初中數學問題情境的層次分類及教學

新課程實施以來，一些教師為強化應用意識及價值觀的培養，常常剛講完新知識，便急于將各類應用題壓向學生.由于學生解題技能未能達到相應的水平而無力解答，教師只好返回相關層面進行講訓，或者教師自己解答，導致解題教學走彎路.筆者認為，解題教學應構建階段性培養目標，由淺入深分層進行.本文探討數學新課程各教學情境中分層訓練學生解決問題的技能的有效途徑.

1 數學問題情境的層次分類

數學教學中，數學問題可依情境的來源劃分為三種類型.

（1）基本型問題情境，是以改造后的生活事例作為問題的背景.

（2）生成型問題情境，是以學習或實踐活動過程作為問題背景.

（3）描述型問題情境，是以生活原形作為問題背景.

上述三種問題中，基本型問題因源于教材，具有典型性和基礎性，所以學生可直接運用所學知識和經驗，解決之；生成型問題是活動中自然生成的，需向基本型問題轉化后，才能解答；而對于描述型問題，解題者需詮釋問題語句，聯想或體驗問題的真實情境（進入類似生成型問題情境），再轉成基本型問題解決.

從認知角度來看，基本型問題解答主要經歷數學知識的鞏固及形式化推理的運算過程，生成型問題解答主要經歷數學知識深化及數學建模的過程，描述型問題解答主要經歷數學知識在復雜情境中遷移和應用的過程.這“廣義知識學習的三個階段”與課標教材的結構相吻合的.目前，一些教材“問題情境——建立模型——解釋與應用”摸式展示數學知識，筆者認為這旨在使數學知識返璞歸真，增強知識的意義與學生的數學化意識，且為向以后的問題情境的過渡作輔墊.不是要求初始就以描述型問題為主進行訓練，因為此時教材中大多習題還處于以基本型問題為主的層面.實踐表明，違反上述基本程序，是導致應用題解題教學困難的主要原因.

上述程序并非嚴格的教學公式.教材中，三種問題情境沒有明顯的分界線，往往交錯出現.教學時，要本著宏觀遵循基本程序，微觀靈活調整的原則，使三個環節的教學融會貫通.

2 三類問題教學的操作要點

2.1 基本型問題的教學

該環節主要對應教學中的“新知識的獲得”和“知識的鞏固與轉化”階段.教學目標是針對后續層面的教學需要，訓練學生的基本解題技能.

（1）解題教學與詮釋技能

讀題訓練中要重視實現三個目標：矯正學生“粗略瀏覽題目就急于解題”的習慣；訓練學生以自己的語言表述題意的技能；訓練學生將題意直譯成文字與數字及符號混合表達形式的技能.這些是閱讀描述型問題及將問題連續化簡的基礎.

例1 （浙教版七年級下冊P78）“雞兔同籠”是我國古代數學名著《孫子算經》上的一道題.今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雞兔各幾何？

分析 首先讓學生用自己的語意表達題意，整體把握題中的數量關系；然后讓學生分解題意，將題中的條件直譯成以文字與符號結合表達的形式：①雞只數+兔只數=35；②雞腿數+兔腿數=94.

（2）訓練聯想技能

聯想技能差的學生面對問題時，不善于從已知信息入手檢索相關知識，常常由于未聯想到解題必須的知識，未形成對問題的結構化表達而找不出答案.教師要注意引導學生學會以數學概念、規則等中介鏈接問題信息與大腦中的知識信息，以此促進學生形成聯想技能.如例1，通過引導學生以“雞只數×2=雞腿總數，兔只數×4=兔腿總數”為中介聯想，挖掘隱含的結構關系.能使學生在直譯的基礎上將問題轉成暗示解題路徑的結構化狀態：①雞只數+兔只數= 35；②2×雞只數+4×兔只數=94.

（3）培養建構解題計劃，形成解題策略

為分散后續訓練時“數學建模”及“分析”的難點，該環節要著重強調兩方面的訓練：首先使學生克服無計劃盲目嘗試的習慣，形成擬定初始的解題計劃和策略；其次引導學生依初始計劃分析嘗試，適時調整計劃及策略，探索可行性解題路徑，培養探究能力.如例1，教師可先引導學生回憶以往的解題經驗及策略，使學生萌生“列方程解題”的構想，而后指導學生設雞x只，通過反復嘗試探索，將問題符號化，列出方程.

（4）反思與延伸，積累解題經驗

許多學生有“得出問題的答案就萬事大吉”的通病.教師要引導學生反思解題失誤及精彩之處，總結交流解題經驗，培養學生的創造力和自主探究的意識.同時實施變式訓練，促進形成解題策略系統.如例1，通過解題后的反思與變式練習，學生會得出多種列法，并概括出列方程的共性規律和技巧，為今后解答復雜情境的應用問題奠定基礎.

2.2 生成型問題的教學

繼基本型問題情境為主體的解題訓練之后，可進入以生成型問題為主體情境的訓練環節.該層面主要對應教學中的“知識的鞏固與轉化”及“知識的遷移與應用”階段.教學形式是數學實踐活動，教學目標是使學生學會在生活情境中自主抽象出數學內容，培養創造性解決問題的能力，可分三個層面進行.

（1）在活動中使數學認知與生活情境融合，培養創造意識

①生成問題情境.教師可通過校外實踐課或校內活動課提出蘊含數學內容的問題，或引導學生在活動過程中形成蘊含數學內容的問題，生成問題情境.

例2 “翻牌游戲”的教學.桌子上有7張正面向上的撲克牌，每次翻動其中任意2張（包括已翻過的牌），使它們從一面向上變為另一面向上，這樣一直做下去，能否使所有牌反面向上？

②在活動中體驗問題，進行創造性思維.通過指導學生動手操作，使學生在活動過程中感受實際問題中的條件、解題目標和解決問題的程序等相關內容；通過活動中自然運用相關數學知識，使創造性思維融入活動情境.

③語意表達，強化體驗.如學生甲表述做法：每翻一次反面向上牌的張數變化有三種可能：第一種增加2張，第二種減少2張，第三種不變.這三種情況變化的張數是偶數，7是奇數，奇數加上或減去偶數的結果仍是奇數，所以是不可能.通過語言表述活動的過程，能使問題及相關數學信息清晰化，使語言表達的知識與活動情境融為一體.

（2）提煉出問題中的數學內容，轉成基本型問題.訓練抽象轉化的技能和知識遷移能力

該環節要引導學生從問題中提煉出實質條件及聯系，舍去其非實質性內容，簡化對問題的描述，將問題進一步數學化，進入基本型問題情境.

① 啟迪學生從情境中提煉出數學內容，訓練抽象概括能力.如例2，學生初始往往是憑借粗淺的數學知識及直觀感覺作出判斷，沒有將問題進行“數學構建”.此時，教師可提示：“如果只給3張牌，你會解決問題嗎？如果每張牌的正面寫上 “+1”，反面寫上“-1”，那么你又會發現什么呢？”這樣可誘發學生對相關數學知識的聯想，提煉出數學內容.

② 讓學生用數學形式化語言表達問題，使心理進入基本型問題情境，如上述甲生用奇偶知識進行解決.同學乙經過老師的啟發發現正面寫上“+1”，反面寫上“-1”，則該問題就變成了“把7個‘+1’每次改變其中2個符號，若干次后能否都變成“-1”？

(3)解答基本型問題

若在上述同學乙的方法中，每次翻2張，向上一面乘積不變（結果都是“+1”），所以不能7張牌反面向上.通過成功地解答基本型問題，培養學生的自信心、挑戰意識和對數學問題的興趣.

2.3 描述型問題的教學

該層面主要對應教學中“知識的遷移和應用”階段.教學目標是：進一步提高閱讀理解，語句轉換，抽象概括等能力，進一步培養學生運用“轉化”等策略解決問題的能力.

例3 （2008年北京市）京津城際鐵路將于2008年8月1日開通運行，預計高速列車在北京、天津間單程直達運行時間為半小時.某次試車時，試驗列車由北京到天津的行駛時間比預計時間多用了6分鐘，由天津返回北京的行駛時間與預計時間相同.如果這次試車時，由天津返回北京比去天津時平均每小時多行駛40千米，那么這次試車時由北京到天津的平均速度是每小時多少千米？

（1）詮釋語句，從整體到局部表述題意，訓練閱讀理解能力.

描述型問題一般描述的實際生活中的事情或情節，語句表述相對復雜.學生讀不懂題，或者只是記住離散的信息而不能整體窺視問題的實質含意，是教學中常見的現象.教師要注意引導學生從整體到局部反復讀題，詮釋語句，將描述問題的語言轉換為自己心中的語言，以自己的理解整體表達題意.如例3，可引導學生反復逐句詮釋問題語句，前后聯系起來認識“試驗列車”事件，訓練閱讀理解能力.

（2）連續化簡，分層轉成基本型問題，訓練抽象概括和轉化等能力.

教師引導學生運用轉化的策略從復雜的問題敘述中找出反映問題本質的語句，舍其非本質的語句，將問題語句連續化簡，向基本型問題等價轉化.要注意三個化簡層面的訓練：①簡化問題語言敘述；②用問題語句直譯與符號結合形式表述問題；③將問題符號化.例3可使學生經歷如下化簡訓練過程.

化簡1（語句描述簡化）：京津城際鐵路預計高速列車在北京、天津間單程直達運行時間為半小時，某次試驗列車北京到天津的行駛時間比預計時間多用6分鐘，返回時間與預計時間相同.如果這次試車，天津返回北京比去天津平均每小時多行駛40千米，那么這次試車時北京到天津的速度是多少？

化簡2（典型化）：預計京津城際鐵路單程用時為半小時，某次試驗列車由北京到天津的行駛時間為36分鐘，返回用時為半小時.如果這次試車時，返回速度比去時每小時多行駛40千米，那么這次試車時北京到天津的速度是多少？

此時已進入基本化問題情境，可用解答基本型的方法解決問題.

教學實踐表明，隨著上述分層螺旋式訓練，三類問題會在學生大腦中逐漸融合，差別會逐步減小，學生會慢慢適應各種問題情境，自然形成綜合性解題系統，提高學生分析、解決問題的能力和創造能力.