重視思維技巧培養 促進思維品質提高

數學不僅是一門重要的基礎課，而且是培養學生科學思維的陣地。本文將通過一些實例來說明如何在數學教學中去培養學生的科學思維。

一、培養學生的發散思維

1.運用變式教學

常用的變式模型有建立直觀的圖形，建立“距離公式模型”，建立“復數模型”，建立“集合模型”，建立“排列模型”等。

例1：判斷方程sinx–lgx=0的實根個數。

分析：學生的常規思路是：先解方程，進而知道實根的個數。但實際上此路行不通。這時引導學生根據函數y＝sinx和函數y＝lgx的有關性質建立直觀的圖形（見圖1），則結論不言而喻。

2.強化一題多解和一題多變

例2：已知，的取值范圍。

（1）方法一：(函數思想)由則由于根據二次函數的圖象與性質知：當時，取最小值；當x時或1時，取最大值1。

（2）方法二：(三角換元思想)由于且則可設

于是，當時，取最小值，當取最大值1。

（3）方法三：(對稱換元思想)由于則可設

所以，當取最小值取大值1。

（4）方法四：(運用基本不等式)由于x+y=1，且x、y≥0則

于是，所以，當時，取最大值1，當時，取最小值。

例3：過拋物線y2=2px焦點的一條直線和這條拋物線相交，設兩個交點縱坐標為y1，y2，求證y1y2=-p2。

此題并不難，但結論卻很有用，關鍵是運用結論。此題可變為：

（1）證明：過拋物線焦點弦兩端點的切線與拋物線的準線三點共線。

（2）證明：過拋物線焦點弦中點與其端點切線的交點的連線，平行于拋物線的對稱軸。

（3）證明：過拋物線焦點弦中點與其端點切線的交點的連結線段，等于焦點弦長的一半，并且被這條拋物線

平分。

（4）證明：過拋物線焦點弦兩端點的切線互相垂直。

（5）證明：拋物線的準線是其焦點弦兩端點的切線的交點的軌跡。

（6）證明：過拋物線焦點一端，作準線的垂線，那么垂足、原點以及弦的另一端點三點共線。

二、培養學生的聚合思維

例4：已知a＞o且a≠1，則在同一坐標系中，函數的圖像有可能是（ ）

分析：本題需對a的取值情況、x的取值范圍，以及函數的圖像性質等信息進行綜合分析，才能找出正確答案D。

三、培養學生的逆向思維

例5：由數字1、2、3、4、5組成沒有重復數字的五位數，其中小于50000的偶數共有多少個？

分析：這是排列的問題，由正面考慮符合題意的數字放入百位數，十位數，個位數的情況較復雜，有多種情形。但其反面較簡單，即“奇數的個數”和“大于50000的偶數”兩種情形，從沒有重復數字的五位數全排列減去“奇數的個數”和“大于50000的偶數”這兩種情形，即

四、培養學生的側向思維

例6：請用6根火柴，將其組成4個正三角形。

分析：當你嘗試了多次后，你或許發現這是一個“不可能”的事情，因為將6根火柴都擺在同一平面內，是怎么也不能組成4個正三角形的。但如果讓我們的思維突破平面的限制，以6根火柴作為6條棱，就組成一個正三棱錐四面體，也就組成了4個正三角形。

五、培養學生沖破思維定勢

例7：已知船上載有12只牛、46只羊，問船長幾歲？

分析：由于習慣性思維定勢，很多學生都認為船長的年齡和牛羊的數目有關，于是答案較多是58或34歲，實際上正確答案應是：不知道。

六、培養學生的直覺思維

例8：（2000年高考第11題）過拋物線(a＞0)的焦點心F作一直線交拋物線于P、Q兩點，若線段PF與FQ的長分別為分析1：首先拋物線方程化成標準形式為，其次當PQ為通徑時可求得。由此可知，本題答案為(C)。

分析2：當直線PQ的斜率趨向于時，其中一條（不妨設PF）的長度趨向于，而另一條趨向于OF，從而可求得答案(C)。通過分析直線PQ的斜率不斷增大的情形，有效地提高學生的直覺思維能力。

（作者單位：廣東省佛山市三水區工業中專技工學校）