例談分數加法中的數學思想方法與活動經驗

《數學課程標準》（修改稿）在總體目標中指出：“通過義務教育階段的數學學習，學生能獲得適應社會生活和進一步發展所必需的數學的基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗。”在這里明確提出“四基”（即基礎知識、基本技能、基本思想和基本活動經驗）的目標要求，《標準》（修改稿）還在教學建議中指出要“引導學生積累數學活動經驗、感悟數學思想”，這是對傳統“雙基”要求的繼承與發揚，凸顯新課程對“基本思想”和“基本活動經驗”目標的關注和要求。我國基礎教育階段的數學教學歷來高度重視“雙基”的教學，并取得了舉世矚目的成績，然而，比較缺乏對“基本思想”和“基本活動經驗”的關注和教學，教師對數學基本思想和基本活動經驗的認識和實踐還不夠。筆者認為這里的“基本思想”包括意識形態的數學思想和操作形態的數學方法兩個方面，其中，數學思想是分析解決問題的指導思想，數學方法是分析解決問題的操作方法；“基本活動經驗”包括外顯形態的操作活動和內蘊形態的思維活動兩個方面，其中，操作活動是數學學習的重要手段，思維活動是數學學習的根本目的。

下面，通過分數加法的4個具體例子，從基本思想和基本活動經驗的角度分析其蘊含的數學思想方法和數學活動經驗，盼能為小學數學的教材分析及教學研究提供一種視角和參考。

例1： +

這是一個同分母分數的加法問題，分數的概念和意義是解決這類問題的基礎，這是學生在分數加法學習中遇到的第一個難點，初學者容易將分子與分子相加，分母與分母相加，得出的錯誤結論。從數學思想的角度分析，這里蘊含著數學中的模型思想，它是一個分數加法的模型，賦予情境后的模型可以描述為：一個西瓜平均切成8塊，小熊吃了這個西瓜的，大熊吃了這個西瓜的，那么小熊和大熊一共吃了這個西瓜的幾分之幾？從數學方法的角度分析，這里可以通過“數數”的方法解決問題，具體方法是：一個西瓜平均切成8塊，每塊一樣大，都是這個西瓜的，小熊吃了2塊，大熊吃了3塊，數一數，小熊和大熊一共吃了5塊，就是這個西 瓜的。從操作活動的角度分析，如果用圓片代替西瓜，那么主要包括以下操作活動：將一個圓片平均分成8份，先涂出2份表示這個圓的，再涂出3份表示這個圓的。從數學思維活動的角度分析，這里主要包括以下思維過程：因為表示2個，表示3個，所以，+表示2個與3個的和，等于5個即。這是一個非常重要的思維活動過程，它為后續解決異分母分數加法問題奠定了思維活動基礎。

例2：+

這是一個異分母分數的加法問題，是學生在分數加法學習中的一次提升，同分母分數的加法是解決異分母分數加法問題的重要基礎。從數學思想的角度分析，這里蘊含著轉化的數學思想，即需要將異分母分數的加法問題轉化成同分母分數加法問題進行解決，這是解決這類問題的基本指導思想。從數學方法的角度分析，實現將異分母分數轉化成同分母分數，采用的具體操作方法是“通分”。 “通分”是解決異分母分數加法問題的一種有效數學方法，它的基本知識點是分數基本性質。從操作活動的角度分析，這里主要包括以下操作活動過程：將大小相同的兩張正方形紙，一張折出并涂上陰影，另一張折出并涂上陰影，然后將的陰影部分剪下貼到第一張涂陰影的紙上，接著進行觀察，體會+的具體過程。從思維活動的角度分析，這里包括以下四個思維過程：一是主觀判斷的思維過程，+不屬于同分母分數的問題，不能直接相加，這一主觀判斷對于問題的解決至關重要，它的知識基礎是同分母分數加法；二是反思判斷的思維過程，思考與不能直接相加的根本原因，是它們的分數單位不相同，明確了這一點，就能確保主觀判斷的準確性；三是分析問題的思維過程，異分母分數相加是一個新問題，必須將它轉化成同分母分數相加的問題，這是解決問題的關鍵性思維過程；四是解決問題的思維過程，思考2和4的最小公倍數以及與的具體通分策略等。

例3：++

從根本上看，這仍然屬于異分母分數加法的問題，但是從形式上看，它是三個分數相加的問題，綜合了同分母加法和異分母加法的問題，屬于同分母和異分母混合運算的問題，它是分數加法運算的再一次提升。從數學思想的角度分析，這里蘊含著數學中的優化思想，尋找解決問題的最優策略是數學精神的重要體現。從數學方法的角度分析，為了達到解題過程的進一步優化，利用加法交換律，采用交換后兩個分數位置的方法。從操作活動的角度分析，這里主要是利用加法交換律進行具體演算的過程，即++=++。從思維活動的角度分析，這里主要包括以下思維過程：通過觀察和比較，發現和這兩個分數的分母相同，而與這個分數的分母不同，然后作出如下判斷：“利用加法交換律，先算與的和，再將和與相加，這樣的計算比較簡便”。

例4：++…+

從根本上看這仍然屬于異分母分數加法的問題，但是，從形式上看，這里有兩個主要特點，一是分母是兩個連續自然數的積；二是共有18個這樣的分數相加。這樣的分數加法問題是一種全新的挑戰，是分數加法常規計算的一次飛躍和提升，通過解決這類問題，不僅思想認識和思維水平會有很大提升，而且還可以使學生真正體會到數學的“美”和“妙”。從數學思想的角度分析，這里主要蘊含著數學中的變換思想，更準確地說是“恒等變換”的思想，通過變換每一個分數的外在形式而使其大小保持不變。從數學方法的角度分析，這里主要使用了“拆分”的方法，它與“通分”的目標指向正好相反，“通分”是將兩個分母不同的分數變換成一個分數，而“拆分”是將一個分數變換成兩個分母不同的分數，如=-，=-，依此類推。從操作活動的角度分析，這里主要是利用“拆分”的方法進行具體變換的演算過程。從思維活動的角度分析，這里主要包括以下思維過程：通過觀察和比較，發現這類問題的兩個主要特點，并作出判斷“這類問題不能直接用通分的方法進行解決”，然后借助“拆分的思維活動經驗”展開想象，發現規律“拆分后除了第一個分數和最后一個分數以外，其他相鄰的兩個分數都分別相互抵消”，最后作出推理“它們的和就是-=”。

以上四個例子，呈現了分數加法基本數學活動經驗的積累過程，外在的操作活動和內在的思維活動交織成數學活動的統一體，操作活動是數學學習的重要手段，思維活動是數學學習的根本目的。隨著活動經驗的不斷積累，數學學習將逐步從借助學具的操作活動理解和學習數學過渡到借助數學思維理解和學習數學。例1和例2側重于外在操作活動經驗的積累，旨在理解同分母和異分母分數加法的原理，例3和例4側重于內在思維活動經驗的積累，這些基本活動經驗是后續學習的重要基礎，而在問題解決過程中所滲透的數學思想和數學方法，是分數加法深層次的重要內容，它是提高問題解決能力的根本保證，是數學學習的精髓所在，應該引起我們教材分析和教學研究的足夠重視。#9834;