一道名題的兩個(gè)巧證

如果一個(gè)三角形的兩條內(nèi)角平分線相等，則該三角形等腰.”

大約1840年，德國(guó)數(shù)學(xué)家雷米歐司在一次數(shù)學(xué)會(huì)議上說(shuō)了以下的話：“幾何問(wèn)題在還沒(méi)有證出之前很難說(shuō)它是困難還是容易!”為此，他舉出了這道題作為例子.當(dāng)時(shí)該問(wèn)題還沒(méi)有被證出來(lái)，后來(lái)另一名德國(guó)數(shù)學(xué)家斯坦納證出了它，但相當(dāng)繁雜. 此后，這個(gè)問(wèn)題很快出名，稱為雷米歐司——斯坦納定理，已有許多巧思妙證發(fā)表［1］，［2］，［3］. 下面筆者再給出兩個(gè)證明，供讀者參考.

圖1證法1：如圖1，記BC=a，AC=b，AB=c，角平分線BD=CE=d，作△ABC的外接圓，延長(zhǎng)BD與CE，分別交圓于F、G，記FA=FC=m，GA=GB=n，F(xiàn)D=P，GE=q，由相似三角形性質(zhì)及角平分線性質(zhì)得

mn=mana=ADdAEd=ADAE=ADACAEAB?ACAB=cc+abb+a?bc

=a+ba+c. （1）

由面積關(guān)系得pd=m2ac，qd=n2ab，

兩式相除得：

pq=m2bn2c=(a+b)2b(a+c)2c. （2）

由托勒密定理得ma+mc=b(d+p)，na+nb=c(d+q)，因?yàn)閺模?）得ma+mc=na+nb，所以b(d+p)=c(d+q)，即(b-c)d=cq-bp. （3）

若b>c，則從（2）式得p>q，但這樣（3）式左正右負(fù)，不能成立；若b

所以b=c．

證法2：如圖2，過(guò)B作EC的平行線交AC延長(zhǎng)線于P，過(guò)C作DB的平行線交AB延長(zhǎng)線于Q.則∠Q=∠ABD=∠DBC=∠BCQ，所以BQ=BC，同理CP=BC．

圖2由BDQC=ABAQ和CEPB=ACAP及BD=CE得：

PBQC=cb?b+ac+a=bc+acbc+ab，由此式顯見(jiàn)，若b>c，則PB

另一方面，取QC、PB的中點(diǎn)M、N，連BM、CN，則BM⊥QC，CN⊥PB.若b>c，則∠ABC>∠ACB，于是∠BCN=12(180°-∠ACB)>12(180°-∠ABC)=∠CBM，注意Rt△BCN和Rt△CBM的斜邊相等，較大的銳角所對(duì)的直角邊也較大，所以BN>CM，從而PB>QC，這跟PB

同理，若b 順便說(shuō)一件有趣的事兒：“等腰三角形的兩個(gè)底角相等”這個(gè)命題本來(lái)極易證明，但幾何的化身——?dú)W幾里得卻作了很復(fù)雜的輔助線（延長(zhǎng)AB到Q，延長(zhǎng)AC到P，使BQ=CP，連接BP、CQ），人們戲稱之“驢子難過(guò)的橋”，并稱該定理為“驢橋定理”，這么復(fù)雜的輔助線確實(shí)要讓許多人犯傻呢!筆者這頭笨驢好不容易過(guò)橋之后，竟變聰明了點(diǎn)，突來(lái)靈感，仿“驢橋”搭“馬橋”，成功證得幾何難題“雷米歐司——斯坦納定理”，管它是驢還是馬呢，拉出來(lái)溜一溜，呵呵．

參考文獻(xiàn)

［1］ 周春荔.“萊姆斯——斯坦納問(wèn)題”的初等證明及其它［J］.中學(xué)生數(shù)學(xué)（初中版），2006，（3）．

［2］ 王申懷等.代數(shù)與幾何之間的另一座“橋梁”——向量［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2005，（5）．

［3］ 沈康身.歷史數(shù)學(xué)名題賞析［M］.上海：上海教育出版社，2002，9∶416—420．