三角形內外角關系的拓展與證明

結論：三角形的兩個內角的角平分線所成的鈍角=90°+12× 第三個角．

上面的結論是三角形兩內角的角平分線所形成的鈍角與三角形第三個內角的關系.由此大家不難通過聯想，也許還會提出下面的問題：三角形的兩個外角的角平分線所形成的銳角與第三個內角有什么關系呢？三角形的一個外角與不是由同一頂點出發的一個內角的平分線所形成的銳角與三角形的第三個角有什么關系呢？等等.下面我們分別予以探索與證明．

已知：如圖1，在△ABC中，∠BAC、∠ABC、∠ACB的角平分線AD、BE、CF相交于點O.求證：∠BOC=90°+12×∠BAC，∠AOC=90°+12×∠ABC，∠AOB=90°+12×∠ACB．

證明：因為BE、CF平分∠ABC、∠ACB，

所以∠1=12∠ABC，∠2=12∠ACB，

因為∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，∠OEC=∠1+∠BAC，

所以∠BOC=∠2+∠OEC=∠2+∠1+∠BAC=12（∠ABC+∠ACB）

+∠BAC=12（180°-∠BAC）+∠BAC=90°+12∠BAC．

同理可證：∠AOC=90°+12∠ABC，∠AOC=90°+12∠ACB．

拓展結論1：三角形的兩個外角的角平分線所成的銳角=90°-12×第三個角．

上述結論的證明過程請同學們仿上完成．

圖1 圖2應用舉例:已知如圖2，在△ABC中，∠EBC、∠FCB為△ABC的兩個外角，BD、CD為∠EBC、∠FCB的角平分線，若∠A=80°，則∠BDC= .（答案：50°）

拓展結論2：三角形的一個內角的角平分線與三角形的另一個外角的角平分線所成的銳角=12×第三個角．

圖3已知：如圖3，在△ABC中∠ABC的角平分線BD與∠ACE的角平分線CD相交于一點D.求證：∠BDC=12∠A．

證法1：設∠ACD=x，根據三角形內角和定理的推論2，得∠DBC=∠DBA=x-∠BDC．

因為∠ACE=∠A+∠ABC，

所以2x=∠A+2∠DBC=∠A+2（x-∠BDC），

所以∠A=2∠BDC，所以∠BDC=12∠A．

證法2：過點C作∠ACB的平分線CF交BD于點O．

因為BD平分∠ABC，CF平分∠ACB，交點為O.則據上述結論易知

∠BOC=90°+12∠A. ①

又因為CD平分∠ACE，CF平分∠ACB，則根據互為鄰補角的角平分線相互垂直可知∠OCD=90°.因為∠BOC是△ODC的外角，

所以∠BOC=90°+∠BDC. ②

由①②得∠BDC=12∠A．

圖4上面討論的是角的平分問題，如果涉及三等分角結論又將如何呢？下面我們一起來探索一下．

已知：如圖4所示，BD、BE與CD、CE分別是∠ABC、∠ACB的三等分線，那么∠BDC、∠BEC與∠A之間有什么關系？ 簡解：延長BD交AC于F．

因為BD、BE與CD、CE分別是∠ABC、∠ACB的三等分線，

所以∠BDC=∠ACD+∠ABF+∠A=23（∠ACB+∠ABC）+∠A=23×180°+13∠A．

同理可得：∠BEC=13∠ACC+13∠ABC+∠A=13×180°+23∠A．

如果大家有興趣的話不妨探討一下四等分角，…，n等分角有沒有規律可尋呢？也許通過探索，你會有重大發現呢!