數學綜合實踐課的設計與思考

在學習活動中，學生將綜合運用已有的知識經驗、活動經驗以及思維慣性經驗“綜合與實踐”是以問題為載體，以學生個體積極參與為主的學習活動，經歷實驗操作、類比歸納、探究猜想、驗證結論并運用結論解釋現實問題合理性的過程，實現累積活動經驗和獲取生命感悟的個性化目標，從而提升學生的問題意識、應用意識、創新意識以及解決現實問題的能力.它具有濃郁的趣味性、緩慢的過程性、多元的關聯性及多維的開放性等個性化色彩，基于趣味性，必須關注素材選取的匹配性；基于過程性，必須關注課堂容量的適切性；基于關聯性，必須關注問題設置的得體性；基于開放性，必須關注攝取方法的順應性．

本文提供的設計是筆者在聽了一節綜合實踐課的基礎上的一次再設計，并由此引發思考．

1 “綜合與實踐課”的設計示例

1.1 問題引動

在一塊長16m，寬12m的矩形荒地上，要建造一個四邊形花園，要求花園面積是荒地的面積的一半，且整體圖案成軸對稱圖形.請給出三種設計方案，并求出每種方案中花園的周長；

選材視點：挑選“在矩形荒地上建造符合特定條件的四邊形花園”作為實踐活動素材，使原本單調乏味的數學變得有聲有色，能喚醒學生探究的欲望，傾注人文關懷；同時，它又具有鋪路架橋的作用，使生活走向數學，數學依托于生活，顯得自然而然、水到渠成，沒有突兀之感，讓學生感受數學的親和力；它還具有降低學生心理預期難度的作用，源于數學來自身邊，自然生成一種諧和的安全心理，使數學不再可怕.沒有生活的參與，數學是冷色的、生硬的、刻板的和難以下咽的，往往會產生望而生畏的感覺，當我們把看不見、摸不著的數學賦予一定的生活色彩，感覺就相當的親近、自然，讓人產生欲發現、想探究、思創造的愿望．

1.2 問題展開

如圖1，四邊形ABCD是一塊不規則的四邊形荒地.問能否在此荒地上作出一個四邊形使其面積為四邊形ABCD荒地面積的12、13、15．

圖1立意視角：該模塊運行的目的是讓學生在直觀操作中感受數量關系的存在性，及時由感性認識上升到理性認識，由合情推理逐步邁向演繹推理的邊緣，為學生后續問題解決提供一種實質性的經驗支撐.作出面積為荒地的12的四邊形，預想大部分學生會作其中點四邊形，也有部分同學會找一組對邊中點構造符合條件的四邊形；作出面積為荒地的13的四邊形，一般同學能聯想到找一組對邊的三等分點，構造符合條件的四邊形(可能構造經過兩個等分點和兩個頂點的四邊形，也可能構造經過四個等分點的四邊形)，此時有部分同學僅憑感覺畫圖，未必能找到畫圖的理論依據；作出面積為荒地的15的四邊形，學生會依據不成熟的操作經驗，類比找一組對邊的五等分點，構造符合條件的四邊形，未必能解釋操作的合理性.正確感覺的產生不是從天而降，是感性認識的緩慢萌動和生長，有其合理性的一面，能轉化成理性思維的生長點.盡管不明不了，仍不失為一種成功，可以說是一種天然的不經意的留白，能延伸學生思維的時空．

1.3 問題解決

(2011 連云港市)某課題研究小組就圖形面積問題進行專題研究，他們發現如下結論：

(1)有一條邊對應相等的兩個三角形面積之比等于這條邊上的對應高之比；

(2)有一個角對應相等的兩個三角形面積之比等于夾這個角的兩邊乘積之比；

……

現請你繼續對下面問題進行探究，探究過程可直接應用上述結論.(S表示面積)

問題1：如圖2，現有一塊三角形紙板ABC，P1、P2三等分邊AB，R1、R2三等分邊AC．

經探究知S四邊形P1P2R2R1＝13S△ABC，請證明．

圖2 圖3問題2：若有另一塊三角形紙板，可將其與問題2中的拼合成四邊形ABCD，如圖3，Q1、Q2三等分邊DC.請探究S四邊形P1Q1Q2P2與S四邊形ABCD之間的數量關系．

問題3：如圖4，P1、P2、P3、P4五等分邊AB，Q1、Q2、Q3、Q4五等分邊DC.若

S四邊形ABCD＝1，求S四邊形P2Q2Q3P3．

圖4 圖5問題4：如圖5，P1、P2、P3四等分邊AB，Q1、Q2、Q3四等分邊DC，P1Q1、P2Q2、P3Q3將四邊形ABCD分成四個部分，面積分別為S1、S2、S3、S4.請直接寫出含有S1、S2、S3、S4的一個等式．

設計視角：本模塊與前面的兩個模塊有著唇齒相依的聯系以及“源”與“流”層面的區別.聯系體現在，它既是前操作活動中感性思維的延續，又是后續問題的算理和猜想的依托，是一種理性思維，還是前操作活動的合理性的一種高品質的解釋；區別在于，思維實驗已經由感性上升到理性的層面，實現由特殊到一般的歸納、加工與提煉并能實現個性化的猜想，達成經歷問題解決積淀活動知識經驗的目標，進而提升應答現實問題的能力.問題1解答指向明確，入口小，容易上手，只要利用相似三角形的性質即可獲取解題路徑；問題2可以通過連接Q1R1，Q2R2，利用結論(2)，可知SΔP1R1Q1=SΔP2R2Q2，再利用割補法，可以獲取問題解決方案，同時，使前面操作的合理性得到及時的解釋并提供理論支撐；問題3可以用問題2的結論，經歷一定的算理分析以及圖形的分離與整合即可解決(答案：S四邊形P2Q2Q3P3=15)；問題4既可以通過猜想獲得答案，也可以運用算理分析以及經驗借鑒達成正確猜想(答案：S1+S4=S2+S3)．

1.4 小結內化

以“本節實踐課”為話題，寫一篇學習隨想，可以是活動感受，可以是知識生長，可以是操作表現，可以是知識的再發現或再創造……追求真情實感!(優秀的作品將在校報“閃光的足跡”上發表)

設計理念：“綜合與實踐”的悟化與接納，不是同類問題的反復操練，也不是生成性結論的回歸，更不是問題延伸的再糾纏；而是整合零零散散、星星點點知識經驗并使其系統化、規范化，將新累積的活動經驗順利納入到已有的知識經驗體系，并在一定思維層面上轉化為挑戰現實問題的能力，而無縫對接的最好抓手莫過于學習隨想的撰寫，因為它承載著反思與再反思、想象和再想象、創造與再創造的功能．

2 “綜合與實踐課”的思考

2.1 綜合實踐的素材選取需要匹配性，基于濃郁的趣味性

綜合實踐復習課的預設與常態的理論課相差甚遠，不是例題、習題的堆砌，不是操作場景的連續刷新，不是五顏六色的問題背景，也不是模型的不斷變更(原設計中選擇了5種操作素材)，在短短的一節課內，僅理解素材，內化題意都難以完成，何況還要經歷操作探究的過程．

因此，在選材的匹配性方面是失缺的，這里的匹配性是指要和學生的興趣匹配、要和課時匹配、要和問題匹配、還要和學生現有的的思維層面匹配)……一般情況下，是生活化的同類操作素材(由于活動的主體是學生，必須關注學生的參與度，以及與同伴交流的程度.學生具體做了哪些事，表達了哪些觀點，處理了哪些問題，作了哪些再歸納和再創造……而這些視點都依賴于操作素材選取的匹配性和趣味性，只有匹配和有趣才能驚醒學生探究的感覺，也才能實現活動課承載的個性化功能)，在變式的視角下，不斷的經歷問題的細化、分離、整合、變換、展延等達成提出問題、生長問題、解決問題、提煉問題、解釋問題、再解決問題的過程，進而實質性的獲取解決某類問題的方法經驗，提升內在的問題意識和一定層面的數學素養.因此，實踐活動素材的選取需要匹配性，利于在短暫的課時內，讓學生汲取深刻的活動體驗，高效的悟化接納基本知識經驗以及在此基礎上衍生的真切的生命感悟.例如：本節課為學生選擇了畫四邊形花園和玩三角形紙板的操作素材，具有濃郁的生活氣息.不論是畫圖還是玩紙板，這都是孩子們的最愛，能夠驚醒學生的周身興趣和激起解決問題的強烈愿望.因為玩是孩子們的天性，凡是好玩的實物都會讓孩子們走向沉迷，到達“追蝴蝶”的境界；擁有了濃厚的興趣，為問題的順利解決創設了良好的開端.因此，活動素材的選擇一定要富有生趣，一定要和問題恰當匹配，能調動生命個體的非智力因素的輔助作用，實現活動目標的理想達成．

2.2 綜合實踐的課堂容量需要適切性，基于緩慢的過程性

綜合與實踐活動課的設置，使數學學習方式發生質的飛躍，經歷由“學數學”到“做數學”再到“玩數學”這一高品質發展過程.活動必須是一個過程而且又是一個極為緩慢的過程，需要耗時耗力，需要足夠的期待.不像語文那樣一目十行，不像外語那樣流暢婉轉，不像物理那樣加速行駛，不像化學那樣瞬時燃燒……含蓄、冷艷是天生的個性，總要經歷山重水復的困擾，才可見柳暗花明.因此，不論是新授課還是復習課都不可以追風于“大容量、快節奏、高密度”所謂奔跑式課堂，素材要聯襪(有利于學生閱讀、悟化題意、獲取有效信息以及節省時間)，問題要變式(一方面，有利于不同層面的學生都有“吃飽喝足”的機會；另一方面，可以引領學生的思維呈梯度生長，多方位獲得生命的感悟和累積活動經驗)，容量要適切(關注短暫的45分鐘能解決多少問題，能解決哪些問題，能走到哪些思維層面；更要關注給學生足夠的時空慢慢去說、慢慢去做、慢慢去質疑與批判、慢慢去悟化與接納).美國兒童給成人忠告的第一句話是：我的手很小，請不要往上面放太多的東西!因此，課堂容量一定要適切，沒有緩慢的操作過程，沒有適切的容量，活動只能是一種過場，無實質性的基本活動經驗的累積，畢竟教師的體驗和學優生的感受不能取代每一位學生的體驗與感受.例如：原設計中選擇了5個活動課題，短暫的1個課時內無法圓滿完成，縱使學生很優秀，結果依然如此.幾乎是4個壓軸題的堆砌，課堂容量嚴重超載，未操作足以讓學生望而卻步，即使通過內延外遷的方式也需要3個課時.因此，在定位適切的課堂容量方面是走失的，沒有關注活動過程的緩慢性，是傳統的標簽課設計模式．

本節課筆者重新設計了3個關聯的活動，同材同質.更多的關注學生的參與過程、承受能力、生命感悟，盡管容量不大、見識似乎單寒，但感受理應是真切的，知識生成應該是踏實的，累積的活動經驗也應該是豐富實在的；圓滿完成一個課題獲得的數學內在素養遠遠超過走馬觀花式的滑過5個課題，因為每個學生只有真的都做了，才能達成活動的個性化目標.因此，課堂容量要適切，這里的適切指切合課時、切合學生的思維現實、切合學生知識的發展區、切合學生的數學能力．

2.3 綜合實踐的問題設置需要得體性，基于多元的關聯性

《義務教育數學課程標準(2011年版)》提出“四基”，其中“基本活動經驗”作為一項新目標，學生從事數學與綜合實踐活動的過程也漸趨走進命題者視野，頗受命題者青睞.往往通過設計一個“做數學”或“玩數學”的活動，讓學生通過觀察、操作、實驗、歸納、類比等系列活動獲得數學猜想，尋求解釋猜想的合理性并運用提煉的結論解決現實問題，從而實現綜合實踐活動的考查功能．

基于此，一節課通常創設一個活動載體，多角度、全方位挖掘已選素材的潛力，實現各個問題的承載功能，因此，問題創設要具有得體性和關聯性，便于學生在活動過程中，汲取多層面的外在顯性知識(如學會某種運算、能畫出符合特定條件的圖形、獲得某種數量關系、獲得某種數學猜想……)和潛滋暗長的多元生命感悟以及起著統領全局作用的內隱知識(主要指數學思想方法，這里指數形結合思想和轉化思想).同時得體性和關聯性還指問題設置由淺入深，呈梯度推進，便于學生的思維夠得著、可實驗，前面的問題為后續思維提供必備的基礎，待猜想問題一旦得到驗證，并可解釋前問題操作的合理性.例如：本節課給學生提供了在矩形荒地上建造四邊形花園的作圖問題和拼三角形紙板在等分點的參與下探究四邊形面積之間的數量關系問題，系列問題設置非常得體且相互關聯，得體指問題易操作和可操作，也指問題符合學生的思維生長線，還指問題呈坡度性，便于不同層面的學生獲取個性的知識、技能、經驗以及思想方法.具體體現在以下方面：第一個活動著眼于在規則圖形上畫出符合條件的四邊形，答案不唯一，幾乎每個同學都有能力順利作答；第二個活動立足于在不規則圖形上作出符合一定數量關系的四邊形，答案開放，大部分學生能夠給出確定或不確定答案，區分度不太明顯，但難度系數在提升；第三個活動的問題1是一種指向明確的演繹推理，是一種傳統題型，大部分學生都能在指向標的引領下給出證明，問題2是利用范式在割補法的參與下獲取問題猜想，應是本活動的核心，為后面問題的解決與再猜想提供了藍本，也為前面的畫圖作出合理的解釋.由此可見，幾個問題設置既得體又多角度關聯，也是綜合實踐問題設置的導向和示范．

2.4 綜合實踐的攝取方法需要順應性，基于多維的開放性

綜合實踐活動的攝取方法是有一定的指向，而指向信息的獲取依賴于課題的選擇.適合綜合實踐活動的課題，大致可歸為三類，其一是操作思考型(建立在實物模擬下的數學思考，這里改進后的課題就屬于操作思考型)；其二是實物驗證型(建立在實物直觀下的數學理解，原設計中的22訓練題的第1題就屬于實物驗證型)；其三是探索發現型(建立在思維實驗層面的數學猜想，原設計中的22訓練題的第2題就屬于探索發現型).三者是相輔相成關系，交互作用.在一次課題活動中不是單純的一類，而是相互參與，只是依問題有所側重而已.一個課題往往要經歷畫圖操作，尋找某種數量關系的存在性，驗證數量關系的合理性，這必然仰賴于思維實驗的參與，而獲得猜想又需要實物直觀下的數學理解．

因此，在活動過程中要依據問題靈活選擇攝取方法，體現運作手段順應個性問題.針對思維實驗可以從直觀入手、可以從算理分析入手，也可以從演繹推理入手，盡可能用多維方法，獲取待猜想的結論；針對問題或方法的開放性，要引領學生多角度嘗試，實現建構知識的優化方略以及經驗累積的簡捷性，進而實現綜合實踐活動展開的初衷，培養學生的問題意識和再創造能力，提升學生的數學素養和解決現實問題的能力，讓不同層面的學生獲取個性的生命感悟．

3 兩點隨想

第一，隨著中考選拔功能的漸趨增強，綜合與實踐活動的內涵逐步走進命題者視野，承載著選拔的功能.因為它是一個課題，一般由問題情境(直觀實物)、問題探究(問題解決)、拓展延伸(拓展應用)幾個板塊，要學生經歷觀察、操作、實驗、歸納、類比獲得數學猜想，驗證猜想，解釋現實問題，因此，能全方位考查學生的數學綜合素養，具有強烈的選拔功能.在平時的教學中不可以用量代質，不在于做多少題，而在于學生感受的深刻度，獲得的體驗是否真實到位，畢竟活動是一個過程，需要時間的支持和空間的承載，需要全體學生的積極參與，才能達成課堂的實效.由于綜合與實踐活動課是逸出的“旁支”，不被一線教師重視；隨著新課改理念的張揚，它會回歸應有的位置，走進教育者視界并得到應有的認可．

第二，綜合實踐是一種過程，“慢”是與生俱來的秉性.唯有慢才能讓操作過程步步留痕；唯有慢，才能讓猜想驗證踏踏實實；唯有慢，才能讓現實問題合理演繹；也只有慢才能讓學生真正積淀活動經驗，生長實實在在的生命感悟……慢不是為慢而慢，是為了不再重復，是為生成快的效果；只有先慢下來，才可能快起來，“磨刀不誤砍柴工”就是這個道理吧!相信“慢”將會被教育者接納，因為它能讓學生做得踏實，學得實在，能真正跟上、真正搞懂、真正生成，能讓教師獲得一定層面的解放感，期待“慢”能給綜合實踐課帶來新的生機和注入新的活力!