關注例題,讓數(shù)學思想自然流淌

摘 要：這道例題旨在通過解二元一次方程組的方法滲透消元、轉化、整體的數(shù)學思想和方法。解方程組中的消元，其實質就是將二元一次方程組轉化為一元一次方程來求解。轉化是最基本的思想方法，其實質是把復雜問題簡單化，陌生問題熟悉化。

關鍵詞：例題轉化；數(shù)學思想;消元

中圖分類號：G420 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2012）08-071-1

我在幫助初三學生復習二元一次方程（組）的時候，采用了這樣一道例題：

已知：關于x、y的二元一次方程組4x+3y=7kx+(k－1)y=3 的解x，y的值相等，求k的值．

這道題是在數(shù)學《中考作業(yè)本》P13頁例題的基礎上變式而成。雖然是簡單的變式，卻把二元一次方程組最基本的特征和最核心的要素都包容在其中，掌握了它的解法，類似于這樣的方程組即可迎刃而解。

解：由題意可知：y=x

∴4x+3y=7可化為4x+3x=7 ∴x=1

∴將x=1y=1 代入kx+（k－1）y=3中得k+k－1=3，

∴k=2

變式1：若原方程組的解x、y互為相反數(shù)，求k的值。

解：∵x+y=0

∴12－7kk－4+7k－16k－4=0

－4k－4=0

∴k不存在。

變式2：若原方程組的解x、y滿足3x+4y=7，求k的值。

方法一：4x+3y=73x+4y=7

解之得：x=1y=1

將x=1y=1 代入②得：k+(k-1)=3，

2k=4，k=2

方法二：將x=7k－16k－4y=12－7kk－4 代入3x+4y=7得：

3×7k－16k－4+4×12－7kk－4=7，

21k－48+48－28kk－4=7

－7k=7k－28，

∴k=2

這一教學過程表明，我的設計意圖是為了培養(yǎng)學生的發(fā)散思維能力。

美國著名認知心理學家奧斯貝爾說過：如果我不得不將教育心理還原為一條原理的話，我將會說，影響學習的最重要的原因是學生已經(jīng)知道了什么，我們應當根據(jù)學生已有的知識狀況去教學。筆者也常琢磨：數(shù)學教學應該怎樣體現(xiàn)數(shù)學思想，也就是說它應該告訴學生要思考什么問題，為什么要思考這樣的問題，如何解決這些問題。數(shù)學教學應該是一個發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的過程，在一定程度上體現(xiàn)“數(shù)學本質”，使數(shù)學教學真正成為“數(shù)學”的教學。本題的解題思路體現(xiàn)了兩個未知數(shù)的特殊關系，將一個未知數(shù)用含另一個未知數(shù)的代數(shù)式代替，化“二元”為“一元”，從而求得兩個未知數(shù)的值，再代入第二個方程，即可求出k。還有一個基本思路就是解二元一次方程組的基本方法，用含有k的代數(shù)式表示x、y，再代入y=x即可求出了。

解二元一次方程組的本質是消元，即把“二元”轉化為“一元”。消元的基本方法是——代入法、加減法，這兩種方法的本質差別在消元的具體步驟上：代入消元法。先要將其中的一個二元一次方程變形為用一個未知數(shù)的代數(shù)式表示為另一個未知數(shù)的形式。這一步變形也是學習一次函數(shù)的基礎。根據(jù)二元一次方程確定一次函數(shù)的解析式，同樣是二元一次方程組的圖象解法基礎；加減消元法的本質內涵是整體的數(shù)學思想，要求學生先利用等式的性質把兩個方程的同一個未知數(shù)的系數(shù)變成相同，這樣整體加減時，才能夠達到消元的目的。加減消元中的整體思想是數(shù)學中常用的思想方法。所以解二元一次方程組的這兩種方法都必須讓學生來理解并熟練掌握。掌握了這兩種方法，對于二元一次方程組的綜合題就能迎刃而解。這道例題，旨在通過解二元一次方程組的方法滲透消元、轉化、整體的數(shù)學思想和方法。解方程組中的消元，其實質就是將二元一次方程組轉化為一元一次方程來求解。轉化是最基本的思想方法，其實質是把復雜問題簡單化，陌生問題熟悉化。

陶行知先生有過一個精辟的比喻：“接知如接枝?！彼f：“我們要以自己的經(jīng)驗做根，以這經(jīng)驗所發(fā)生的知識做枝，然后別人的知識方才可以接得上去，別人的知識方才成為我們知識的一個有機部分。”教學中，如果我們能夠留給學生足夠的思考探究的時間，就會發(fā)現(xiàn)學生中有很多的問題是我們無法預設的，這些問題的出現(xiàn)正是學生在“接知”的過程中，自身的“免疫力”遇到外來“干擾”的正常反映。教師要成為一個出色的“嫁接師”，用合適的技術讓學生的新舊知識之間能夠進行一個“無縫對接”。像上面的這道例題，如果你只會用一般的方法，不會用通法，當你再碰到類似的情況就不會了。比如說碰到：兩條直線4x+3y=7、kx+（k－1）y=3的交點在第四象限，求出k的取值范圍。解題思路是將兩直線聯(lián)立方程組4x+3y=7kx+(k－1)y=3，用含有k的代數(shù)式表示x、y，由于交點在第四象限，則x>0y<0，解關于k的不等式組即可。

這道例題也貫穿了波利亞的“掌握數(shù)學就是善于解題”思想。教師營造一個支持性的、寬容的課堂氛圍，通過一題多解，培養(yǎng)學生善于思考，找到問題的最優(yōu)解法的習慣，激發(fā)學生的智慧。思維的流暢性是發(fā)散思維的第一層次，主要是培養(yǎng)學生思維的速度，使其在較短時間內表達較多的概念，枚舉較多的解決問題方案，探索較多的可能性。因此，教師在組織教學時，要使學生保持思維的流暢性，應通過創(chuàng)設各種情境，組織各種具有啟發(fā)性的活動，讓數(shù)學思想自然流淌！