八法助陣機械能的復習

一、正確理解兩種含義——功和功率的公式

功的公式：W=F#8226;S#8226;cos，功為標量.

注意：F為恒力，S為相對地面的位移，夾角為力與力的方向上夾角，角度為銳角，表示正功，鈍角表示負功，直角表示做功為零. 公式有兩種拆法：W=F cos#8226;S，理解為位移方向的力為有效功，垂直位移方向為無效功. W=F#8226;S cos，理解為力方向的位移為有效位移，垂直力方向為無效位移.

功率的公式：

1. 平均功率P=W/t；

2. 恒力功率P=Fvcos，將平均速度代入公式，則同樣可求得平均功率；

3. 功率的物理意義：功率是描述做功快慢的物理量.

二、把握“四法”求力的功

1. 公式法：W=F#8226;S#8226;cos，注意F為恒力，S為相對地面的位移. 或由公式W=Pt求，不論力F是恒力還是變力，只涉及功率和時間，利用W=Pt來求.

2. 動能定理法：合外力的功等于物體的動能變化，W合外力＝ΔEK.

3. 功能關系法：涉及多種能量形勢的情況，已知能量的變化，求某變力的功.

4. 機械能守恒法：從機械能發生變化原因列方程．

【例1】汽車發動機的額定功率是60kW，汽車質量是5t，當汽車在水平路面上行駛時，設汽車所受的阻力是車重的0.1倍，若汽車從靜止開始保持以1m/s2的加速度作勻加速直線運動，取g=10m/s2.試問：

①這一過程能維持多長時間？

②在該過程中汽車克服摩擦力做了多少功？

解析：①汽車所受的滑動摩擦力為：

f = 0.1G=0.1×5000×10 = 5000N.

設汽車的牽引力為F，由牛頓第二定律得：F-f＝ma

即：F=ma+f=5000kg×1m/s2+5000N=10000N.

由P= Fv可得汽車所能達到的最大速度：

v=P/F=60000/10000 = 6m/s.

由v=at可得汽車在這一過程維持的時間為：

t=v/a=6/1=6s.

②下面通過幾種方法來求該過程中汽車克服摩擦力做的功：

方法一：根據功的定義求：

機車在此過程中通過的位移為：

s=at2=×1×6２=18m.

摩擦力做的功為：W=fs=5000×18=90000J．

方法二：根據動能定理求

由動能定理可得：Fs-Wf=mv2

由此可得：Wf =Fs-mv2

=10000×18-×5000×62

=90000J

方法三：根據能的轉化與守恒求

汽車的牽引力所做的功有兩個去向，一部分轉化為汽車的動能，另一部分轉化為克服摩擦力做的功，根據能的轉話與守恒可得：

Wf =Fs-mv2

=10000×18-×5000×62

=90000J

方法四：根據公式W=Pt求

在此過程中，汽車所做的總功為：

W=Pt=60000×6=360000J

根據能的轉話與守恒可得：

Wf =Pt-mv2

＝360000-×5000×62

=90000J.

三、明確“五大功與能對應”

做功的過程是能量轉化的過程，功是能的轉化的量度. 功是一種過程量，它和一段位移相對應；而能是一種狀態量，它與一個時刻相對應. 兩者的國際單位都是J，但不能說功就是能，也不能說“功變成了能”.

1． 合力的功→動能變化：W外=ΔEk，這就是動能定理.

2． 非重力的功→機械能變化：W其=ΔE機，（W其表示除重力以外的其它力做的功），這就是機械能守恒定律的推論，若W其＝0 就是機械能守恒定律了.

3． 彈力的功→彈性勢能變化：WN =-ΔEP彈簧.

4． 重力的功→重力勢能變化：WG =-ΔEP.

5． 摩擦力總功→內能的增加：f#8226;d=Q（d為這兩個物體間相對移動的路程）.

【例2】一質量均勻不可伸長的繩索，重為G，A、B兩端固定在天花板上，如圖1所示，今在最低點C施加一豎直向下的力將繩拉至D點，在此過程中，繩索AB的重心位置（ ）

A． 逐漸升高

B． 逐漸降低

C． 先降低后升高

D． 始終不變

解析：功是能量轉化的量度，對繩做了功，繩的能量一定增加，此能量表現為重力勢能增加. 在C點施加豎直向下的力做了多少功就有多少能量轉化為繩的機械能，又繩的動能不增加，所以繩的重力勢能增加了，即繩的重心位置升高了，所以選項A正確.

答案：A

四、把握“三法”判斷機械能守恒定律

只有重力做功，物體的動能和重力勢能發生相互轉化，但機械能的總量保持不變. 對機械能守恒定律的理解為：

1． 機械能守恒定律的研究對象一定是系統，至少包括地球在內.

2． 當研究對象（除地球以外）只有一個物體時，往往根據是否“只有重力做功”來判定機械能是否守恒；當研究對象（除地球以外）由多個物體組成時，往往根據是否“沒有摩擦”來判定機械能是否守恒.

3．“只有重力做功”不等于“只受重力作用”. 在該過程中，物體可以受其它力的作用，只要這些力不做功，或所做功的代數和為零，就可以認為是“只有重力做功”.

通過以上理解，總結判斷機械能守恒的方法如下：

1． 守恒法：Ep+Ek=E′p+E′k；ΔEp+ΔEk=0；ΔE1+ΔE2=0；ΔE增＝ΔE減.

2． 動能定理法：W其=ΔE機（W其表示除重力以外的其它力做的功），ΔE機＝0則守恒.

3． 功能關系法：除了動能、重力勢能、彈性勢能，沒有其它能量形式的產生則守恒.

【例3】如圖2所示，小球從高處下落到豎直放置的輕彈簧上，在將彈簧壓縮到最短的整個過程中，下列關于能量的敘述中正確的是

A． 重力勢能和動能之和總保持不變

B． 重力勢能和彈性勢能之和總保持不變

C． 動能和彈性勢能之和總保持不變

D． 重力勢能、彈性勢能和動能之和總保持不變

解析：物體的機械能是否守恒與選擇研究對象有關. 此題如以球為研究對象，在球與彈簧接觸后，彈力對球做功，機械能不守恒. 但以球和彈簧組成的系統為研究對象，則機械能守恒. 此題若以系統為研究對象，其重力勢能+動能+彈性勢能的總和保持不變，但三部分能量之間隨時都在進行著相互轉化. 以此選項D正確. A、B、C中任意兩部分能量之和都在變化. 所以選項A、B、C錯誤：

答案：D

五、明確機車的兩種啟動問題

1． 恒定功率啟動. 由P=Fv和F-f=ma知，由于P恒定，隨著v的增大，F必將減小，a也必將減小，汽車做加速度不斷減小的加速運動，直到F=f，a=0，這時v達到最大值vm==. 這種加速過程發動機做的功只能用W=Pt計算，不能用W=Fs計算，因為F為變力. 具體過程如下：

2． 恒定牽引力啟動. 由公式P=Fv和F-f=ma知，由于F恒定，所以a恒定，汽車做勻加速運動，而隨著v的增大，P也將不斷增大，直到P達到額定功率Pm，功率不能再增大了. 這時勻加速運動結束，其最大速度為v’m=<=rm，此后汽車要想繼續加速就只能做恒定功率的變加速運動了. 這種加速過程發動機做的功只能用W=F#8226;s計算，不能用W=P#8226;t計算（因為P為變功率）. 具體過程如下：

【例4】汽車發動機額定功率為60 kW，汽車質量為5.0×103kg，汽車在水平路面行駛時，受到的阻力大小是車重的0.1倍，試求：若汽車從靜止開始，以0.5 m/s2的加速度勻加速運動，則這一加速度能維持多長時間？

解析：汽車達到最大速度之前已經歷了兩個過程：勻加速和變加速，勻加速過程能維持到汽車功率增加到P額的時刻，設勻加速能達到最大速度為v1，則此時有

v1=atP額Fv1F-kmg=ma代入數據可得：t=16s.

六、把握解題的重要法寶之一——動能定理

1． 動能定理的表達式：W合外力=mv2t-mv20，只要知道合力F、位移S、始末速度v0、v四個物理量中任意三個就可求解第四個.

2． 過程與狀態的選取：選取一個過程，確定兩個狀態，即初末狀態及與過程對應的所有外力做功的代數和. 動能定理不僅適用于一個單一的運動過程，也適用于由幾個連續進行的不同過程組成的全過程，當物體參與兩個以上的運動過程時，既可分階段分別列式計算求解，也可以對全過程列方程求解，且對全過程列方程更方便，簡單.

【例5】如圖3所示，一質量為2kg的鉛球從離地面2m高處自由下落，陷入沙坑中2cm深處.求沙子對鉛球的平均阻力.（g=10m/s2）.

解析：全過程中有重力做功，進入沙中又有阻力做功，所以總功為：

W總=mg（H+h）-Fh

根據動能定理得：

mg（H+h）-Fh=0

故F=mg（H+h）/h=2×10×（2+0.02）/0.02N=2020N.

七、摩擦力做功歸類

1． 相互作用的一對靜摩擦力，如果一個力做正功，另一個力一定做負功，并且量值相等，即一對靜摩擦力做功不會產生熱量.

2． 相互作用的一對滑動摩擦力做功的代數和一定為負值，即一對滑動摩擦力做功的結果總是使系統的機械能減少，減少的機械能轉化為內能：Q=F滑#8226;S相，其中F滑必須是滑動摩擦力，S相必須是兩個接觸面相對滑動的距離（或相對路程）.

【例6】如圖4所示，質量為m的小鐵塊A以水平速度v0沖上質量為M、長為l、置于光滑水平面C上的木板B，正好不從木板上掉下，已知A、B間的動摩擦因數為μ，此時木板對地位移為s，求這一過程中：

(1)木板增加的動能；

(2)小鐵塊減少的動能；

(3)系統機械能的減少量；

(4)系統產生的熱量.

解析：在此過程中摩擦力做功的情況是：A和B所受摩擦力分別為F1、F2，且F1=F2=μmg，A在F1的作用下勻減速，B在F2的作用下勻加速；當A滑動到B的右端時，A、B達到一樣的速度v，就正好不掉下.

（1）對B根據動能定理得：μmgs=mv2-0

從上式可知B增加的動能：ΔEKB=μmgs.

（2）滑動摩擦力對小鐵塊A做負功，根據功能關系可知：ΔEKA=-μmg(s+l)即小鐵塊減少的動能為

－ΔEKA＝mv02－mv2＝μmg(s+l).

（3）系統機械能的減少量：

ΔE＝mv02－mv2－Mv2＝μmgl.

（4）m、M相對位移為l，根據能的轉化與守恒可知系統減少的動能轉化為系統產生的熱量得：Q=μmgl.

八、把握與機械能守恒定律相關的常見題型

題型一：單個物體與機械能守恒定律

【例7】如圖5示，長為L的輕質硬棒的底端和中點各固定一個質量為m的小球，為使輕質硬棒能繞轉軸O轉到最高點，求底端小球在如圖示位置應具有的最小速度.

解析：系統的機械能守恒，ΔEP +ΔEK=0.

因為小球轉到最高點的最小速度可以為0，由機械能守恒得：mv2+m（）2＝mg#8226;L+mg#8226;2L

解得:v==.

題型二：機械能守恒定律與連接體

【例8】如圖6所示，有一根輕桿AB，可繞O點在豎直平面內自由轉動，在AB端各固定一質量為m的小球，OA和OB的長度分別為2a和a，開始時，AB靜止在水平位置，釋放后，AB桿轉到豎直位置，A、B兩端小球的速度各是多少？

解析：因為兩小球固定在輕桿的兩端，隨桿一起轉動時，它們具有相同的角速度，則轉動過程中，兩小球的線速度與半徑成正比. 系統運動時只有重力做功，故對該系統從水平到豎直的過程中由機械能守恒定律得：

2mga-mga=mvA2+mvB2

又：vA=2vB

所以可解得：vA=2，vB=.

題型三：機械能守恒定律與平拋運動、圓周運動的結合

【例9】如圖7所示，一個質量為0.6kg 的小球以某一初速度從P點水平拋出，恰好從光滑圓弧ABC的A點的切線方向進入圓弧（不計空氣阻力，進入圓弧時無機械能損失）. 已知圓弧的半徑R=0.3m ， θ=60°，小球到達A點時的速度 v=4 m/s .（取g=10m/s2）求：

（1）小球做平拋運動的初速度v0；

（2）P點與A點的水平距離和豎直高度；

（3）小球到達圓弧最高點C時對軌道的壓力.

解析：（1）小球到A點的速度如圖8所示，由速度的分解得：v0＝vx=vAcosθ=4×cos60°=2m/s.

（2）vy=vAsinθ=4×sin60°=2m/s

由平拋運動規律得：v2y=2gh，vy=gt，x=v0t

代入數據解得h=0.6mx=0.4m≈0.69m.

（3）取A點為重力勢能的零點，由機械能守恒定律得：

mv2A=mv2C+mg(R+Rcosθ)

代入數據得：vc=m/s

由圓周運動向心力公式得：NC+mg=m

代入數據得：NC=8N.

由牛頓第三定律得：小球對軌道的壓力大小N/C=NC=8N，方向豎直向上.

題型四：機械能守恒定律與彈簧問題

【例10】如圖9質量為m1的物體A經一輕質彈簧與下方地面上的質量為m2的物體B相連，彈簧的勁度系數為k，A、B都處于靜止狀態. 一條不可伸長的輕繩繞過輕滑輪，一端連物體A，另一端連一輕掛鉤. 開始時各段繩都牌伸直狀態，A上方的一段沿豎直方向. 現在掛鉤上掛一質量為m3的物體C上升. 若將C換成另一個質量為(m1+m3)物體D，仍從上述初始位置由靜止狀態釋放，則這次B則離地時D的速度的大小是多少？已知重力加速度為g.

解析：開始時B靜止平衡，設彈簧的壓縮量為x1，由力的平衡有：kx1=m1g.

掛C后，當B剛要離地時，設彈簧伸長量為x2，由力的平衡有：kx2=m2g.

此時，A和C速度均為零. 從掛C到此時，根據機械能守恒定律彈簧彈性勢能的改變量為

ΔE=m3g(x1+x2)-m1g(x1+x2)

將C換成D后，有

(m1+m3)v2+m1v2=(m1+m3)g(x1+x2)-m1g(x1+x2)－ΔE.

聯立以上各式可以解得v=.

（作者單位：陽山縣陽山中學）

責任編校李平安