追問在數學課堂教學中的運用

追問，即對某一問題或某一內容，在一問之后又二次、三次等多次提問，“窮追不舍”，它是在對問題深入探究的基礎上追根究底地繼續發問.追問不是一般的對話，對話是平鋪直敘地交流，而追問是對事物的深刻挖掘，是逼近事物本質的探究.就教學來說，追問就是圍繞教學目標，設置一系列問題，將系列問題與課堂臨時生成的問題進行整合，巧妙穿插，進行由淺入深，由此及彼地提問，以形成嚴密而有節奏的課堂教學流程.站在學生的角度教數學，不能沒有追問.因為追問體現了教師對現場的重視，對談話對象的尊重，有追問才能點燃學生思維對話的激情，有追問才能激活沉睡的個體知識，有追問才能促進思維水平的提升.

1 有追問才能點燃思維對話的激情

對話是人與人之間的一種平等、開放、自由、民主、協調、富有情趣和美感、時時激發出新意和遐想的交談.如果說教學的本質是對話，那么追問就是這種對話的延伸和拓展，是一種更高層次的對話.教師的追問一定是認真傾聽和真誠對話后的行為，表現出來的正是對這種平等地位的肯定，是對談話對象的重視，是對談話過程中所展現出來的情趣與美感的追尋.教師的這些情緒一定會點燃學生的情感，讓學生在老師的感染下形成和諧心理，激發探究問題的欲望，并形成對下一次思維對話的期待.

案例1 某校科技小組的學生在3名老師帶領下，準備前往國家森林公園考察，采集標本.當地有甲、乙兩家旅行社，其定價都一樣.但表示對師生都有優惠，甲旅行社表示帶隊老師免費，學生按8折收費；乙旅行社表示師生一律按7折收費.經核算，甲、乙兩家旅行社的實際收費正好相同.問該科技小組共有多少學生？

（這是七年級數學下學期的一堂《實踐與探索》課，學生在課前完成.）

師：請一位已完成了的同學，把你的解法在黑板上展示一下.

生：解：設科技小組共有x名學生，兩家旅行社定價為“1”.80%x=70%（x+3），解得x=21.答：該科技小組共有21名學生.

師：對嗎？

生（眾）：對的!

師：如果將題中的科技小組增加學生人數，那么選哪家旅行社較合算？

（此為練習冊案例3后面的小問.同學們七嘴八舌地說開了，討論的氣氛非常熱烈.）

生：我們認為選乙旅行社較合算.我們試算了當增加1人時，甲旅行社：80%（21+1）=176；乙旅行社：70%（3+21+1）=175，176>175.所以，選乙旅行社較合算.

生：我也選乙旅行社，但我認為試增加1人不放心，我一共試了20人，得到這個結論.

師：他們說得對嗎？

生（眾）：對的!

師：他們說得很好.試了一些特殊情況，猜想到選乙旅行社合算，這是一種很好的思維方式，特別在小范圍很有效.但當人數增加為200個時，情況還是這樣嗎？同學們還有其他看法嗎？

（學生沉默了一會兒，有人打破了僵局.）

生：我也選乙旅行社，但我一個也沒試.我認為增加的全是學生，而學生在甲旅行社打8折，乙旅行社打7折.因此，我認為選乙旅行社一定沒錯.

（一片嘩然.對呀!就是!我怎么沒想到呢？）

師：同學們，你們認為剛才那位同學的發言有說服力嗎？

生：有說服力.比前面兩個同學的發言更全面，更有說服力.

師：其他條件不變，選甲旅行社合算，學生人數應有什么變化？

（絕大部分學生很快就有反應.）

生：學生人數小于21名時，選甲旅行社合算.

師：老師人數變為2人，打折情況不變，又如何呢？

（同學們拉著我一起討論，氣氛頓時活躍起來.過了幾分鐘.）

師：請同學們談談你們的見解，好嗎？

生：我通過方程先算出兩家旅行社實際收費一樣的情況，再討論其余情況.

生：我利用前面的結論.因為，當甲旅行社，乙旅行社價格一樣，老師人數學生人數=17=321=17時，得到2學生人數=17.所以，當學生人數為14名時兩家收費一樣.剩下的兩個問題與前面同學的思路一樣.

（這種少見的解法，來得太突然，我該怎么辦？兩秒的思考，讓我選擇正視它.）

師：這位同學的發言很新穎!是否正確，老師需要同學們的幫助，共同探討.（面帶微笑）感謝你向傳統挑戰，向老師挑戰.同學們還有其他想法嗎？

（教室里一片肅靜.學生的眼里充滿了新奇、困惑、佩服……）

生：老師，我還有其他解法.解：設學生人數為x人，單價為“1”.如選甲旅行社，即80%x<70%（x+2），則x<14；如選甲、乙旅行社一樣，即80%x=70%（x+2），則x=14；如選乙旅行社，即80%x>70%（x+2），則x>14.

（又一次面臨挑戰.新教材不等式還沒接觸，只有參加過4月份數學競賽的同學曾自學過.不等式的解法需要講嗎？怎么講？講到什么程度？）

師：剛才那位同學說的是用不等式的方法.是正確的.我們已會解一元一次方程，其原理是保持天平的原始狀態（平衡）；解不等式仍是保持天平的原始狀態（不平衡）.這是我們以后要專題研究的內容.有興趣的同學，課后可以繼續研究、探討.

（一節課時間很快過去，原有的教學計劃沒有完成，安排在課后繼續討論.）

師：因為時間關系，今天課堂上的討論只能到此.請同學們下課以后繼續討論同學提出的比例式是否成立？然后分小組互相編出類似今天討論的例題的應用題，每人編兩個，并自選兩題完成.

（課后與同學們共同探討出：設學生人數為x人，老師人數為y人.有 80%x=70%（x+y），xy=71比例式成立.）

教學隨想 就這堂課而言，我遇到了兩次挑戰.以往的教學模式僅僅會應用傳統知識就行了.多年的七年級教學，從未有人提起可否用比例的方式解此題.突如其來的回答，令我失去正常的冷靜與思考.可慶幸的是我的“追問”，令學生第二次挑戰再次發起.回憶當時的情境，若為維護我所謂的“聰明”，固執地駁回了第一名學生的發言，告訴他們用方程就行了，將會扼殺多少同學的積極性，后面還會有第二位同學大膽的發言嗎？會有課后積極討論比例式是否成立的情境嗎？會有學生告訴我，他們喜歡這樣平等、融洽的課堂嗎？雖然當時老師有點尷尬，但能以誠相待，適當“追問”，換來的是同學們更積極的討論與和諧的創新氣氛.同時也提醒我，在備課時，不僅要備教材，更要備學生，備教法，備各種教學情境.在教學中要保持一種與學生共同學習、探索的心態，并與學生共同體驗創造性勞動所帶來的愉悅.

2 有追問才能激活沉睡的個體知識

個體知識從本質上講就是個體獨特經歷、探究、體驗、感悟、思考形成的知識.個體知識是相對于公共知識而言的，一般來說，如果知識沒有經過個體的認知加工，沒有轉化為個體的觀點和思考，沒有融入個體的心理意義，盡管被個體所記憶和掌握，仍然屬于公共知識的范疇.

案例2 “三角形的概念”的教學．

師：剛才請同學們用數學的眼光欣賞了美麗的圖片（圖片略），請問這些美麗的圖片中都含有哪種平面幾何圖形？

圖1生（眾）：三角形．

師：對!（多媒體投放圖1所示的三角形）小學時我們已學過三角形的一些知識，從今天開始將進一步學習有關三角形的知識.誰來說說什么樣的圖形叫做三角形呢？

生1：由三條線段組成的圖形叫做三角形．

師：有不同的觀點嗎？

圖2 圖3生2：我不同意生1的觀點.請大家看我畫的由三條線段組成的圖形（如圖2、圖3（用實物投影放映）），可它們卻不是三角形，故應改為：由三條線段首尾順次連接組成的圖形叫做三角形．

師：這下，大家沒異議了吧!

圖4生3：不行!必須添上條件“不在同一條直線上”，否則，組成的圖形可能是線段，我畫給大家看（圖4）.故應改為：由不在同一條直線上的三條線段首尾順次連接組成的圖形叫三角形．

師：真聰明!大家一起說說什么樣的圖形叫做三角形？

生（眾）：由不在同一條直線上的三條線段首尾順次連接組成的圖形叫做三角形．

師：我們知道圖形的“角”用符號“∠”表示.垂直用符號“⊥”表示，那么，三角形這一圖形該用什么符號表示呢？

生（眾）：用小的三角形圖形．

師：你們是怎么想到的？

生（眾）：受角、垂直的符號表示法的啟發呀!

師：這種考慮問題的方法，叫類比.類比是最有創造力的一種思維方法.它關注兩個對象在某些方面的相同或相似，從而推測它們在其他方面可能存在的相同或相似之處，它是我們解決問題時非常重要的思路.的確，數學家們用小的三角形圖形“△”表示三角形，這一符號形象、直觀，便于記憶.

我們知道圖1的三角形中三條線段可分別記作線段AB、BC、CA，三個角可分別記作∠ABC、∠BAC、∠ACB，那么“圖1中的三角形”又該如何用符號表示呢？

生4：記作“△ABC”.

師：能否記作“△BCA”或“△CAB”呢？

（此時，學生竊竊私語，呈現出兩種意見）

生5：不能.因為∠ABC、∠BAC 表示不同的角，類比角的表示法，故“△ABC”“△BCA”應表示不同的三角形.所以“△ABC”不能記作“△BCA”.

生6：我認為可以.因為三角形中點A、B、C呈“三國鼎立，勢均力敵”之勢，故“排名不分先后”（學生大笑），而角中的A、B、C的地位是不同的!不能盲目類比.

師：生6說得太棒了!從中我們得到啟發，有時由類比得到的結論不一定可靠，需要仔細斟酌．

我們知道符號“∠ABC”讀作“角A、B、C”，那么符號“△ABC”又如何讀呢？

生（眾）：讀作三角形A、B、C．

……

教學隨想 數學既應被視為一個結果，更應被視為一個過程.每一位數學教師在每一節課中都應把數學作為一個過程去組織有關的學習活動.只有學生真正地參與到活動中，去觀察、實驗、猜想、驗證、推理、反思與交流，才能促進學生完成知識的建構過程.追問不僅有利于將學生的個體知識呈現出來，促進公共知識的內化與轉化，還有利于把教師的個體知識牽引出來與學生分享.本案例教師通過追問把三角形概念的學習組織成學生再創造的過程，在學生思維的最近發展區內創設問題情境，引導學生通過觀察、類比、猜想、分析、驗證，使問題層層推進，從而使學生一步一步地完善自己的認知結構.整個過程教師自始至終“帶著學生走向知識”——授人以漁，充分體現了學生是學習的主人，教師是學生學習的組織者、引導者與合作者的理念.

3 有追問才能促進思維水平的提升

在教學中，既能接受挑戰又能挑戰別人思維的對話才是最有活力的，而追問正是在思維碰撞點上演出的生動事件，它追求的是思維的深度和廣度，這無疑對培養學生思維的深刻性、敏捷性有著不可忽視的作用.當教師發現學生的回答膚淺、粗糙、片面、零碎甚至是錯誤的時候，就應緊追不舍再次發問，促使并引導學生就原來的問題進行深入的思考.

案例3 “有理數加法運算法則”教學．

師：足球比賽規定，進球數記為正數，失球數記為負數，它們的和叫凈勝球.比賽中紅隊進4球，失2球，藍隊進1球，失1球，怎樣計算兩隊的凈勝球數呢？

生：紅隊凈勝球數為4＋（－2），藍隊凈勝球數為1＋（－1）.

師：這里出現了正數與負數的加法，該怎樣算呢？這就是這節課要探討的問題.

師：一只蝸牛沿數軸爬行，它現在的位置恰好在原點：（1）先向右爬行5m，再向右爬行3m；（2）先向左爬行5m，再向左爬行3m；（3）先向右爬行5 m，再向左爬行3m；（4）先向右爬行3m，再向左爬行5m；（5）先向右爬行5m，再向左爬行5m；（6）先向左爬行5m，再向右爬行5m；（7）第1秒向右爬行5m，第2秒原地不動；（8）第1秒向左爬行5m，第2秒原地不動.上述八種情況下，兩次爬行后的結果是什么？請同學們借助數軸研究蝸牛的各種運動情況.

生1：我把蝸牛看作一個點，運動的路程用線段表示，它的運動情況分別是這樣的.

（學生展示畫好的圖）

師：同學們看了有什么建議嗎？

生2：蝸牛的爬行是有方向的，我認為應該標上箭頭來顯示方向.

生3：兩次運動后的結果也要用帶箭頭的線段來表示.

師：你們真棒!同學們能把蝸牛運動的情況和運動后的結果用算式表示出來嗎？

生4：（1）5＋3＝8，（2）5＋3＝8，（3）5－3＝2，（4）5－3＝2，（5）5－5＝0，（6） 5－5＝0，（7）5＋0＝5，（8） 5＋0＝5.

生5：老師，他寫得不好，兩個算式相同，不能反映蝸牛的運動情況.

師：那該怎么辦呢？

生6：可以這樣，規定蝸牛向右運動為正，向左運動為負，蝸牛位于原點右邊為正，位于原點左邊為負，這樣算式就可以寫成：（1）（＋5）＋（＋3）＝＋8，（2）（－5）＋（－3）＝－8，（3）（＋5）＋（－3）＝＋2，（4）（＋3）＋（－5）＝－2，（5）（＋5）＋（－5）＝0，（6） （－5）＋（＋5）＝0，（7）（＋5）＋0＝＋5，（8）（－5）＋0＝－5.

師：看來同學們考慮問題還真細致.下面請同學們觀察八個算式，分析每個算式中加數的符號與和的符號，加數的絕對值與和的絕對值之間的關系，把你的發現用語言文字表述出來.相互交流補充.

生7：（1）（2）和的符號與加數的符號相同，和的絕對值等于加數的絕對值.（3）（4）和的符號和其中一個加數的符號相同，和的絕對值等于加數的絕對值的差.（5）（6）和的絕對值等于加數的絕對值的差.（7） 和的符號與非零加數的符號相同，和的絕對值與非負數的加數的和的絕對值相等.（8）和的符號與非零加數的符號相同，和的絕對值與非正數的加數的和的絕對值相等.

生8：（3）（4）中，和的絕對值等于加數的絕對值的差.到底哪個的絕對值減去哪個的絕對值沒說清楚？

生7：（＋5）的絕對值減（－3）的絕對值，（－5）的絕對值減（＋3）的絕對值.

師：怎么說更準確精煉？

生9：加數中較大的絕對值減去較小的絕對值.

師：（3）（4）中，和的符號和其中一個加數的符號相同，到底和哪個加數的符號相同呢？能更明確嗎？

生10：和的符號與絕對值較大的加數的符號相同.

師：好，我們把剛才總結的（1）～（8）再分析一下，能否更精煉些.

生11：我把上面三個式子分成三類，（1）（2）是同號兩數相加，和的符號與加數的符號相同，和的絕對值等于加數的絕對值的和；（3）（4）（5）（6）是異號兩數相加，和的符號與絕對值較大的加數的符號相同，和的絕對值等于加數中較大的絕對值減去較小的絕對值；（7）（8）是一個數和零相加，仍得這個數.這樣更簡練.

生12：（5）（6）結果為0，沒必要說符號間的關系.兩個加數互為相反數其和為0.這兩個可以是一類.

師：好，那就分四類.同學們想一想，歸納的這些特點對我們有什么幫助？

生13：可以用來進行有理數的加法運算.

師：好，這就是加法運算法則，根據我們的總結，在進行運算時，一般分幾步？趕快解決開頭的問題吧.

生：兩步，先定符號，再算絕對值……

教學隨想 案例中，教師通過追問，首先是創設問題情境，向學生提出挑戰，然后讓學生在已有的知識經驗的基礎上進行合理的猜想，再引導學生從不同的角度（數、形、生活實例）驗證猜想的合理性，從而做出規定.最后來驗證這種規定與原有知識體系的吻合性，使學生的原有知識體系得到擴展.其好處在于：一是能較為充分地體現數學自身發展的軌跡，使學生感悟到數學是在矛盾的運動中不斷發展的，并通過問題的解決使自己得到了不斷的完善；二是關注數學知識的內在聯系.學生的數學學習建立在學生原有認知體系之上，是對原有認知體系的不斷擴展，學生所學的新知識只有納入學生原有的認知體系之中才能被學生所真正理解、掌握和應用.如果直接把結論告訴學生，通過練習讓學生記住，也許學生會計算和應用，但缺少認識和解決問題的方法和從事數學活動的經驗，而這恰恰是最核心的內容.

哈佛大學尼普斯坦教授提出了追問時盡可能做到十個字：①假：就是以“假如……”的方式提問；②例：即多舉例；③比：比較知識和知識間的異同；④替：讓學生多想有什么可以替代的；⑤除：“除了……還有什么”；⑥可：可能會怎么樣；⑦想：讓學生想多種多樣的情況；⑧組：把不同的知識組合在一起會如何；⑨六：就是“六何”檢討策略；即為何，何以，何事，何處，何時，如何；⑩類：多和學生類推各種可能.

著名教育家蘇霍姆林斯基認為：“真正的學校乃是一個積極思考的王國.”課堂中的追問既是一門學問，更是一門藝術.它是教師教學智慧和教學藝術的體現，是教師真情投入、深情流露、適時捕捉的結果.追問提高了質量，追問提升了品位，追問開啟了智慧，追問掀起了課堂的高潮，追問演繹了課堂的精彩!

參考文獻

［1］ 劉渝玲.挑戰學生的理智——《實踐與探索》教學片段評析［J］.人民教育，2002，（7）．

［2］ 王賽英，賴璽艷.談人教版“三角形”一章的教學［J］.中學數學教學參考（初中版），2008，（5）：23-26．

［3］ 王擁軍.數學教學中的過程性例談［J］.中學數學教學參考（中旬），2012，（1，2）：23-26．