教材研讀拾穗:軸對稱圖形的對稱軸分布規(guī)律

我們?nèi)绻軌蛏钊氲绞挛锖同F(xiàn)象的本質(zhì)里，去體驗(yàn)“發(fā)現(xiàn)現(xiàn)象之間的出乎意料的相互聯(lián)系的那種驚奇的情感”（蘇霍姆林斯基語）.則這種驚奇的情感可以強(qiáng)化提出疑問的意識與對疑問的研究.現(xiàn)將作者在對初中數(shù)學(xué)教材研讀中，發(fā)現(xiàn)的軸對稱圖形的對稱軸分布規(guī)律及其一些應(yīng)用，整理成章句，以體驗(yàn)這種驚奇的情感．

1 軸對稱圖形中對稱軸分布的均勻性

觀察一個等邊三角形，你就會發(fā)現(xiàn)，它的三條對稱軸中，任一條對稱軸關(guān)于第二條對稱軸的軸對稱圖形是第三條對稱軸.對此屬性加以研究推廣，就可發(fā)現(xiàn)軸對稱圖形中對稱軸分布均勻的本質(zhì)．

1.1 對稱軸分布均勻定理

軸對稱圖形如果有兩條對稱軸.則其中的一條對稱軸關(guān)于另一條對稱軸的軸對稱直線，也是該軸對稱圖形的對稱軸．

圖1證明:如圖1.兩直線m1與m2是軸對稱圖形C的兩條對稱軸，直線m3是直線m1關(guān)于直線m2的軸對稱直線.欲證直線m3是軸對稱圖形C的對稱軸，只要證明軸對稱圖形C上任一點(diǎn)A1關(guān)于直線m3的軸對稱點(diǎn)A4，也是軸對稱圖形C上的點(diǎn)．

設(shè)點(diǎn)A1關(guān)于直線m2的軸對稱點(diǎn)為A2，點(diǎn)A2關(guān)于直線m1的軸對稱點(diǎn)為A3.不難證明點(diǎn)A3關(guān)于直線m2的軸對稱點(diǎn)為A4.而兩個點(diǎn)A2與A3都是軸對稱圖形C上的點(diǎn)，故點(diǎn)A4也是軸對稱圖形C上的點(diǎn).證畢．

當(dāng)然，以上定理證明過程中，也隱含兩條已知對稱軸平行時的情形.但當(dāng)一個軸對稱圖形C有兩條平行的對稱軸時，由以上定理，圖形C就會有無限多條彼此平行且等距離排列的對稱軸，使得在每條對稱軸兩側(cè)，圖形C向外延續(xù)．

圖2如圖2.圓心在同一條直線上，相鄰兩圓相切，半徑相等的在該直線向兩端排列著的無限多個圓構(gòu)成的平面圖形，就具有上述特征．

因此，只有有限多條對稱軸的軸對稱圖形中，任意兩條對稱軸必相交.事實(shí)上，這些對稱軸共點(diǎn)．

1.2 兩條對稱軸正交定理

軸對稱圖形如果只有兩條對稱軸m1與m2.則m1⊥m2．

證明:否則，如圖1.兩條對稱軸m1與m2相交，其夾角α<90°.由對稱軸分布均勻定理，該軸對稱圖形就有與原兩條對稱軸均不重合的第三條對稱軸m3.與題設(shè)矛盾.證畢．

1.3 相鄰對稱軸夾角恒等定理

軸對稱圖形如果只有N（N>1）條共點(diǎn)的對稱軸.則其中任意相鄰兩條對稱軸的夾角都為πN．

證明:如圖1.設(shè)軸對稱圖形C的任意相鄰兩條對稱軸m1與m2的夾角為α.則由對稱軸分布均勻定理，直線m1關(guān)于直線m2的軸對稱直線m3，是軸對稱圖形C的對稱軸.而兩直線m2與m3也是軸對稱圖形C的兩條相鄰對稱軸，且它們的夾角為α.即相鄰?qiáng)A角相等.所以，軸對稱圖形C的任意相鄰兩條對稱軸的夾角都為α=πN.證畢．

1.4 對稱軸正交性定理

軸對稱圖形如果只有偶數(shù)2N條共點(diǎn)的對稱軸.則對于其中的任意一條對稱軸，都存在著唯一的一條對稱軸與它互相垂直．

證明:設(shè)軸對稱圖形C的對稱軸為mn（n為整數(shù)，0

這樣，只有偶數(shù)2N條共點(diǎn)的對稱軸的軸對稱圖形中，互相垂直的對稱軸共有N對．

推論 軸對稱圖形如果只有奇數(shù)條共點(diǎn)的對稱軸.則其中任意兩條對稱軸都不會互相垂直（證略）．

1.5 三條對稱軸共點(diǎn)定理

軸對稱圖形如果只有三條對稱軸.則這三條對稱軸共點(diǎn)．

證明（反證法）:一個軸對稱圖形如果只有三條對稱軸，且這三條對稱軸不共點(diǎn).因?yàn)椋挥杏邢薅鄺l對稱軸的軸對稱圖形中，任意兩條對稱軸必相交.所以，這三條對稱軸兩兩相交于不共線的三點(diǎn)．

因此，由這三條對稱軸形成的三個夾角中必有一個小于90°.根據(jù)對稱軸分布均勻定理，其中必有一條對稱軸關(guān)于另一條對稱軸的軸對稱直線，是原軸對稱圖形的對稱軸，且這條對稱軸不會與原三條對稱軸中的任何一條對稱軸重合.故原軸對稱圖形就有與題設(shè)矛盾的第四條對稱軸.證畢．

一般地，如果將只有N條對稱軸的軸對稱圖形，稱之為N重軸對稱圖形.稱兩條對稱軸的交點(diǎn)為軸對稱圖形的重心.則有:

1.6 對稱軸共點(diǎn)定理（重心唯一定理）

N（N>1） 重軸對稱圖形的對稱軸共點(diǎn)．

圖3證明（反證法）:如圖3.一個軸對稱圖形C中，如果只有N（N>1）條對稱軸，且這N條對稱軸不共點(diǎn).設(shè)其中一條對稱軸為m1.則其余N-1條對稱軸都與m1相交.交點(diǎn)分別為A、A1、A2、……AN-3、B，且有兩點(diǎn)A與B不重合.不妨設(shè)這些交點(diǎn)都在線段AB上．

與直線m1分別相交于點(diǎn)A、B的兩條對稱軸n1 、m2中，必有一條對稱軸與m1不垂直.否則，圖形C就有兩條平行的對稱軸，使圖形C有無限多條對稱軸，而與題設(shè)矛盾.因此，不妨設(shè)n1與m1不垂直.即 n1與m1的夾角α<90°．

由對稱軸分布均勻定理， n1關(guān)于m1的軸對稱直線n2，也是軸對稱圖形C的對稱軸，且n1與n2不重合.設(shè)兩直線n1、n2與直線m2的交點(diǎn)分別為C與D.則△ACD的兩個內(nèi)角β、γ中必有一個小于90°.不妨設(shè)β<90°．

由對稱軸分布均勻定理， n1關(guān)于m2的軸對稱直線n3也是圖形C的對稱軸.設(shè)n3與m1的交點(diǎn)為E.則點(diǎn)E在線段AB外.因此，n3與原N條對稱軸各不重合.與題設(shè)矛盾.證畢．

1.7 軸對稱圖形旋轉(zhuǎn)定理

軸對稱圖形C如果有兩條相交于點(diǎn)O，夾角為α的對稱軸.則在同一平面上，圖形C繞著點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)2kα（k為整數(shù)）后的圖形C1與圖形C重合．

證明:只要證明k=1時，原命題成立即可．

圖4如圖4.兩直線m與n是軸對稱圖形C的兩條相交于點(diǎn)O，夾角為α的對稱軸.設(shè)圖形C上一個點(diǎn)為A，點(diǎn)A關(guān)于直線m的軸對稱點(diǎn)為B，點(diǎn)B關(guān)于直線n的軸對稱點(diǎn)為D．

因?yàn)椋螦OD=2α，OA=OB=OD.所以，在同一平面上，點(diǎn)A繞著點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)2α后的點(diǎn)亦為D.而兩點(diǎn)B與D均為圖形C上的點(diǎn)．

因此，將點(diǎn)D看成是圖形C上的任意一點(diǎn)，則點(diǎn)D是圖形C1上的點(diǎn).將點(diǎn)D看成是圖形C1上的任意一點(diǎn)， 則點(diǎn)D是圖形C上的點(diǎn).故兩圖形C1與C重合.證畢．

這樣，可以將軸對稱圖形C在以對稱軸交點(diǎn)為端點(diǎn)，交角為2α的兩條射線之間的部分，稱之為曲邊扇形．

假設(shè)軸對稱圖形C的對稱軸的條數(shù)有限，如果將角α看成是兩條相鄰對稱軸的夾角.這時，形成的以上曲邊扇形，在同一平面上，繞著對稱軸交點(diǎn)，分別旋轉(zhuǎn)2α、4α、6α、8α……，直到一周，就與自身重合.形成了圍繞對稱軸交點(diǎn)一周的有限個全等的曲邊扇形的組合.這個組合就構(gòu)成了軸對稱圖形C．

至此，我們似乎明白，本文所稱的軸對稱圖形中對稱軸分布的均勻性，主要是指相鄰對稱軸夾角恒等定理與對稱軸共點(diǎn)定理.但不可否認(rèn)的事實(shí)是這一均勻性的本質(zhì)仍是對稱軸分布均勻定理.因?yàn)椋乔皟蓚€定理得以證明的理論基礎(chǔ)．

2 對稱軸分布均勻性原理的一些應(yīng)用

根據(jù)軸對稱圖形中對稱軸分布均勻性原理，我們可以更新一些數(shù)學(xué)命題的證明方法，發(fā)現(xiàn)與研究相關(guān)的數(shù)學(xué)新問題.以下舉例說明．

例1 等邊三角形的三條中線共點(diǎn)．

證明 由于等邊三角形三條中線所在的直線都是等邊三角形的對稱軸，且等邊三角形只有這三條對稱軸.根據(jù)對稱軸共點(diǎn)定理，可得等邊三角形的三條中線共點(diǎn).證畢．

例2 （單項(xiàng)選擇題）一個軸對稱圖形中，如果有兩條對稱軸的夾角為30°.則該軸對稱圖形的對稱軸條數(shù)可以為……（ ）

A.5 B.6 C.7 D.8

說明 從出題者考慮，創(chuàng)作此題的關(guān)鍵是給出否定其余三項(xiàng)選擇支的理由.當(dāng)然，還是應(yīng)用相鄰對稱軸夾角恒等定理（答案:B）.

例3 當(dāng)且僅當(dāng)平面多邊形為正多邊形時，該平面多邊形是軸對稱圖形，且對稱軸條數(shù)等于它的邊數(shù)．

證明 當(dāng)平面多邊形是軸對稱圖形，且對稱軸條數(shù)等于它的邊數(shù)時，其對稱軸必經(jīng)過平面多邊形的頂點(diǎn)或邊上中點(diǎn)，且這些對稱軸共點(diǎn).由軸對稱圖形旋轉(zhuǎn)定理即可證得該平面多邊形為正多邊形.反之顯然.證畢．

綜上所述，作者認(rèn)為:數(shù)學(xué)的奇妙，不僅僅在于發(fā)現(xiàn)與揭示規(guī)律，也在于構(gòu)思與眾不同的推理過程——使你享受思考的樂趣!