感受建模過程 體悟建模思想

我國傳統的小學數學教學注重基于題型分類的教學，在這種教學思想和模式的主導下，問題或問題情境呈現出良構特征，即：已知條件、未知條件明確，數據匹配，只要將已知條件運用好就能解決問題；運用已經具備的概念、規則、方法和原理，就能解決問題；解決問題的途徑比較明確，結果比較確定。當問題呈現出良構特征時，學生只要用好“已有的條件”，找到“已會的知識或方法”，就能解決問題。這種教學對學生的思維定向有著明顯的促進作用，但對學生創新能力的發展不利。《義務教育數學課程標準（實驗稿）》首次將基于建構理論的模型思想寫入課程標準，《義務教育數學課程標準（2011年）》在“課程內容”部分明確提出“模型思想”，并具體闡述為“模型思想的建立是學生體會和理解數學與外部世界聯系的基本途徑。建立和求解模型的過程包括：從現實生活或具體情境中抽象出數學問題，用數學符號建立方程、不等式、函數等表示數學問題中的數量關系和變化規律，求出結果、并討論結果的意義”，同時指出要讓學生“初步形成模型思想”。但是，多數教師缺乏建模教學的相關經驗，在教學中“打著建模的旗幟，行著解題的實質”。本文將結合建模過程中的三個主要步驟，即解讀問題情境（模型準備）、提煉關系和規律（模型建構）、解決問題（模型應用），談一談教學實踐及思考。

一、模型準備：提供有效背景，提升學生的信息處理能力

基于傳統題型的教學和基于模型的教學在創設教學情境方面有著一定區別。學生往往只要能“正確解讀，有序翻譯”前者的背景信息就能解決問題，需要“合理選擇，有效提煉”后者的背景信息才能解決問題。教學實踐表明，部分教師對建模思想缺乏深刻的認識，將“從現實生活或具體情境中抽象出數學問題”簡單地理解為給學生一些具有生活味道或具體情境的建模背景，將這一環節的重點放在讓學生能體會數學與現實社會的聯系上。

現在我們不妨來比較兩個問題。

問題1：甲數是12，將甲數減去7再加上1，就得到乙數。乙數是多少？

問題2：公交車出站時，車上有12人。經過站點A，下車7人，上車1人；經過站點B，下車1人，上車9人；經過站點C，下車5人，上車13人。最后，車上有多少人？（教師以視頻形式提供信息）

問題1是傳統小學數學中常見的文字題，問題2是課改后常見的具有生活情境意義的情景問題，也是某些教師提供給學生的建模情境。深入分析，我們不難發現，問題2雖然披上了生活情境的外衣，但與問題1并無實質的區別，只不過是將“加”換成了“上”，“減”換成了“下”，對于已經學習了加減法，正在學習加減混合運算的學生而言，只需要將生活語言簡單地翻譯成數學語言即可。具有現實意義的情境并不都適合作為數學建模的情境，一般情況下適合數學建模的情境應該具有非良構性，至少應該具備以下某些特征：①情境所含信息的豐富性，即情境所含信息并不完全與解決問題所需的條件匹配，而需要進行一定的取舍或加工；②條件和問題的非明確性，即并沒有提供非常明確的待解決問題和相關條件；③解決問題方式的新穎性，即解決問題的方式不是個體已有經驗的直接應用，而需要經過一定的創新性運用。建模教學需要現實意義的情境，但這里的現實意義還必須符合建模的自身特點。因此，教師應該給學生提供需要“合理選擇，有效提煉”的情境，而不是“正確解讀，有序翻譯”的情境。同時，應避免情境描述簡單化，導致學生無法經歷從生活情境到數學問題的“提煉過程”，而僅僅經歷從現實情境到數學問題的“翻譯過程”。

二、模型建構：給足探究時間，提升學生的數學思考能力

數學模型是對現實問題的數學化。數學建模教學要求教師改變過去把知識按不同題型“注入”學生大腦中的灌輸式教學模式，提倡創設情境，引導學生觀察思考、抽象歸納，整合已有知識和經驗，自主探求解決問題的方法。在這一過程中，教師應該給學生提供充足的探究時間，讓學生充分經歷獨立思考、思維碰撞、思維優化的過程，在建立解決問題的模型過程中提升數學思考能力。如某教師給六年級的學生提供了以下問題情境：“一塊長方形麥田的長是500米，寬是300米。如果用射程是10米的自動旋轉噴灌裝置進行噴灌，大約需要多少個這樣的噴灌裝置？”這個情境實踐性很強，雖然條件和問題都很明確，但無法利用已有知識簡單處理。學生必須考慮安裝水龍頭的現實可能性、操作合理性、水資源充分利用、安裝方便等方面去分析、構建解決問題的模型。獨立探究后，學生得出了以下方法。

方法1：從面積比的角度考慮，列式為500×300÷（3?郾14×10×10）≈478（臺）。

方法2：從面積的角度考慮，但是將圓面積簡化處理為其外切正方形的面積（如圖1所示）列式為500×300÷（20×20）＝375（臺）。

方法3：從面積的角度考慮，但是將圓面積簡化處理為其內接正方形的面積（如圖2所示），列式為500×300÷（■×■）＝750（臺）。

方法4：根據間距考慮可以裝幾排幾列，列式為（500÷20）×（300÷20）＝375（臺）。

方法5：根據間距考慮可以裝幾排幾列，列式為500÷■≈35，300÷■≈21，35×21＝735（臺）。

跟傳統答案相對唯一或確定的問題不同，本題的這五種解法雖然思路和結果都不盡相同，但都有其合理性，都是學生有效建立數學模型的結果。這些不同的模型體現出的思維層次有所差別，教師組織交流活動，學生或講解自己的思路，或提出自己的困惑，在交流過程中，調整或優化著自己的想法，吸納著彼此的思路和觀點。大家意識到：方法1，容易理解，但僅考慮純數量關系，忽略了麥田的面積以及噴頭的安裝位置、可噴面積的形狀、噴灌時交叉的區域，現實性較弱；方法2和方法3，不僅考慮了噴頭安裝位置，并且將噴頭的可噴面積簡化處理成正方形，使問題解決變得更簡單；方法4、5與方法2、3有些許不同；按照有些方法安裝噴頭，部分麥田無法被噴到，而按另一些方法安裝，部分麥田被重復噴到；像方法5一樣要求麥田所有的地方都被噴到，還可以考慮圓內接正六邊形，按圖3所示方式安裝，所需的噴頭更少等。這樣的探究過程，使學生意識到解決問題重要的不是套用某個公式得出某個結論，而是運用所學知識建構模型使問題得到合理、有效的解決，同時也能提高學生分析問題、解決問題、優化方案等能力。

三、模型應用：提供變式內容，發展學生的遷移變通能力

數學模型思想和符號化思想都是經過抽象后用符號和圖表表達數量關系和空間形式。但是符號化思想更注重數學抽象和符號表達，而數學模型思想更重視如何經過分析抽象建立數學模型，更加重視數學的應用，即通過數學結構化解決問題尤其是現實中的各種問題。只有將數學模型還原為具體的數學直觀或可感知的數學現實，或利用建模過程中所采用的策略解決其他問題，才能使所建立的數學模型具有生命力。

當學生建立了“被除數÷除數＝商……余數” 這一“有余數除法”模型后，教師引導學生完成以下習題。

1. 有糖31塊，平均分給7個人，每人分幾塊，還剩幾塊？

2. 有糖31塊，每7塊裝成1袋，可以裝幾袋，還剩幾塊？

3. 一個星期有7天，十月份共有31天，合幾個星期零幾天？

4. 已知2004年3月12日是星期五，那么4月12日是星期幾？

5. 如圖所示，黑白兩種三角形按一定規律排列，請問，從左數起第31個三角形是黑還是白？ ▲△▲▲△△△▲△▲▲△△△▲△▲▲△△△……

6. 有一堆糖共31塊，兩個同學做拿糖比賽的游戲，規定：①兩人輪流拿；②每人每次至少拿1塊，也可以拿2塊、3塊、4塊、5塊，但最多只能拿6塊；③誰拿最后1塊誰勝。你如果是先拿，你能想出取勝的拿法嗎？

這里的模型應用包括了兩個層次：第一個層次，模型的直接應用，如問題1至5的解決；第二個層次，模型的變式運用，如問題6的解決。當然，教師還可以引導學生進行模型的綜合應用，如下題。

張南達有一支較長的白蠟燭和一支短一些的紅蠟燭。白蠟燭長40厘米，每小時可燒去3厘米的長度。這支蠟燭在給定的小時數里燃燒后剩下的長度為40－燃燒小時數×3。

1. 這支白蠟燭燃燒4小時后的長度剩多少？

2. 紅蠟燭比白蠟燭更短，但也更細些。它長15厘米，每小時要燒去0?郾5厘米的長度。請造一個公式以計算這支紅蠟燭在給定的小時數里燃燒后剩下的長度。

3. 兩支蠟燭中，哪一支持續（燃燒）的時間更長些？展示出你的計算。

4. 張南達想：如果這兩支蠟燭同時點燃并讓它們持續燃燒，在某一時刻它們的長度將完全相等。張南達的想法正確嗎？如果你回答“正確”，請說出什么時候這兩支蠟燭將一樣長；如果你回答“不正確”，請解釋為什么這兩支蠟燭決不會一樣長。

這樣的模型應用，循序漸進。隨著一個個問題的相繼提出和解決，學生逐漸深化了對模型的理解，拓展了所建模型應用的深度和廣度，也強化了從不同問題情境中找出同一結構關系的數量結構的行為習慣，提高了遷移所學知識和方法解決問題的能力。

（作者單位：福建省福州市錢塘小學 責任編輯：王彬）