對初中階段尺規作圖教學的反思和建議

尺規作圖，顧名思義，是指用沒有刻度的直尺和圓規作圖，它起源于古希臘的數學課題.尺規作圖只準使用圓規和直尺有限次，歷史上關于尺規作圖的著名問題較多，例如，“三等分角”、“立方倍積”、“化圓為方”和“高斯與尺規作十七邊形”等等．

筆者作為青年教師在聽課的過程中，不時觀摩到教師講授有關尺規作圖的內容，對于尺規作圖，執教的老師各有標準，課后就該內容與老師們的交流中，發現不少教師認為初中階段涉及尺規作圖的類型較少；同時，由于《全日制義務教育數學課程標準（實驗稿）》（以下簡稱《課標》）中對所要掌握的尺規作圖的類型和要求比以往教學大綱有所減少，特別是在中考復習階段，教師教學中對該內容的處理“方法單一”或者干脆匆匆帶過，學生只要掌握或者就是記住基本的操作方法即可，對尺規作圖在教學中的作用認識不足，這個現象引起筆者的思考.尺規作圖在現今的初中階段教學中可作如何調整？調整意義在哪里？在此和大家做個探討，談一點自己的反思和建議．

1 應鼓勵學生尺規作圖方法多樣化

尺規作圖教學，特別是在復習階段，對作圖方法的復習只是將書本上的作圖過程簡單“過一遍”，學生只需理解這一方法的由來甚至就只是記住即可.其實，方法的多樣意味著考慮問題的出發點的不同，所涉及的知識的也就不同.方法的不同需要學生自己動手操作，觀察、大膽猜想、構思出不同于已有解決問題的畫法.在構思畫法的過程中，學生運用所學知識對該畫法進行必要的證明.在中考復習階段，課程內容已講授完畢，教師通過對尺規作圖問題方法的多樣化，可使學生充分聯系前后所學知識，并使知識得以“內化”，理解更全面和深入．

案例1 已知線段AB，作出該線段的中垂線．

教學中普遍采用分別以A、B為圓心，以大于AB2的長度為半徑畫圓，則此兩圓的交點分別位于線段AB的上下兩側，過這兩點作直線即為該線段的中垂線，如圖1所示.

圖1上述作法的原理在八年級即已知曉，但在中考復習階段，教師不僅只是幫助學生復習原有作圖方法的由來，還可引導學生分析原有作法，對原有作圖的原理進行新的認識，從而利用前后知識間的聯系，突破成法.教學中在復習處理上述案例1的問題時可以向學生提出是否可以只作出C點即可？這樣可引導學生通過發現△ABC為等腰三角形，利用等腰三角形“三線合一”的性質，作出∠C的角平分線，即可知道該角平分線垂直且平分線段AB.在此過程中，教師幫助學生從已有的思維定勢中跳出；同時，也在一定程度上展示怎樣從已解決問題的基礎上“提出問題”，培養學生“問題意識”．

2 教學中對尺規作圖的重視還應加強

尺規作圖是問題解決的不可分割的一部分.筆者參加一堂九年級關于三角形全等判定的復習課聽課過程中發現，該班（該班相當部分學生學習能力偏低）相當部分同學無法確定為什么“SSA”不能作為三角形全等判定的準則，不少同學甚至認為“SSA”可以作為三角形全等的判定準則，課后詢問為什么不確定，同學反映教師對這個問題解釋過為什么，要求記住，雖然給出相應的解釋，但他們理解起來有困難，因而難免有類似錯誤在做題中出現.同時，一些關于幾何命題（命題為真）的逆命題是否為真往往不易判斷．

在幾何教學中，針對某些這樣的問題，用尺規作圖很容易構造反例，而且論證直觀，思路清晰，具有很強的說明力．

案例2 “SSA”不能作為三角形全等的判定準則．

如圖2，在直線a上，作∠A，固定AB長度.以B點為圓心作圓弧，在a上可以有兩個交點C和D，這樣得到的兩個三角形△ABC和△ABD有兩邊相等（AB=AB，BC=BD）和一個公共角（∠A），但顯然這兩個三角形不全等．

圖2同時，應利用尺規作圖對上述問題進一步深入（最好是學生發現，如果沒有，則教師應引導學生將此問題解決.）.由于此處作出的∠A為銳角，那么是否∠A為直角或者鈍角時“SSA”也不成立？筆者在同不少同學的交流中發現，絕大部分同學能清楚的知道在∠A為直角時，“SSA”是成立的（在中考復習階段，最好由學生說明理由），但對于∠A為鈍角，則相當多同學認為不行，其實如圖2，在∠A是鈍角的時候，對邊BC是最大邊，不可能有另外的解，即在∠A是鈍角的時候，“SSA”依然成立．

案例3 直角三角形斜邊上的中線等于其斜邊的一半，逆命題不真．

上述案例來自筆者所任教的一個九年級班級，筆者在復習關于“直角三角形斜邊上的中線等于其斜邊的一半”的內容時，向全班同學提出“假如一個直角三角形ABC，∠BAC=90°，E是BC上一點，且AE=BC2，那么AE是否為BC邊上的中線？”

一開始，大部分同學均認為上述命題是成立的，因為可用“同一法”說明這個問題，如圖3所示，AD是BC邊上的中線，AD=BC2，由于已知AE=BC2，所以自然有AD=AE，即E與D重合（圖3）.這時筆者提出該問題同學們的做法可能有不嚴密的地方，如圖4，三角形EDA可能是等腰三角形．

圖3 圖4事實上，上述問題完全可以利用尺規作圖加以解決和探究，我們以D為圓心，AD為半徑畫一個圓，由AD=BC2可知BC正好為所畫圓的直徑.如圖5，再以A點為圓心，AD長為半徑畫圓弧，圓弧與BC相交于點E，此時AE=AD=BC2，這樣也就直觀和明了地發現了上述命題的逆命題是假命題．

圖5更進一步深入，借助尺規作圖（圖5），我們可引導學生直觀發現上述逆命題要成立的條件是什么（發現∠ABC和∠ACB的角度大小關系或者邊AB和邊AC長度關系是決定逆命題是否成立的關鍵，這樣就對“大角對大邊”的認識更加直觀和深入），問題得以延伸和拓展．

3 教材中尺規作圖的基本類型偏少

按照《課標》所倡導的理念，教學中應強調讓學生自己動手，通過翻折、度量、拼湊、類比等方法進行幾何操作，那么，尺規作圖正是包含這樣的活動.實際教學中，尺規作圖是一種“問題情境”的創設，即在某種問題條件下，由學生自己動手解決問題.學生能作出一張符合要求的圖形，即使該圖形較簡單，也是一種具有挑戰性和創造性的活動，在這個活動中，學生探索運用知識，構思作圖方法，對所學知識進行直觀理解，興趣和創新精神得以培養.在幾何教學中強調“觀察、操作、推理”的今天，尺規作圖的基本類型偏少.

案例4 給定兩條相交直線和其中一條上的一個點P，用直尺和圓規作一個圓與兩條直線都相切，并以P為一個切點［1］．

圖6筆者曾將案例４中的問題請工作所在學校的九年級部分學生試做，結果發現絕大部分試做的同學都能構思出解決問題的辦法：如圖6，作出∠BAP的角平分線AD，利用切線的性質，角平分線AD上某點即為圓心.找到該點，以該點為圓心，以該點和點P兩點距離為半徑畫圓即可.但接下來在如何確定圓心所在位置，即過點P作直線AP的垂線與角平分線AD相交時，學生們的做法出現較大差異，歸納起來，可分為以下幾種典型方法：

作法1：直接利用直角三角板的刻度線與邊沿的垂直關系畫出垂線．

作法2：直接利用直角三角板的直角畫出垂線．

作法3：直接利用量角器畫出垂線．

以上三種作法中，第一種是不規范的操作方法；作法2與作法3是《課標》對垂線的畫法要求.實際上此題的尺規作法屬于“過直線上一點作直線的垂線”，該作法在以前的《教學大綱》上有，現在《課標》已刪除.刪去了基本作圖類型里的“過直線上一點作直線的垂線”除了造成初中階段尺規作圖題的不純粹，也使教學中失去了培養學生動手操作，在操作中運用所學知識，加深對知識的理解和掌握的過程．

筆者對其中部分同學加以適當點撥后（利用畫線段中垂線的方法或者等腰三角形的“三線合一”性質），這部分同學均能理解并迅速利用尺規畫出題目所要求的圓．

同時，還發現在案例4中有一個有趣的現象，即參加試做的同學在畫出類似圖6的示意圖時，相當多的同學只考慮到給∠BAP作角平分線AD（可能與平時的視覺習慣有關），忽視還有一種情況（圖7）.但當筆者請他們對圖6再仔細看看時，所有學生都能發現這個疏漏，這便是尺規作圖在教學中具有的直觀明了．

圖7案例5 給定一個△ABC，試用直尺和圓規作一平行于底邊BC的直線DE，將△ABC的面積分為兩部分，且SADE∶SDBCE=1∶3，如圖8所示．

圖8筆者將案例5中的題目請自己所在任教學校九年級部分同學試做，在試做過程中發現絕大部分同學在分析完題目的條件后都能準確知道DE為△ABC的中位線，但在作出這條中位線的過程發現試做此題的同學均是將邊AB和邊AC的中點D和E分別作出，然后連接DE．

但當筆者要求只用一個中點作出邊BC的平行線時，幾乎所有的同學均不能用尺規作出DE．

該作圖類型屬于現在《課標》中沒有的內容：“過一點作已知直線的平行線”.刪去這一條對教學并無多大影響，但這一條所涉及的作圖原理對初中階段，特別是八、九年級學生而言是比較容易接受的，在《課標》倡導教學應使學生“做中學”的理念下，刪去這一條使得學生失去一個通過自己動手和運用所學知識解決問題的機會，比較可惜．

事實上，案例4和案例5中作圖所涉及的基本原理是初中階段幾何知識中最基礎，也是最重要的知識，教師可利用這些基本原理，創設較豐富的“幾何問題情境”，學生運用這些基本知識，借助直尺和圓規，在作圖的學習活動中不斷思考問題，尋找問題解決的方法，正是一個觀察、操作、驗證的過程，這對于學生加深對這些知識的理解和培養嚴密的邏輯思維能力是有益的．

4 反思和建議

在尺規作圖問題上，以往的教學大綱同現在的《課標》相比，教學大綱對幾何作圖的要求很高，需要掌握的類型較多，包括“直線形”、“圓”、“比例線段”、“面積”四類.在圓的部分，有作“內接圓”、“外切圓”、“旁切圓”、“弓形”等；在比例線段中有“內分”、“外分”、“定比”等；面積部分要求作“和已知正方形等積的正方形”等.其中的大多數已經不符合我們現在教學的發展，需要刪減.但是，其中的第一類：關于直線形的作圖類型，即以下7條：

1.作一角等于已知角；

2.已知三邊或兩邊一夾角或兩角一夾邊作出三角形；

3.過已知點作已知直線的垂線；

4.過一點作已知直線的平行線；

5.平分一角；

6.作已知線段的垂直平分線；

7.分一線段為n等份.

上述7條卻是應該保留的，這7條，簡單、準確、實用、理性，是尺規作圖的精華所在，試想，如果學生都理解以上7條作圖步驟的由來，都能用圓規和直尺將其作出，那么對整個初中幾何知識的組成和結構就會有個清楚的認識［2］.有了這7條，本文案例中涉及的一些問題也就迎刃而解.實際教學中，這7條學生十分容易理解和接受，也便于操作.《標準》沒有1，3，4，卻要求5，6，這一點值得商榷．

同時，上述7條與圖形運動有密切的聯系.《課標》強調圖形的運動，包括平移、旋轉、對稱等變換，尺規作圖是實現圖形運動的極佳手段.從邏輯上看，尺規作圖作為圖形變換的一種手段是成立的［3］.比如，作一角等于已知角的操作中，先是用直尺作一條射線，再用圓規以已知角的頂點為端點，在已知角的一邊上畫弧截取一段線段，再在射線上截取線段，使其長度等于已知線段，其中截取的過程，實質是以射線端點為圓心，以已截取線段長為半徑畫弧，交射線于一點，其中射線的端點是所作的線段的一個端點，弧與射線的交點是線段的另一個端點.這里體現了線段的兩種“運動”，用圓規在射線上截取線段的長度，可以看作是平移，而畫弧的過程，實質是旋轉變換.再如，平分一個角，使用圓規直尺可以順利地作出來，且方法嚴謹縝密，這種基本的作圖方法，是學生掌握圖形對稱的直觀根據.

鑒于此，筆者認為在初中階段的幾何教學中可根據學生學習情況，創設問題情境，適時將以上7條中的某些部分引入教學，對已有的尺規作圖方法進行充實和完善.同時，在教學中可采用這樣的步驟：① 要求學生畫出草圖，假設圖形已作出；② 根據圖形分析畫法；③ 利用尺規嚴格操作并寫出作法；④ 對作法進行證明，某些作法來由盡可能要求學生“一法多證”.學生按照這樣的步驟進行作圖學習的過程，正是一個猜想、觀察、操作、驗證的過程，這一過程符合學生的認知特點，有助于學生養成嚴謹的學習習慣，培養嚴密的邏輯思維能力，也有利于激發學生的興趣和創造性．

參考文獻

［1］ A.H.Schoenfled. Mathematical Problem Solving. New York: Academic Press，1985.

［2］ 樂嗣康，崔雪芳，張奠宙.尺規作圖教學的現代意義［J］.中學數學月刊，2005，（12）．

［3］ 劉芳.對尺規作圖教學的三個思考［J］.中學數學雜志，2009，（10）．