大膽猜想 嚴(yán)謹(jǐn)求證

教學(xué)片段：

數(shù)學(xué)課上，教師出示這樣一道題：一個(gè)長(zhǎng)方形長(zhǎng)是12厘米，從中剪去一個(gè)最大的正方形，剩下長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)是多少？

生1：這題沒法解答，因?yàn)闆]有告訴寬啊？

師反問：真的沒法解答嗎？

學(xué)生紛紛拿出紙張開始畫圖，尋找解題的辦法。

生2：我是采用假設(shè)數(shù)據(jù)的辦法解答的，假設(shè)長(zhǎng)方形的寬是11厘米，剪去一個(gè)最大的正方形后（如圖1所示），剩下長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為11厘米，寬為：12-11=1（厘米），陰影部分的周長(zhǎng)：（11+1）×2=24（厘米）。

生3：我也是采用假設(shè)數(shù)據(jù)辦法進(jìn)行解答的。不同的是，我假設(shè)的寬是10厘米，剩下長(zhǎng)方形的長(zhǎng)就是原來的寬是10厘米，新的寬等于12-10=2（厘米），長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)：（10+2）×2=24（厘米）。

生4：我也是采用假設(shè)的辦法解決問題的，經(jīng)過計(jì)算發(fā)現(xiàn)：寬只要是小于12厘米的任何一個(gè)數(shù)據(jù)，經(jīng)過計(jì)算剩下長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)都是24厘米，是不變的。

生5：我發(fā)現(xiàn)，從長(zhǎng)方形中剪下一個(gè)最大的正方形后，剩下長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)等于原來長(zhǎng)方形長(zhǎng)的2倍。

師追問：這位同學(xué)很善于觀察和猜想，但是僅僅靠幾個(gè)例子就得到結(jié)論是否合理呢，結(jié)論是否正確呢？如果不假設(shè)數(shù)據(jù)，是否也能計(jì)算出長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)？

學(xué)生經(jīng)歷思考和實(shí)驗(yàn)操作后，開始發(fā)表自己的見解。

生5：我把寬的長(zhǎng)度用字母x表示（如圖2所示），剪去最大正方形后剩下長(zhǎng)方形的長(zhǎng)就是原來的寬x厘米，新的寬為(12-x)厘米，長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)等于（12-x+x）×2，加x和減去x可以互相抵消，所以最后的結(jié)果為12×2=24（厘米），這里用字母x來表示長(zhǎng)方形的寬，可以把寬的各種不同的情況全部包括。

師：如果寬不用數(shù)值或者字母來表示，你能否根據(jù)圖形之間的關(guān)系得到陰影部分的周長(zhǎng)？

學(xué)生再次進(jìn)入思考的狀態(tài)，在自己的本子上點(diǎn)點(diǎn)畫畫。

生6：(如圖3所示)在長(zhǎng)方形ABDE中，剪去一個(gè)最大的正方形，剩下是一個(gè)長(zhǎng)方形CDEF，長(zhǎng)方形CDEF的周長(zhǎng)=（CF+FE）×2。因?yàn)锳BCF是正方形，四條邊相等，所以CF=AF，可以推出CF+FE=AF+FE，而AF+FE=AE，也就是原來長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為12厘米，所以陰影部分的周長(zhǎng)是12×2=24（厘米）。

大家被他嚴(yán)謹(jǐn)?shù)恼撟C和周密的推理所折服，教室中爆發(fā)出熱烈的掌聲。

生7：剛才這位同學(xué)的說理十分清楚，我們無需假設(shè)長(zhǎng)方形寬的數(shù)據(jù)，經(jīng)過CF=AF的數(shù)量替換，就能發(fā)現(xiàn)剩下的長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)等于原來長(zhǎng)方形的長(zhǎng)的2倍。這種方法真巧妙！

師：同學(xué)們做這一題時(shí)都是采用畫圖的方法來呈現(xiàn)條件和問題，把復(fù)雜的問題簡(jiǎn)單化了，大部分同學(xué)采用假設(shè)長(zhǎng)方形寬為具體的數(shù)值進(jìn)行操作后計(jì)算得到長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)，有的同學(xué)結(jié)合自己的觀察大膽地提出了自己的猜想。為了驗(yàn)證猜想是否正確，有的同學(xué)還用了字母來表示寬，經(jīng)過演算后得到長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)，更有同學(xué)根據(jù)正方形的特征，推理得到長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)，驗(yàn)證我們的猜想，經(jīng)歷了類似數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、解決問題、驗(yàn)證問題的歷程，老師已經(jīng)聽到了同學(xué)們思維拔節(jié)生長(zhǎng)的聲音！真為你們感到高興！

【反思】

對(duì)學(xué)生而言，純文字形式呈現(xiàn)的問題相對(duì)比較抽象，僅憑文字?jǐn)⑹鲇袝r(shí)很難直接看出題中的數(shù)量關(guān)系，所以才有了學(xué)生質(zhì)疑：“沒告訴寬，沒法解答。”《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年)》（以下簡(jiǎn)稱《課標(biāo)》）明確指出：幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題。所以有相當(dāng)一部分學(xué)生經(jīng)過思考后借助圖形來表征數(shù)學(xué)事實(shí)，進(jìn)而把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡(jiǎn)明、形象，有利于學(xué)生洞察數(shù)學(xué)對(duì)象的結(jié)構(gòu)和關(guān)系，便于學(xué)生借助幾何直觀進(jìn)行分析和想象，展開豐富多彩的直觀推理。

學(xué)生個(gè)性化的解決問題的方法彰顯了思維的獨(dú)特性與獨(dú)立性。第一種通過畫圖后假設(shè)長(zhǎng)方形中寬的具體數(shù)值，來計(jì)算裁剪之后長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)，采用列舉不同數(shù)據(jù)的方法進(jìn)行計(jì)算，這也是學(xué)生常用的方法。學(xué)生通過思考發(fā)現(xiàn)雖然列舉數(shù)據(jù)不同，但最后的結(jié)果相同，變與不變的函數(shù)思想悄然間在學(xué)生心中綻放。同時(shí)進(jìn)一步思考提出了“從長(zhǎng)方形中剪下一個(gè)最大的正方形后，剩下長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)等于原來長(zhǎng)方形長(zhǎng)的2倍”這一猜想，但是教師指出：僅僅通過一組數(shù)據(jù)或者幾組數(shù)據(jù)得到的結(jié)論是只能屬于猜想階段，是屬于不完全歸納法得到的結(jié)論，是否具有普遍性還有待于檢驗(yàn)。教師指明了問題所在以及驗(yàn)證的方向。我們欣喜地看到學(xué)生基于數(shù)學(xué)現(xiàn)象觀察、提出自己的問題、提出自己的猜想，合情推理的種子開始萌芽。

為了證明自己猜想的正確性，在這樣的問題驅(qū)動(dòng)下，學(xué)生為了能夠把寬為各種不同的數(shù)值情況全部囊括，自然而然想到了“用符號(hào)表示具體情境中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，并用符號(hào)進(jìn)行了運(yùn)算和推理”。學(xué)生用字母x來表示寬，經(jīng)過運(yùn)算，也能得到長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)。符號(hào)x把寬的所有情況涵蓋，彰顯了字母豐富的內(nèi)涵，使學(xué)生深刻地體會(huì)到符號(hào)的簡(jiǎn)明性和一般性，發(fā)展了學(xué)生的符號(hào)意識(shí)和抽象能力，使得學(xué)生從算數(shù)思想走向代數(shù)思想，數(shù)學(xué)建模的思想得到了很好的滲透。

最后一種方法，學(xué)生不自覺使用演繹推理的方法，根據(jù)圖形的特征以及圖形之間的關(guān)系，經(jīng)過等量代換得到長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)，從而使通過不完全歸納法獲得的猜想得到了驗(yàn)證，使其更具有普遍意義，顯示推理的力量和數(shù)學(xué)理性的魅力。學(xué)生遵循邏輯順序分析問題，并能根據(jù)充足的依據(jù)（正方形四條邊相等）進(jìn)行推斷，內(nèi)部的思維條理性通過外部數(shù)學(xué)語言的表述呈現(xiàn)了出來，數(shù)學(xué)語言表達(dá)能力得到了錘煉。同樣，學(xué)生在推理過程中，能夠使用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語言表述推理的過程、概括推理的結(jié)果，對(duì)于發(fā)展學(xué)生的思維的嚴(yán)謹(jǐn)性、深刻性和條理性大有裨益。

《課標(biāo)》明確提出：在觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、驗(yàn)證等活動(dòng)中，發(fā)展合情推理能力，能進(jìn)行有條理的思考，能比較清楚地表達(dá)自己的思考過程與結(jié)果。因此在日常的數(shù)學(xué)活動(dòng)中，教師要有意識(shí)地讓學(xué)生基于一定的觀察，憑借經(jīng)驗(yàn)和直覺，大膽猜測(cè)某種數(shù)學(xué)結(jié)論或者規(guī)律，進(jìn)行著“從特殊到一般的推理”即發(fā)展學(xué)生的合情推理能力，當(dāng)然推理的結(jié)果具有偶然性和或然性，這就需要我們教師要引導(dǎo)學(xué)生通過具體的驗(yàn)證活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行“從一般到特殊的推理”，即開展演繹推理，利用已有的事實(shí)和確定的規(guī)則，進(jìn)行著“數(shù)學(xué)化”驗(yàn)證和計(jì)算，確保數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)和準(zhǔn)確。讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)理性的精神、美感和力量。大膽猜想是合情推理的根，嚴(yán)謹(jǐn)求證是演繹推理的魂，在數(shù)學(xué)課上把兩種推理巧妙地結(jié)合起來，讓學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地思考與表達(dá)。最終使得學(xué)生數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程成為猜想之旅、發(fā)現(xiàn)之旅、驗(yàn)證之旅，提高學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和能力。

(作者單位：江蘇省徐州市賈汪區(qū)實(shí)驗(yàn)小學(xué) 責(zé)任編輯：王彬)