一道習(xí)題的探究、推廣與應(yīng)用

圖1題目：如圖1，任意四邊形ABCD被兩條對(duì)角線(xiàn)分成四個(gè)三角形:△OAD、△OBC、△OAB、△OCD，它們的面積分別是S1、S2、S3、S4，則S1?S2=S3?S4.

證明：設(shè)△OAD邊AO上的高為h1，△OAB邊OA上的高為h2，則

S1S4=12OA?h112OC?h1=OAOC，S3S2=12OA?h212OC?h2=OAOC．

所以S1S4=S3S2， 即S1?S2=S3?S4．

本題題設(shè)清楚，明快，結(jié)論體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美、對(duì)稱(chēng)美、和諧美，引起了筆者的興趣，我們不妨把它稱(chēng)之為“四分面積定理”，對(duì)此定理作如下探究：

1 四邊形的變化

圖2本題中的四邊形為凸四邊形，如果是凹四邊形，結(jié)論還成立嗎？

如圖2，凹四邊形ABCD中，CA的延長(zhǎng)線(xiàn)與BD相交于點(diǎn)O，

因?yàn)镾△OADS△OCD=OAOC=S△OABS△OBC，

所以S△OAD?S△OBC=S△OAB?S△OCD．

所以，結(jié)論還成立.

2 點(diǎn)的變化

2.1 點(diǎn)O的變化

圖3在上面的探究中，點(diǎn)B、O、D在同一直線(xiàn)上，如果點(diǎn)B、O、D不在同一直線(xiàn)上，結(jié)論還成立嗎？如圖3，點(diǎn)B、O、D不在同一直線(xiàn)上.

因?yàn)镾△OADS△OCD=OAOC=S△OABS△OBC，所以S△OAD?S△OBC=S△OAB?S△OCD．所以，結(jié)論還成立.

圖4當(dāng)點(diǎn)O在CA的延長(zhǎng)線(xiàn)上呢？如圖4，點(diǎn)O在CA的延長(zhǎng)線(xiàn)上，

因?yàn)镾△OADS△OCD=OAOC=S△OABS△OBC，

所以S△OAD?S△OBC=S△OAB?S△OCD.所以，結(jié)論還成立.

點(diǎn)O可以變化，那么點(diǎn)B、D的位置改變了，結(jié)論還成立嗎？因此想到了下面的探究：

2.2 點(diǎn)B、D的變化

在上面的探究中，點(diǎn)B、D都是在AC的兩側(cè)，如果在AC的同側(cè)，結(jié)論還成立嗎？如圖5，點(diǎn)B、D在AC的同側(cè).

圖5 圖6 圖7現(xiàn)選擇圖6加以說(shuō)明，因?yàn)镾△OADS△OCD=OAOC=S△OABS△OBC，所以S△OAD?S△OBC=S△OAB?S△OCD．

圖5和圖7一樣的說(shuō)明方法.所以，結(jié)論還成立.

3 定理的推廣

由上面這些探究，不難把“四分面積定理”作如下推廣：

圖8推廣:設(shè)平面上有兩組點(diǎn)A、C和B、D，如圖8，在直線(xiàn)AC上任取一點(diǎn)O，則都有S△OAD?S△OBC=S△OAB?S△OCD．

證明 （ⅰ）若BD∥AC，由同底等高的三角形的面積相等，得S△OAD=S△OAB，S△OBC=S△OCD，故結(jié)論成立．

（ⅱ）若B、D中有一點(diǎn)在AC上，則結(jié)論中等號(hào)兩邊都為0，結(jié)論成立．

（ⅲ）若AC與BD相交于H，則S△OABS△OAD=BHDH=S△OBCS△OCD，故S△OAD?S△OBC=S△OAB?S△OCD．

4 定理的應(yīng)用

例1 如圖9，某公園的外輪是四邊形ABCD，被對(duì)角線(xiàn)AC、BD分成四個(gè)部分，△AOB的面積是1平方千米，△BOC的面積是2平方千米，△COD的面積是3平方千米，公園陸地總面積是692平方千米，那么人工湖(陰影部分)的面積是 平方千米.

簡(jiǎn)解 由“四分面積定理”有1×3=2×S△AOD，得S△AOD=32.所以692+S人工湖=1+2+3+32，從而S人工湖=058．

圖9 圖10例2 如圖10，梯形ABCD的面積為S，AB∥CD，AB=b，CD=a （a＜b），對(duì)角線(xiàn)AC與BD相交于O，△BOC的面積為29S，求ab.

簡(jiǎn)解 設(shè)ab=k，則S1＝k2S2．

由“四分面積定理”有S1?S2=S23，

所以k2S22=S23 ，所以kS2=S3=29S．

因?yàn)镾1+S2=S-2S3=59S，所以k2S2+S2=59S，即（k2+1）S2=59S．

所以kk2+1=25，所以k=12或k=2（舍去），所以ab=12．

例3 如圖11，O是AC上一點(diǎn)，S△OAD=2，S△OBC=15，S△OAB=18，求S△OCD．

圖11 圖12簡(jiǎn)解 直接運(yùn)用定理的推廣S△OAD?S△OBC=S△OAB?S△OCD，得2×15=18×S△OCD，從而S△OCD=53．

例4 如圖12，正方形ABCD的面積為1，M是AD邊上的中點(diǎn)，求圖中陰影部分的面積．

簡(jiǎn)解 設(shè)S△ABG=x，從而 S△MCG=x，所以S△AMG=14-x，S△BCG=12-x，由“四分面積定理”得x2=(14-x)(12-x)，所以x=16.故陰影部分面積=2x=13．