal，Panama！（偉大的人，偉大的計(jì)劃，偉大的巴拿馬運(yùn)河），等等，這樣的回文單詞和回文句子在英語(yǔ)中同樣舉不勝舉.

隨著時(shí)代的發(fā)展，現(xiàn)在各種廣告中還出現(xiàn)一些回文商標(biāo)，如101生發(fā)水、505神功元?dú)獯?14毛巾、555香水、999胃藥等，其中的數(shù)字都是回文數(shù)，就連常見(jiàn)的呼救信號(hào)SOS也都是回文.可見(jiàn)，“回文”現(xiàn)象無(wú)處不在.而在數(shù)學(xué)中，最有趣的就是回文數(shù)了.下面我們談?wù)剶?shù)學(xué)中回文數(shù)的一些有趣問(wèn)題.

1. 回文數(shù)的個(gè)數(shù)

顯然兩位數(shù)的回文數(shù)有11，22，…，99，共9個(gè)；三位數(shù)的回文數(shù)有1i1，2i2，…，9i9，i=0，1， …，9，共90個(gè)；四位數(shù)的回文數(shù)有1ii1，2ii2， ……，9ii9，i=0，1， …，9，共90個(gè)；相應(yīng)的，五位數(shù)的回文數(shù)有900個(gè)，六位數(shù)的回文數(shù)也有900個(gè)，…，由此可歸納猜想一般結(jié)論：

命題1 n位數(shù)的回文數(shù)的個(gè)數(shù)，當(dāng)n=2k（k∈N*）時(shí)有9×10k—1個(gè)；當(dāng)n=2k+1（k∈N*）時(shí)有9×10k個(gè)，其中k∈N*.

證明 設(shè)回文數(shù)為a1a2…an—1an，當(dāng)n=2k（k∈N*）時(shí)，必有a1=a2k，a2=a2k—1，…，ak=ak+1，顯然，a1與a2k可取1，2，…，9；a2與a2k—1可取0，1，…，9；…；ak與ak+1可取0，1，…，9，故根據(jù)乘法原理，當(dāng)n=2k（k∈N*）時(shí)的回文數(shù)個(gè)數(shù)為1個(gè)9與（k—1）個(gè)10相乘，即9×10k—1個(gè).

當(dāng)n=2k+1（k∈N*）時(shí)，必有a1=a2k+1，a2=a2k，…，ak=ak+2，ak+1=ak+1，顯然，a1與a2k+1可取1，2，…，9；a2與a2k可取0，1，…，9；…；ak與ak+2可取0，1，…，9；ak+1可取0，1，…，9，故根據(jù)乘法原理，當(dāng)n=2k+1（k∈N*）時(shí)的回文數(shù)個(gè)數(shù)為1個(gè)9與k個(gè)10相乘，即9×10k個(gè).

由此知高考題的答案是：（1）90；（2）9×10k.

2. 回文數(shù)的幾個(gè)性質(zhì)

回文數(shù)與11有特別的關(guān)系：

命題2 從1到9的任何一個(gè)數(shù)乘以11，總能得出回文數(shù)，如2×11=22，7×11=77等.

如果一個(gè)回文數(shù)的位數(shù)是雙數(shù)，那么它總能被11除盡，如6556÷11=596；32523÷11=29593等.我們將這個(gè)性質(zhì)敘述為如下的命題

命題3 每一個(gè)偶位數(shù)回文數(shù)均可被11整除.

證明 設(shè)回文數(shù)為a1a2…an—1an，當(dāng)n=2k（k∈N*）時(shí)，a1a2…a2k—1a2k=a1a2…akak+1…a2a1，顯然，a1可取1，2，…，9；a2，a3，…，ak可取0，1，…，9，故a1a2…akak+1…a2a1=a1+10a2+…+10k—1ak+1+10kak+…+102k—2a2+102k—1a1，而10≡

—1（mod 11），102≡1（mod 11），103≡—1（mod 11），…，102k—1≡—1（mod 11），故a1a2…akak+1…a2a1≡a1—a2+a3—…—a3+a2—a1≡0（mod 11）.

注 命題3中，當(dāng)回文數(shù)的位數(shù)是4時(shí)即為1992年云南初二年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽題，題目如下：

把一個(gè)正整數(shù)的數(shù)碼按順序倒寫(xiě)后所得的數(shù)與原數(shù)相同稱為回文數(shù)，例如：22，101，342243，…

（1）將任意兩個(gè)四位回文數(shù)的差記為x，求x的最小正值m；

（2）證明：每一個(gè)四位回文數(shù)都能m被整除.

命題4 如果一個(gè)回文數(shù)的位數(shù)是雙數(shù)，并且越往中間數(shù)字越大，越靠?jī)深^數(shù)字越小，那么用它除以11的商一定是回文數(shù)，如2456886542÷11=223353322，2558998552÷11=232636232等.證明留給讀者.

除此之外，還有許多有關(guān)回文數(shù)的有趣性質(zhì)，如

命題5 任意兩個(gè)凡是由1組成的數(shù)位不超過(guò)9的回文數(shù)相乘時(shí)結(jié)果一定也是回文數(shù)，如11×11=121，111×1111=123321，1111×11111=12344321等.這是有限個(gè)式子，讀者完全可以一一驗(yàn)證，但有沒(méi)有具體的證明方法，筆者還未找到.

在命題5中，我們考慮特殊情形，即任意由1組成的數(shù)位不超過(guò)9的回文數(shù)與其自身相乘時(shí)結(jié)果一定也是回文數(shù)，我們暫且稱為回文平方數(shù)，如112=121，1112=12321，11112=12344321，…；類似地，回文立方數(shù)也有類似情況，如113=1331，1113=1367631，…但人們借助電子計(jì)算機(jī)迄今未能找到四次方、五次方以及更高次冪的回文數(shù)，于是數(shù)學(xué)家們猜想：

不存在nk（n；k∈N*，k≥4）型的回文數(shù).

命題6 任取一個(gè)數(shù)（兩位及以上），把它倒過(guò)來(lái)，并將這兩個(gè)數(shù)相加，然后把這個(gè)和數(shù)再倒過(guò)來(lái)與原數(shù)相加，重復(fù)這個(gè)過(guò)程，在有限的步驟內(nèi)，一定會(huì)得到一個(gè)回文數(shù).

如46+64=110，110+11=121（注：110倒過(guò)來(lái)是011，但對(duì)應(yīng)的數(shù)應(yīng)該是11），通過(guò)兩次運(yùn)算就得到回文數(shù)121；59+95=154，154+451=605，605+506=1111，通過(guò)三次運(yùn)算就得到回文數(shù)1111；再如197+791=988，988+889=1877，1877+7781=9658，9658+8569=18227，18227+72281=90508，90508+80509=171017，171017+710171=881188，經(jīng)過(guò)七次運(yùn)算得到881188這個(gè)回文數(shù).等等，這樣的例子也不勝枚舉，但這也僅是一個(gè)猜測(cè)，到目前為止還無(wú)一人給出證明或否定.不過(guò)，細(xì)心的科學(xué)家還是找到了一個(gè)“意外”， 這就是 196.為了給196 找到自己的回文，加拿大的科學(xué)家在前些年曾經(jīng)連續(xù)奮戰(zhàn)了289天， 他們?cè)谟?jì)算機(jī)上加了幾百萬(wàn)次，已經(jīng)得出一個(gè)1300萬(wàn)位數(shù)， 可仍舊不是回文.科學(xué)家們只好死心了， 但他們也沒(méi)法證明196就一定沒(méi)有回文.196這個(gè)“謎”使很多數(shù)學(xué)家徹夜未眠！也許這個(gè)猜想與哥德巴赫猜想一樣將成為世界級(jí)的數(shù)學(xué)難題！

不過(guò)關(guān)于一開(kāi)始取出的數(shù)是兩位數(shù)的情形，下面我們給出證明.

設(shè)取出的兩位數(shù)為ab=10a+b（a，b=1，2，…，9），則（10a+b）+（10b+a）=11（a+b）.

（1）若a+b≤9，則11（a+b）顯然就是一個(gè)回文數(shù)；

（2）若a+b=10，則11（a+b）=110，110+011=121，作兩次加法運(yùn)算即得回文數(shù)；

（3）若a+b=11，則11（a+b）=121是回文數(shù)；

（4）若a+b=12，13，14，15，16，17，18時(shí)，分別經(jīng)過(guò)兩次、兩次、三次、四次、六次、二十四次、六次加法運(yùn)算就得到回文數(shù)，其中當(dāng)a+b=17時(shí)，經(jīng)過(guò)二十四次加法運(yùn)算的回文數(shù)是8813200023188.

綜上所述，對(duì)兩位數(shù)的情形，命題6是正確的.

筆者在研究回文數(shù)性質(zhì)時(shí)還發(fā)現(xiàn)一個(gè)有趣的現(xiàn)象，以命題給出：

命題7 兩個(gè)由具有相同數(shù)字任意排列組成的回文數(shù)之差一定能被81整除.

如5142415—1452541=3689874=45554×81；5142415—1542451=3599964=44444×81；5142415—4152514=989901=12221×81；5142415—4512154=630261=7781×81…

更有趣的是它們的商也有的是回文數(shù)，是否也有規(guī)律可循呢？

由于筆者水平有限上述命題沒(méi)有能給出證明，請(qǐng)有興趣的讀者自行研究.

關(guān)于回文數(shù)的奧妙無(wú)窮盡，比如回文素?cái)?shù)等問(wèn)題也很有趣，大家繼續(xù)探討吧！

（作者單位：深圳市南頭中學(xué)）

責(zé)任編校 徐國(guó)堅(jiān)