需求不定條件下柔性配送系統的生產決策優化模型

柔性是一個系統所具有的有效地處理環境變化或由環境引起的不確定性的能力。面對市場需求的不定，增加柔性可以增加配送系統產品的銷量，提高系統資源的利用率，從而提升整個配送系統的價值水平。

基于供應鏈管理理論的柔性化配送系統主要的是集現代工程、管理技術和物流作業向多樣化、差異化轉變的結合體。柔性化配送系統的中心是利用先進的現代系統工程技術、管理技術、計算機技術、通信技術、機械工程技術及自動化技術的有機整合形成柔性化配送系統的技術基礎，滿足終端用戶動態變化需求，實現全過程資源優化配置。不定性是引起配送系統管理困難的主要原因之一，而配送系統中不定性的來源主要有供應、制造和需求，其中需求的不定性是最難予以解決的。通過運籌學理論建立目標函數、約束條件，進而得出最優解是研究配送系統柔性的主要途徑之一。

柔性通常被定義為對環境不確定性的適應性反應。柔性的定義為：柔性不僅是對不確定環境的一個適應性反應，而且可以主動地制造競爭對手難以應付的不確定性。簡而言之，柔性是一種應變能力，柔性是一個系統所具有的有效地處理環境變化或由環境引起的不確定性的能力。面對市場需求的不定，增加柔性可以增加配送系統產品的銷量，提高系統資源的利用率，從而提升整個配送系統的價值水平。柔性控制的主要內容是需求的識別和柔性系數的優化和控制，需求的確定是通過分析外部環境的變化，困難的是需求分為顯性需求和潛在需求，已經表現出的需求為顯性需求，而潛在需求是現在暫時未表現出來的未來的需求。柔性的優化和控制是根據需求調整柔性水平（柔性因子），使柔性因子與需求匹配。這里首先要判斷出柔性因子是否滿足需求，若不能滿足需求，則需要采取行動，調整柔性因子，找出一個較優現實柔性系數。如何通過非線性規劃方法建立配送系統的柔性生產決策模型，同時，通過模型的求解給出了柔性生產決策模型最優柔性系數是本文所闡述的方法，并通過算例對模型及求解方法進行驗證。

一、需求不定條件下柔性配送系統優化模型分析

配送系統是通過前饋的物料流和反饋的信息流，將材料供應者、產品生產者、分銷服務中心和顧客連成一體的系統。通常，配送系統是由一個核心制造企業和許多供應商、分銷售、零售商共同組成的網鏈狀結構模式，是一種涉及多個不定市場的復雜系統。配送系統的生產決策就是協調材料供應商、產品制造商、分銷商之間的資源配置，以最大限度地滿足顧客需求。為便于分析，本文對配送系統結構進行部分簡化。設定配送系統由制造商、銷售商和顧客三方組成，且制造商僅生產一種產品，通過一個銷售商銷往一個需求不定的市場，制造商原材料的獲取不受任何限制。其需求不定條件下配送系統柔性優化模型建立過程如下。

（1）成本構成分析

在組織生產過程中，配送系統的每個節點企業都要發生各種生產成本。這里假定為了快速響應客戶需求，制造商采用MTO (make to order) 生產方式。這樣， 制造商成本僅為制造成本。設制造商的最大生產能力為Φ，產品產量為Q，制造商增加單位生產能力所需投入的固定費用為m，生產單位產品的變動成本為v， 則制造成本為Cp = Φm + Qv；

在MTO方式下，制造商生產的全部產品數量Q轉移給銷售商，若從制造商運送產品到銷售商的單位運輸成本為r，則產品運輸成本為Cs = rQ；

面對不定性市場需求，制造商的產量與市場需求之間總是存在一定的差異，從而導致銷售商存在一定的庫存商品，進而產生保管費用或延期交貨的懲罰費用(如價格折扣等)。

設特定產品的市場需求量為 x，單位產品的庫存費用為s，單位產品的延期交貨懲罰費用為k。若x < Q，則庫存保管費用為Cw = (Q - x )s；若x > Q，則延期交貨懲罰費用為Cd = (x - Q )k。

因銷售商存在一定的固定成本和產品到顧客的運輸成本，而該費用對配送系統生產決策影響不大，故通常可以忽略。

令y = x - Q

用Tc 表示配送系統總成本， 則式（1）：Tc =Φm + Qv + Qr +︱y︱b (y )。

（1）

（2）模型的建立

設最終產品的單價為p，若市場需求量為x，則配送系統產品銷售收入為p x。用Π表示配送系統的總利潤， 根據上面成本構成的分析結果， 得到配送系統總利潤函數為：

式（2）：Π(Q ，Φ ) = p x - Tc =p x - [Φm + Qv + Qr +︱y︱b (y ) ] (2)

最終產品隨機需求x 的概率密度函數與分布函數分別表示為f(x )和F(x)。均值為μ，若用J (Q，Φ) 表示配送系統期望總利潤，即J (Q ， Φ ) = E [Π(Q ，Φ ) ]， 則有：

J (Q ， Φ ) = pμ- {Φm + (v +x)Q +[ s∫(Q - x ) f (x ) dx +k∫(x - Q ) f (x ) dx ]}。(積分區間為[0，Q]和[Q，∞])

整理后得式（3）

J (Q ， Φ) = pμ- [ Φm + (v + t)Q +(s + k)Q F(Q )-kQ-s∫x f (x ) dx +K∫x f (x ) dx ]. (積分區間為[0，Q]和[Q，∞] ) （3）

令Z (Q ， Φ ) =Φm + (v + t)Q + (s + k)QF (Q ) –kQ -s∫x f (x ) dx +k∫x f (x ) dx.

(積分區間為[0，Q]和[Q，∞])

則 式 (3) 變為式（4）

J(Q，Φ) =pμ-Z(Q，Φ). (4)

式中:pμ為配送系統的銷售收入期望，Z (Q ， Φ ).為配送系統期望總成本。

在需求不定條件下， 配送系統追求期望總利潤的最大化，即max J (Q ， Φ ). 由式(4) 可知，在已知需求分布情況下，p*μ為常量，若求max J (Q ， Φ)，則min Z (Q ， Φ ). 即：追求配送系統期望總利潤最大化的目標等價于追求配送系統期望總成本最小化。

本文研究配送系統生產柔性是指配送系統改變產品產出水平的能力，它根據配送系統的生產富余能力來計量。配送系統生產柔性可表示為：

W=(Φ-Q)/Φ （5）

以配送系統期望總成本最小化為目標函數，生產柔性作為約束條件，建立需求不定條件下，配送系統柔性生產決策優化模型為：

其中ε為配送系統的生產柔性水平，ε∈[ 0， 1)。

約束式(6b)表示配送系統生產柔性必須滿足一定的柔性水平。

式(6c) 表示產品產量Q 受到最大生產能力Φ的制約。

模型(6) 的意義是：在給定配送系統柔性水平Ε的條件下，配送系統期望總成本最小。

（3）最優方案的確定

配送系統生產柔性決策有效邊界上的點均可視為配送系統柔性決策的滿意解，為此，需要找到一個最優解，但模型(6)無法直接計算得到，因此必須引入新的判斷標準。

柔性代表配送系統對不定性的反映能力，柔性越大，配送系統適應市場需求變化的能力越強，而增大配送系統的柔性，便意味著配送系統成本相應增加。因此，配送系統決策者一般希望以最小的成本獲取最大的柔性。

將ω = Z/ε定義為成本柔性系數，其經濟含義為：在單位柔性下配送系統所承擔的成本， 是柔性與配送系統承擔成本之間的均衡關系的度量值。所以，在單位柔性水平下配送系統成本越小越好。若在柔性配送系統生產決策時取成本柔性系數 ω為極小值， 則對應的ε＾為最優生產柔性水平， 即：

式(13) 表明，在配送系統生產柔性決策有效邊界確定的期望總成本最小化的滿意解范圍之內，求解m in Ξ的問題，即在有效邊界上尋找最優點。其求解過程如下：

dω/dε=(Z＇(ε)–Z(ε)/ε2， (8)

將式(12)代入(14)，并令dω/dε=0， 得：

{- (s + r)g′(ε ) g (ε )f (g (ε ) ) ε-[r∫x f (x ) dx - s∫x f (x ) dx ]}/ε2= 0， (9)

(其中積分區間為[0，g(ε)]和[g(ε)，∞])

即：

(s + r) g′(ε) g (ε) f (g (ε))ε+∫x f (x) dx - s∫x f (x) dx = 0， (10)

(其中積分區間為[0，g(ε)]和[g(ε)，∞])

其中 ：

g (ε) = F-1[(r - (v + t) – m/ (1 - ε ))/(s + r)]

通過解方程式(16) 即可得到配送系統的最優生產柔性水平ε＾。

二、算 例

配送系統中某制藥公司A生產一種抗生素產品，主要銷售市場為地區D。假設公司A 每生產單位產品所需投入的生產設施費用m 為20元/件，生產單位產品的變動成本v 為9元/件。該配送系統在地區D有唯一銷售商B，從公司A 運往銷售商B 的單位運輸成本t為1元/件，銷售商B 的單位庫存成本s 為3元/件，銷售商B 在地區D 的單位產品缺貨成本r為150元/件。產品的每月市場需求量x 服從正態分布，其均值μ= 10000 件，方差σ2= 2 0002。

使用MATLAB數學軟件，計算出不同生產柔性水平Ε下的配送系統期望總成本和配送系統最優決策數據如表1所示。

圖1曲線的經濟意義為： 配送系統決策者可依據自身的成本承受能力(或資本實力) ， 對所能達到的最大配送系統柔性進行選擇。例如，若配送系統期望總成本投資可達到80 萬元，則配送系統決策者可選擇的最大柔性為0.654;若配送系統期望總成本最大投資只45萬元， 則配送系統決策者可選擇的此成本下的最大柔性為0.2075。

在有效邊界上任取一點A，點A和坐標軸原點的連線與橫軸的夾角為α，則tgα= Z/ε= ω， 即柔性成本系數ε的值等于夾角α的正切。

由圖1可看出，隨著A 點在有效邊界上從左向右移動， 夾角α變化規律為: 先由大變小， 再由小變大. 由此表明， 柔性成本系數ε的取值隨著柔性水平Ε的增大而變化， 其變化規律為： 先由大變小，再由小變大，中間存在唯一極小值。由于柔性成本系數ε代表配送系統在單位柔性下所承擔的成本，ε極小值的存在說明配送系統決策者能以最小的成本柔性比， 獲得最理想的投資效益. 因此ε極小值點即為柔性配送系統的最優決策點。

將數據代入式(16) ， 通過解方程， 可求得 ε＾=0.5806， 此柔性水平下的配送系統最優生產量為10523件/月， 所需最大生產能力為25091件/月， 銷售商的訂貨量為10253件/月， 配送系統期望總成本為695250元。

為了更直觀地反映成本柔性系數隨柔性水平變動的情況，繪出了成本柔性系數曲線，如圖2所示。

該圖表明， 隨著生產柔性水平的增大， 成本柔性系數取值呈先降后升的變化。

本文研究了基于市場需求不定條件下配送系統的生產柔性決策問題，通過成本分析建立了決策模型，給出了配送系統生產柔性決策有效邊界的定義和經濟意義，并在此基礎上引入成本柔性系數最小化的判斷標準，從而得出了最優方案的確定方法。

本文僅研究了需求不定條件下配送系統中單生產商和銷售商情景的柔性生產決策模型，對于多銷售商、多市場以及考慮供應商供應能力限制等條件下的柔性配送系統設計問題，可以作為下一個需要研究的領域去探討。