析數學錯解 提思維嚴密性
2012-04-29 00:00:00王新武
中學課程輔導·教師教育(上、下) 2012年2期
摘 要：部分同學解題時在概念理解、特殊情形的討論，等價轉化等方面思維缺乏嚴密性。本文旨在剖析錯解原因所在，提升學生思維的嚴密性。
關鍵詞：數學錯解；概念不清；特殊情形；等價轉化；隱含條件
中圖分類號：G427 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2012）02-049-2
教學中，部分同學思維快捷、風光無限，但在實際解題時又破綻百出、顧此失彼，取不到理想成績，其主要原因是：概念理解不清、忽略特殊情形的討論，沒有注意轉化的等價性等思維缺乏嚴密性，最終差之毫厘，失之千里，給人一種說不清道不明感覺。
一、概念理解不清
已知數列{an}與{bn}是等差數列，Sn和S′n分別是它們的前n項和，且Sn∶S′n＝(5n＋3)∶(2n＋7)，求a20∶b20.
錯解:
“因為Sn∶S′n＝(5n＋3)∶(2n＋7)，
可設Sn＝k(5n＋3) 且 S′n＝k(2n＋7) (k≠0)
a20＝S20－S19＝k(5×20＋3)－k(5×19＋3)＝5k，
b20＝S′20－S′19＝k(2×20＋7)－k(2×19＋7)＝2k，
a20∶b20＝5∶2.”
錯因分析：因等差數列的前n項和Sn不是n的一次函數，而是n的二次函數，所以設“Sn＝k(5n＋3)且S′n＝k(2n＋7)”是錯誤的。
正確解法：
既然Sn是n的二次函數，那么把上面的設改為：
“可設Sn＝kn(5n＋3) 且 S′n＝kn(2n＋7)”(讓其滿足二次關系)
a20＝S20－S20＝20k(5×20＋3)－19k(5×19＋3)＝198k，
b20＝S′20－S′20＝20k(2×20＋7)－19k(2×19＋7)＝85k，
a20∶b20＝198∶85.
二、忽視臨界特殊情形
1.集合少空集。設A={x|x2－6x+8<0}，B={x|（x－a）（x－3a）<0}，若A∩B=，求a的取值范圍．
錯解：
集合A={x|2 ∵A∩B=，∴A、B兩集合中沒有公共元素 當a>3a即a<0時，B={x|3a 當a<3a即a>0時，B={x|a 綜上所述a的取值范圍為 a<0或0 錯因分析：題中含A∩B=、A∩B=B、AUB=A、AUB=B；BA等集合運算及其關系中，就要特別注意空集。 正解： ∵A∩B=，∴集合B為或不為． 當B為時，a=3a即a=0；當B不為時，同上。 綜上所述a的取值范圍為（－∞，23〗∪。 錯因分析：容易忽視m＝2。 ３.向量少共線角。若向量a=(x，2x)，b=(-3x，2)且a，b的夾角為鈍角，則x的取值范圍。 錯解： 因a，b的夾角為鈍角，于是可以得到a#8226;b＜0， 所以a#8226;b=-3×2 +4x＜0，故x＜0或x＞-43。 錯因分析：含向量運算時不能忘記方向與共線。a#8226;b＜0，不是a，b夾角為鈍角的充要條件，當a，b共線且反向時a#8226;b＜0，擴大了x的范圍，導致錯誤。 正解： 又由a，b共線且反向可得x=-13.則x的范圍是(-∞，-13) ∪(-13，0)∪(43，+∞) 三、忽視等價性 已知f(x)=ax+xb，若－3≤f(1)≤0，3≤f(2)≤6，求f(3)的范圍. 錯誤解法： 由條件得－3≤a+b≤0 ①3≤2a+b2≤6 ② ②×2－①，6≤a≤15 ③， ①×2－②得 －83≤b3≤－23 ④ ③+④得103≤3a+b3≤433， 即103≤f(3)≤433. 錯誤分析：采用這種解法，忽視了這樣一個事實：作為滿足條件的函數f(x)=ax+xb，其值是同時受a和b制約的.當a取最大（小）值時，b不一定取最大（小）值，因而整個解題思路是錯誤的. 正確解法： 由題意有f(1)=a+bf(2)=2a+b2，解得： a=13，b=23 ∴f(3)=3a+b3=169f(2)－59f(1) 把f(1)和f(2)的范圍代入得 163≤f(3)≤373. 四、忽視隱含條件 已知(x+2)2+y24=1，求x2+y2的取值范圍. 錯解： 由已知得y2=－4x2－16x－12，因此x2+y2=－3x2－16x－12=－3(x+83)2+283， ∴當x=－83時，x2+y2有最大值283，即x2+y2的取值范圍是(－∞，283). 錯誤分析：沒有注意x的取值范圍要受已知條件的限制，丟掉了最小值. 事實上，由于(x+2)2+y24=1 x+2)2=1－y24 ≤1－3≤x≤－1， 從而當x=－1時x2+y2有最小值1，∴x2+y2的取值范圍是. 五、忽視等式條件 已知x，y為正實數，且2x+8y－xy=0，求x+y的最小值。 錯解： ∵2x+8y=xy≥216xy=8xy，∴xy≥8或xy≤0（舍去）， ∴xy≥64，∴x+y≥2xy≥16。 錯因分析：上述方法在求解過程中兩次應用了基本不等式，第一次等號成立需2x=8y，即x=4y，而第二次等號成立需x=y，即兩次等號不能同時成立，所以無法取到最小值。 正解： 由2x+8y－xy=0得2x+8y=xy， ∴2y+8x=1， ∴x+y=(x+y)(8x+2y)=10+8yx+2xy≥10+28yx#8226;2xy=18， 當且僅當8yx=2xy2x+8y－xy=0 即x=12，y=6時，x+y取得最小值18。 六、不分類討論 數列{an}中，已知前n項和Sn=3n2－2n+2，求數列的通項公式。 錯解： an=Sn－Sn－1=(3n2－2n+2)－=6n－5。 錯因分析：上面解答是不正確，我們由a1=S1可求出a1=3，會發現an=6n－5不適用求a1，這是因為an=6n－5是應用關系式an=Sn－Sn－1求出的。而已知Sn求an時需分n=1，a1=S1；n≥２，an=Sn－Sn－1分類討論。 正解： 當n=1時，a1=S1=3#8226;12－2#8226;1+2=3； 當n≥２時，an=Sn－Sn－1=(3n2－2n+2)－=6n－5； 將n=1代入an=6n－5中得a1=6#8226;1－5=1≠3， 故所求的通項公式為an=3(n=1)6n－5(n≥2) 。 七、推理不嚴謹 已知a，b，c是△ABC的三條邊，比較大小（a＋b＋c）2＜ 4（ab＋bc＋ca）。 錯誤解法: 這道題的解法緊緊圍繞三角形的邊的特征 ∵a，b，c為△ABC的三邊 ∴a－b＜c，b－c＜a，a－c＜b ∴（a－b）2＜c2，（b－c）2＜a2，（a－c）2＜b2 上述三個不等式相得 （a－b）＋（b－c）2＋（a－c）2＜a2＋b2＋c2 即a2＋b2＋c2＜2（ab＋bc＋ca） 錯因分析：這種證明簡明扼要，非常優秀，說明學生的思維是非常敏捷的。只是在三角形中由a－b＜c，b－c＜a，a－c＜b就一定推出（a－b）2＜c2，（b－c）2＜a2，（a－c）2＜b2的推理不嚴謹。 正解： 證明：∵a，b，c為△ABC的三邊 ∴|a－b|＜c，|b－c|＜a，|a－c|＜b ∴（a－b）2＜c2，（b－c）2＜a2，（a－c）2＜b2 上述三個同向不等式相得 （a－b）＋（b－c）2＋（a－c）2＜a2＋b2＋c2 即a2＋b2＋c2＜2（ab＋bc＋ca） 列出題中常見易混易錯的地方，旨在幫助一些分析原因，總結教訓，提高辨別錯誤的能力，提升思維的嚴密性，助高智商者真正高人一籌。
