利用等腰三角形的一個性質證明一類幾何題

性質:如圖1，△ABC中，AB=AC，D為BC上任意一點，則AC2-AD2=BD?CD．

證明 過點A作AO⊥BC，垂足為O.因為AC2=AO2+OC2，AD2=AO2+OD2，

所以AC2-AD2=（AO2+OC2）-（AO2+OD2）=OC2-OD2=（OC+OD）（OC-OD）=CD（OC-OD）．

又因為AB=AC，AO⊥BC，所以OC=OB.所以AC2-AD2=CD（OB-OD）=BD?CD．

圖1 圖2推論:如圖2，△ABC中，AB=AC，D為BC延長線上任意一點，則AD2-AC2=BD?CD．

證明 延長CB到E，使BE=CD，連接AE.易證△ABE≌△ACD，于是AE=AD，所以△AED是等腰三角形.由上面的性質得AD2-AC2=EC?CD=（EB+BC）?CD=（CD+BC）?CD= BD?CD．

應用這個性質，可證明一類幾何題：a2-b2=cd型證明題.若題中線段符合a2-b2=cd，有平方差，則可以a為腰構造等腰三角形，使底邊落在直線c或d上，運用該性質求解.舉例如下：

圖3例1 如圖3，已知：在△ABC中，AB=AC，延長BC到D，使CD=CB.求證：AD2=AB2+2BC2．

證明 由推論得AD2=AC2+BD?CD=AB2+2BC?BC=AB2+2BC2．

圖4例2 △ABC的角平分線AD的延長線交外接圓于點E.求證：AE2-BE2=AB?AC．

證明 如圖4，作EF=EA，交AB延長線于點F，即構造等腰△EAF．

由性質得AE2-BE2=AB?BF.連接EC.因為AE平分∠BAC，EF=EA，所以∠EAC=∠BAE=∠F，BE=EC.又因為∠FBE=∠ECA，所以△FBE≌△ACE（AAS）.所以BF=AC.所以AE2-BE2=AB?AC．

例3 在△ABC中，∠ACB=2∠ABC.求證：AB2=AC2＋AC?BC．

證明 如圖5，作AD=AB，交BC延長線于點D，即構造等腰△ABD．

由性質得AB2=AC2＋BC?CD.因為AD=AB，所以∠B=∠D.所以∠ACB=2∠B=2∠D.而∠ACB=∠CAD+∠D，所以∠CAD=∠D，即有AC=CD.所以AB2=AC2＋AC?BC．

注 此題也可利用推論構造等腰三角形求證．

圖5 圖6例4 如圖6，已知：△ABC中，AB>AC，AD⊥BC于D，E為BC中點.求證：AB2-AC2=2BC?DE．

證明 作AF=AB，交BC延長線于點F，由性質得AB2-AC2=BC?CF．

因為AF=AB，AD⊥BC，所以BD=DF.所以CF=BF-BC=2BD-2BE=2（BD-BE）=2DE.所以AB2-AC2=2BC?DE．

圖7例5 如圖7，已知：△ABC中，D在BC上，AB2-AC2=BD2-DC2.求證：AD是△ABC的高．

證明 作AE=AC，交BD于點E，由推論得AB2-AE2=BE?BC，即AB2-AC2=BE?BC．

因為AB2-AC2=BD2-DC2，所以BE?BC=BD2-DC2=（BD+DC）（BD-DC）=BC（BD-DC）.所以BE=BD-DC.而BE=BD-ED，所以ED=DC.又因為AE=AC，所以AD⊥EC.所以AD是△ABC的高．

注 此題也可利用性質構造等腰三角形求證．

作者簡介:鄧文忠，男，1974年出生，中學一級教師，縣級名師，主要研究解題教學和數學競賽，發表論文20多篇.

打破常規，整體求值

——一道填空題引發的思考

甘肅省武威第十中學 733000 陳國玉

1 問題的來源

期末復習中，模擬試卷中有這樣一道填空題：已知方程組x+2y=3

2x+y=6，則x＋y= ，x－y= .我問同學們是如何解答的，同學們都說是通過解方程組，先求出方程組的解x=3

y=0，再代入求x＋y和x－y中求值.我問不解方程組，可以直接求出結果嗎？同學們先是一怔，再仔細觀察方程組中各個未知數的系數，恍然大悟：將兩個方程相加，可得3x＋3y=9，方程兩邊都除以3可得x＋y=3；將第二個方程減去第一個方程可得x－y=3.同學們的興趣突然被激起，課堂氛圍一下子活躍了，不禁為這種解法喝彩、叫好，有些同學還躍躍欲試．

課后我深思：能否將一般形式的二元一次方程組，不解方程組，通過上述方法，得到x＋y或x－y的值呢？

2 問題的解決

例1 已知方程組3x-5y=6

2x+3y=8 ，求x＋y和x－y的值．

顯然，將原方程組中的兩個方程直接相加（或相減），不可能得到（x＋y）或（x－y）的整數倍，也就得不到x＋y或x－y值．

起初，我想在原方程組中的一個方程（或兩個方程）中乘以一個適當的數，然而通過相加（或相減）這兩個方程來達到目的，但是，這個“適當”的數又如何確定呢？

后來我是這樣想的：將這個方程組中的兩個未知數的和（或差）看成一個整體，在原方程組中，“拼湊”出這個整體，通過解方程組求出這個整體的值．

下面就以上例說說這種“拼湊整體法”．

解 將原方程組變形，

得3(x+y)-8y=6 ①

2(x+y)+y=8 ②

由②×8得， 16（x＋y）＋8y=64. ③

由③＋①得，19（x＋y）=70，所以x＋y=7019．

將原方程組變形，得3(x-y)-2y=6 ①

2(x-y)+5y=8 ②

由①×5＋②×2得， 19（x－y）=46，所以x－y=4619．

3 拓展應用

3.1 利用這種“拼湊整體法”解決方程組中的一些求值題

例2 已知關于x、y的方程組3x+2y=5a

4x-3y=2 的解滿足x＋y=4，求a的值．

分析 將原方程組的兩個方程“拼湊”出“x＋y”這個整體，通過解這個方程組求出“x＋y”這個整體的值，然后再利用已知的“x＋y”的值構造方程，解之即可．

解 將原方程組變形為

3(x+y)-y=5a ①

4(x+y)-7y=2 ②

由①×7得， 21（x＋y）－7y=35a. ③

由③－②得，17（x＋y）=35a－2. ④

把x＋y=4代入④，得17×4=35a－2，解得a=2．

例3 已知關于x、y的方程組x+2y=k

3x+5y=k-1 的解x、y的差是7，求k2－2k＋1的值．

分析 將原方程組的兩個方程“拼湊”出“x－y”這個整體，通過解這個方程組求出“x－y”這個整體的值，然后再利用已知的x－y=7的值構造方程，求出k的值代入即可．

解 將原方程組變形為

(x-y)+3y=k ①

3(x-y)+8y=k-1 ②

由①×8得， 8（x－y）－24y=8k. ③

由②×3得，9（x－y）＋24y=3k－3. ④

由④－③得，x－y=－5k－3. ⑤

把x－y=7代入⑤得，7=－5k－3，解得k=－2．

把k=－2代入k2－2k＋1中得，原式=（－2）2－2×（－2）＋1=9．

3.2 解決不等式組中待定字母的取值范圍

例4 若方程組3x-2y=m+2

2x+y=m-5的解滿足－1＜x＋y＜1，求m的取值范圍．

分析 用“拼湊整體法”求出x＋y值，然后建立不等式組，解之即可．

解 將原方程組進行變形得，

3(x+y)-5y=m+2 ①

2(x+y)-y=m-5 ②

由②×5－①得，7（x＋y）=4m－27，所以x＋y=4m-277．

因為－1＜x＋y＜1，所以4m-277>-1

4m-277<1 解得5

例5 已知方程組5x+2y=2

4x-7y=a-3的解為x、y，當a為何值時，x＞y？

分析 用“拼湊整體法”求出x－y值，將x＞y變形為x－y＞0，然后建立不等式，解之即可．

解 將原方程組變形為

5(x-y)+7y=2 ①

4(x-y)-3y=a-3 ②

由①×3＋②×7得，43（x－y）=7a－15，解得x－y=7a-1543．

因為x＞y，所以x－y＞0，所以7a-1543>0，解得a>157．

通過對以上題目的思考，首先有利于培養學生的發散思維，有利于提高學生的解題能力和解題技巧；其次還可以說明這樣一個道理：數學是一種別具匠心的藝術，數學的奧秘是無窮無盡的，這需要我們去留心觀察，去探索，才能開發人的思維，啟迪人的智慧．

作者簡介：陳國玉，男，甘肅武威人，1966年生，大學本科學歷，中學高級教師.武威市涼州區骨干教師、“教學能手“、“教科研先進個人”，多次榮獲學校“優秀教師”、“優秀班主任”稱號.發表30多篇論文，有幾百篇輔導學生的文章在多家數學類報紙上刊登.