2012年高考廣東理科數(shù)學(xué)模擬試題

一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分）

1. 復(fù)數(shù)Z1=3+i，Z2=3-i，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A． 第一象限B． 第二象限

C． 第三象限 D． 第四象限

2. 已知集合A＝｛x｜y=x2+x+1｝，B=｛y｜y=x2+x+1｝則A∩B=（）

A． RB． ｛x｜x≥｝

C． ｛x｜x≤｝ D． ｛x｜x≥｝

3. 已知兩條直線m，n，兩個(gè)平面，，給出4個(gè)命題：①若m⊥，m，則⊥；②若∥，m∥n，m⊥，則n⊥；③若∩＝n，且m∥，m∥，且m∥n；④若m∥，n∥，m⊥n，則∥.其中正確命題的個(gè)數(shù)為（）

A． 1B． 2C． 3D． 4

4. 公差不為零的等差數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn.若a4是a3與a7的等比中項(xiàng)，S8=32，則S10等于（）

A． 18B． 24C． 60D． 90

5. 在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c已知=，則的值為（）

A． B．C． 2D． 3

6. 獵人在距離100m處，射擊一獵物，其命中率為0.5；如果獵人第一次未射中，則要進(jìn)行第二次射擊，此時(shí)，距離為150m；第二次未射中，獵物就會(huì)跑掉.已知獵人的命中率與距離的平方成反比，則獵人命中獵物的概率為（）

A． B． C． D．

7. 已知、、是同一平面上的三個(gè)向量，其中=（１，２）.若||＝，且+2與2-垂直，則與的夾角為（）

A． B． C． D．

8. 將集合{2t+2S｜0≤s＜t，且s，t∈Z}中所有的數(shù)按照上小下大，左小右大的原則寫成如下的三角形數(shù)表：

3

5 6

91012

------------

---------------

則該數(shù)表中，從小到大第50個(gè)數(shù)為（）

A．1056B． 1046C． 1036 D． 1026

二、填空題：（本題共7小題，考生作答6小題，每小題5分，滿分30分）

（一）必做題

9. 已知s（x）=1，（x≥0）-1，（x≥0）則函數(shù)g（x）=s（｜x｜）+｜s（x）｜的值域?yàn)?

10. 已知P為雙曲線-=1（a＞０，b＞０）左支上一點(diǎn)，Ｆ１，Ｆ２為雙曲線的左右焦點(diǎn)，且cos∠PＦ１Ｆ２=sin∠PＦ2Ｆ1 =，則此雙曲線離心率是__________.

11. 右邊是根據(jù)所輸入的x值計(jì)算y值的一個(gè)算法程序，若x依次取數(shù)列{-1}（n∈N+）中的前200項(xiàng)，則所得y值中的最小值為 .

12. 設(shè)點(diǎn)A（1，0），B（2，1），如果直線ax+by=1與線段AB有一個(gè)公共點(diǎn)，那么a2+b2的最小值為___________．

13. 過△ABC的一邊AB上任一點(diǎn)O分別作OA1∥AC，OB1∥BC，分別交BC，AC于A1，B1，容易得到 +=1.對(duì)于四面體V-ABC的底面上任一點(diǎn)O，類比該結(jié)論寫出一個(gè)命題．

（二）選做題（考生只能從中選做一題）

14.（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）直線l的參數(shù)方程為x=t+3，y=3-t（參數(shù)t∈R），圓C的極坐標(biāo)方程為=4sin，則圓心到直線l的距離為．

15.（幾何證明選講選做題）如圖，M是平行四邊形四邊形ABCD邊AB的中點(diǎn)，直線l過M分別交AD、AC于E，F(xiàn)，交CB的延長(zhǎng)線于N，若AE=2，AD=6，求AF ∶AC的值.

二、解答題：本大題共6小題，共80分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

16.（本小題滿分12分）

已知函數(shù)f（x）=cos2x+sinxcosx，

（Ⅰ）求f（x）的最大值與最小值，并求取得最大值與最小值時(shí)自變量的值；

（Ⅱ）若-＜＜，且f（）=+，求cos．

17. （本小題滿分13分）

某市為了做好新一輪文明城市創(chuàng)建工作，進(jìn)一步增強(qiáng)市民的文明意識(shí)，在市區(qū)公共場(chǎng)所張貼了各種文明公約，有關(guān)部門為了解市民對(duì)公約的熟知程度，對(duì)下面兩個(gè)問題進(jìn)行了調(diào)查：

問題一：乘坐公交車時(shí)，乘客應(yīng)遵守哪些道德行為？

問題二：在公共場(chǎng)所，市民應(yīng)注意哪些禮儀？

調(diào)查結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下（被調(diào)查者至少回答兩個(gè)問題中的一個(gè)）：

已知同一年齡段中回答問題一與問題二的人數(shù)是相同的.

（1）求a，b的值；

（2）為使活動(dòng)得到市民更好的配合，調(diào)查單位采取如下鼓勵(lì)措施：正確回答問題一者獎(jiǎng)勵(lì)價(jià)值20元的禮物；正確回答問題二獎(jiǎng)勵(lì)價(jià)值30元的禮物，有一家庭的兩成員（大人42歲，孩子13歲）參與了此項(xiàng)活動(dòng)，已知他們都只回答了一個(gè)問題，并且所回答的問題是不同的，若將頻率近似看作概率，問這個(gè)家庭獲得禮物價(jià)值的數(shù)學(xué)期望最大是多少？

18. （本小題滿分13分）

如圖，四棱錐中P-ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，AB=AD=2CD，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，且△PAD為等腰直角三角形，∠APD=90°，M為AP的中點(diǎn)．

（1）求證：AD⊥PB；

（2）求證：DM∥平面PCB；

（3）求二面角A-BC-P的正切值．

19. （本小題滿分14分）

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過定點(diǎn)C（0，p）作直線與拋物線x2=2py（p＞0）相交于A、B兩點(diǎn)．

（I）若點(diǎn)N是點(diǎn)C關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)，求△ANB 面積的最小值；

（II）是否存在垂直于y軸的直線l，使得l被以AC為直徑的圓截得的弦長(zhǎng)恒為定值？若存在，求出l的方程;若不存在，說明理由．

20. （本小題滿分14分）

已知a為實(shí)數(shù)，數(shù)列{an}滿足a1=a，當(dāng)n≥2時(shí)，an=an-1-3，（an-1＞3）4-an-1.（an-1≤3）

（Ⅰ）當(dāng)a=100時(shí)，求數(shù)列{an}的前100項(xiàng)的和S100.

（Ⅱ）證明：對(duì)于數(shù)列{an}，一定存在K∈N*，使0＜aK≤3.

（Ⅲ）令bn=，當(dāng)2＜a＜3時(shí)，求證：bi＜.

21. （本小題滿分14分）

已知函數(shù)f（x）=x2-2x，g（x）=logax（a＞0，且a≠0），其中a為常數(shù)，如果h（x）=f（x）+g（x）在其定義域上是增函數(shù)，且h′（x）存在零點(diǎn)（h′（x）為h（x）的導(dǎo)函數(shù)）.

（I）求a的值；

（II）設(shè)A（m，g（m）），B（n，g（n））（m＜n）是函數(shù)y=g（x）的圖像上兩點(diǎn)，g′（x0）=（g′（x）為g（x）的導(dǎo)函數(shù)），證明：m＜x0＜n.

2012年高考廣東理科數(shù)學(xué)模擬試題參考答案

一、選擇題

答案：

1. A；2. B；3. C；4. C；5. C；6. D； 7. C； 8. A.

提示：

1. 由于===1+2i，于是在第一象限.

2. 集合A其實(shí)是實(shí)數(shù)集R，由y=x2+x+1=（x+）2+≥，于是A∩B={x｜x≥}.

3. 只有①②③正確，選C．

4. 設(shè)等差數(shù)列｛an｝的首項(xiàng)為a1，公差為d，則由已知得（a1+3d）2=（a1+2d）（a1+6d），8a1+28d=32a1=-3，d=2.

那么S10=10a1+45d=-30+90=60.

5. 由正弦定理得a=2RsinA，b=RsinB，C=2RsinC，

所以==，即

sinBcosA-2sinBcosC=2sinCcosB-sinAcosB，即有sin（A+B）=2sin（B+C），

即sinC=2sinA，所以=2.

6. 設(shè)兩次射中獵物依次為A1，A2則P（A1）=0.5，由0.5=，得k=5000.

于是，P（A2）==， 那么命中獵物的概率P=P（A1）+P（1#8226;A2）=0.5+（1-0.5）×=.

7. 由（+2）⊥（2-），得（+2）#8226;（2-）=0，

∴2 +3#8226;-2 =0，∴2｜｜2+3｜｜#8226;｜｜c(diǎn)os-2｜｜2=0，

∴2×5+3××cos-2×=0，∴cos=-1，

∴=+2k（k∈Z）.∵∈[0，]，∴=.

8. 用記號(hào)（s，t）表示s，t的取值，那么數(shù)表中的數(shù)對(duì)應(yīng)的（s，t）也構(gòu)成一個(gè)三角表

（0，1）

（0，2）（1，2）

（0，3）（1，3）（2，3）

--- --- ------

--- --- ------ ---

可以看出：第一行右邊的數(shù)是“1”；第二行右邊的數(shù)是“2”；第三行右邊的數(shù)是“3”；于是……第四行右邊的數(shù)便是“4”，第五行右邊的數(shù)自然就是“5”了.而左邊的那個(gè)數(shù)總是從“0”開始逐個(gè)遞增.由1+2+…+9==45知前九行共有45個(gè)數(shù)，第50個(gè)數(shù)位于第十行中的第5個(gè)，對(duì)應(yīng)的（s，t）為（5，10），于是第50個(gè)數(shù)為25+210=1056.

二、填空題

答案：

9. {2}；10. ；11. 1；12. ；13.++=1；14. 2；15. AF ∶AC=1∶5.

提示：

9. 由于｜x｜≥0，得s（｜ x｜）=1，又｜ s（x）｜=1，那么g（x）=2，故值域?yàn)閧2}.

10. 由cos∠PF1F2=sin∠PF2F1=，則三角形PF1F2為直角三形，

且｜PF1｜=｜F1F2｜，｜PF2｜=｜F1F2｜，由｜PF2｜-｜PF1｜=2a=×2c=.

11. 由程序可知，當(dāng)1000，

此時(shí)y=1+-1=>1，

當(dāng)1≤n≤100時(shí)，-1≤0，

此時(shí)，y=1-(-1)=2-≥2-=1.

故所得y值中的最小值為1.

12. 由直線ax+by=1與線段AB有一個(gè)公共點(diǎn)，則點(diǎn)A（1，0），B（2，1）在直線ax+by=1的兩側(cè)或點(diǎn)在直線上，于是（a-1）（2a+b-1）≤0.

如圖，不等式（a-1）（2a+b-1）≤0所表示的區(qū)域?yàn)閳D中的陰影部分.

由于a2+b2表示陰影中的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的平方，因此，a2+b2的最小值為原點(diǎn)到直線2a+b-1距離的平方，即()2=.

13. 過四面體V-ABC的底面上一點(diǎn)O分別作OA1∥VA，A1，B1，C1分別是所作直線與側(cè)面交點(diǎn)．設(shè)平面OA1VA∩BC=M，平面OB1VB∩AC=N，平面OC1VC∩AB=L .

則易得++=++.

如下圖，在三角形ABC中，

可得++=++=1.

14. 極坐標(biāo)方程為＝4sin化為直角坐標(biāo)方程得x2+(y-2)2=4，圓心坐標(biāo)為(0，2)；由參數(shù)方程為x=t+3，y+3-t，消去t后，得直線方程為x+y=6，那么圓心到直線的距離為=2.

15. 因?yàn)锳D∥BC，

==.

∵==1AE=BN，

∴==.

∵AE=2，AD=6，

∴==，即AFAC=15.

三、解答題

16. （Ⅰ）f(x)=cos2x+sinxcosx=#8226;+sinx=sin(x+)+.

顯然，當(dāng)x+=2k+即x=2k+（k∈Z）時(shí)，

f(x)取得最大值1+.

當(dāng)x+=2k-即x=2k-（k∈Z）時(shí)，f(x)取得最小值-1+.

（Ⅱ）由f()＝sin（+）+=+，得sin（+）=.

∵-<<，∴0<+<，∴cos（+）=.

cos=cos［（+）-］=cos(+)cos+sin（+）sin=×+×=.

17.（1）由題意知，同一年齡段中回答問題一與回答問題二的人數(shù)是相同的，

∴ =且=，解得a=，b=40．

（2）又由表知：=，可得c=．

所以 42歲大人回答問題一、二的正確率分別為，，

13歲孩子回答問題一、二的正確率分別為，．

（ⅰ）當(dāng)大人回答第一個(gè)問題，小孩回答第二個(gè)問題時(shí)，記這個(gè)家庭所獲獎(jiǎng)品價(jià)值為元，則的可取值為 0，20，30，50．其分布列為：

∴E （）＝0×0.2+20×0.3+30×0.2+50×0.3＝27.

（ⅱ）當(dāng)小孩回答第一個(gè)問題，大人回答第二個(gè)問題時(shí)，記這個(gè)家庭所獲獎(jiǎng)品價(jià)值為元，則的可取值為 0，20，30，50．其分布列為：

∴E()=0×0.05+20×0.15+30×0.2+50×0.6=39.

故這個(gè)家庭獲得禮物價(jià)值的數(shù)學(xué)期望最大是39元．

18. (Ⅰ)取AD的中點(diǎn)G，連結(jié)PG、GB、BD．

∵PA=PD， ∴PG⊥AD ．

∵AB=AD，且∠DAB=600，∴△ABD是正三角形，BG⊥AD．

∴AD⊥平面PGB，∴AD⊥PB．

(Ⅱ) 法一：取PB的中點(diǎn)N，連結(jié)CN，

則MN∥AB且MN=AB.

那么MN∥CD且MN=CD，

得四邊形MNCD為平行四邊形，

于是MD∥NC.

由于DM平面PCB，NC平面PCB，

∴DM∥平面PCB.

法二：∵側(cè)面PAD⊥底面ABCD，

又∵PG⊥AD，∴ PG⊥底面ABCD．

∴PG⊥BG．

∵PG⊥AD，

∴直線AD、GB、GP兩兩互相垂直，故可以分別以直線AD、GB、GP為x軸、y軸和z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系G-xyz．

設(shè)PG=a，C(x、y、z)，則可求得P（0，0，a），A（a，0，0），B（0，a，0），D（-a，0，0），則=(0，0，a)，=(-a，a，0)，=(0，a，-a)．

∵AB=2DC且AB∥CD，

∴=2，即(-a，a，0)=2［(x，y，z)-（-a，0，0）］．

∴(x，y，z)=(-a，a，0)，即C(-a，a，0)．

∴=(-a，-a，0).

設(shè)是(x0 ， y0 ， z0)平面PBC的法向量，則#8226;=0且#8226;=0．

∴-ax-ay=0，ay-az=0x＝-y，z=y.

取y＝，得＝（－1，，3）．

∵M(jìn)是AP的中點(diǎn)，∴M(，0，)，∴=(，0，)-(-a， 0， 0)=(a，0，)．

#8226;=(a，0，)#8226;(-1，，3)=0，

∴⊥．

∵DM平面PCB，∴DM∥平面PCB．

(Ⅲ)∵PG⊥平面ABCD，∴是平面ABCD的法向量，

∴cos〈，〉＝＝.從而tan〈，〉=.

∴二面角A-BC-P的正切值為．

19.（I）依題意，點(diǎn)N的坐標(biāo)為N(0，-p)，可設(shè)A(x1 ， y1)，B(x2 ， y2)，

直線AB的方程為y=kx+p與x2=2py聯(lián)立得

x2＝2py，y=kx+p，消去y得x2-2pkx-2p2=0．

由韋達(dá)定理得x1+x2=2pk，x1x2=-2p2．

于是S△ANB=S△ANC+S△CNB=#8226;2p｜x1-x2｜

=p｜x1-x2｜=p=p=2p2，∴ 當(dāng)k=0，(S△ABN)min=2p2．

（Ⅱ）假設(shè)滿足條件的直線l存在，其方程為y=a，設(shè)AC的中點(diǎn)為O′，l與AC為直徑的圓相交于點(diǎn)P，Q， PQ的中點(diǎn)為H，則O′H⊥PQ，Q′點(diǎn)的坐標(biāo)為(，)．

∵｜O′P ｜=｜AC ｜==，

｜O′H ｜=｜a-｜=｜2a-y1-p｜，

∴ ｜PH ｜2=｜O′P ｜2-｜O′H ｜2=(y12+p2)-(2a-y1-p)2

=(a-)y1+a(p-a).

∴ ｜PQ ｜2=2(｜PH ｜)2

=4[(a-)y1+a(p-a)].

令a-=0，得a=，此時(shí)｜PQ ｜=p為定值，故滿足條件的直線l存在，其方程為y=，即拋物線的通徑所在的直線．

20.（Ⅰ）當(dāng)a=100時(shí)由題意知數(shù)列{an}的前34項(xiàng)成首項(xiàng)為100，公差為－3的等差數(shù)列，從第35項(xiàng)開始，奇數(shù)項(xiàng)均為3，偶數(shù)項(xiàng)均為1，

從而S100=+

=+（3+1）×＝1717+132＝1849.

（Ⅱ）①若0＜a1≤3，則結(jié)論成立.

②若a1＞3，此時(shí)數(shù)列{an}的前若干項(xiàng)滿足an－an－1＝3，即an＝a1－3（n－1）.

設(shè)a1∈（3k，3k+3]，（k≥1，k∈N*），則當(dāng)n=k+1時(shí)，ak+1=a1-3k∈（0，3].從而此時(shí)結(jié)論成立.

③若a1≤0，由題意得a2=4-a1>3，則由②的結(jié)論知此時(shí)結(jié)論也成立.

綜上所述， 一定存在k∈N*，使0

（Ⅲ）當(dāng)2

所以bn==，（n為奇數(shù)）.（n為偶數(shù)）

因?yàn)閎n>0，所以只要證明當(dāng)n≥3時(shí)不等式成立即可.

而b2k-1+b2k=+=<<=.

①當(dāng)n=2k（k∈N*且k≥2）時(shí)，bi=b1+b2+bi<++（++…＋）=+（a+4）×=+<+=.

②當(dāng)n=2k-1（k∈N*且k≥2）時(shí)，由于bn>0，所以bi

綜上所述，原不等式成立.

21.（I）因?yàn)閔（x）=x2-2x+logax（x>0），所以h′（x）=x-2+.

因?yàn)閔（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，所以x-2+

≥0在（0，+∞）上恒成立.

當(dāng)x>0時(shí)，x-2+≥0x2-2x≥-.

而x2-2x=（x-1）2-1在（0，+∞）上的最小值是-1.

于是-1≥-，即1≤.（※）

可見a>1（若0

從而由（※）式即得1na≤1……①

同時(shí)，h′（x）=x-2+=（x>0）.

由h′（x）存在（正）零點(diǎn)知△=（-2lna）2-4lna≥0，

解得lna≥1……，或lna≤0（因?yàn)閍>1，lna>0，這是不可能的）.

由①②得 lna=1.

此時(shí)，h′（x）存在（正）零點(diǎn)x=1，故a=e即為所求.

（II）由（I），g（x）=lnx，g′（x0）=，于是=

，x0=.

以下證明m<.（☆）

（☆）等價(jià)于mlnn-mlnm-n+m<0.

構(gòu)造函數(shù)r（x）=xlnn-xlnx-n+x（00所以r（x）在（0，n]上為增函數(shù).

因此當(dāng)m

從而x0>m得到證明.

同理可證n> .綜上，m

（本試題由中山一中高三數(shù)學(xué)備課組擬制）

責(zé)任編校 徐國(guó)堅(jiān)