例談“等腰三角形”問題中建立方程的幾條途徑

在“等腰三角形”問題中一般都要建立方程來解決問題.下面舉例說明建立方程的幾條途徑：

途徑一：直接利用兩腰相等建立方程

圖1例1 如圖1，已知拋物線y=ax2+4a+34x+3與x軸的負半軸相交于點A、B，與y軸相交于點C，當△ABC是等腰三角形時，求拋物線的解析式．

解 由題意得：A（-34a，0），B（-4，0），C（0，3）．

因為△ABC是等腰三角形，所以分三種情況討論：

①當CA=CB時，不存在．

②當AB=AC時，拋物線的解析式為：y=67x2+11728x+3．

③當BA=BC時，得-4+34a=5，解得a=112．

所以拋物線的解析式為：y=112x2+1312x+3．

所以當△ABC是等腰三角形時，拋物線的解析式為y=112x2+1312x+3或y=67x2+11728x+3 ．

評注 因為在Rt△BCO中，根據勾股定理可求出“斜向”線段BC的長，而線段BA又可用字母a的代數式表示，所以可以由“等腰”即BA=BC直接建立關于a的方程，從而求出a的值，進而求出拋物線的解析式．

途徑二：利用“等邊對等角”和“等角對等邊”建立方

程

圖2例2 如圖2，已知點O是等邊△ABC內一點，∠AOB=110°，∠BOC=α，將△BOC繞點C按順時針方向旋轉60°得△ADC，連接OD．

（1）△COD是等邊三角形嗎？為什么？

（2）當α=150°時，試判斷△AOD的形狀，并說明理由．

（3）探究：當α為多少度時，△AOD是等腰三角形？簡述你的理由．

解 （1）△COD是等邊三角形.理由略．

（2）△AOD是直角三角形.理由略．

（3）由題意得∠ADO=α-60°，∠AOD=360°-110°-60°-α=190°-α.根據“三角形內角和等于180°”得∠OAD=180°-(190°-α)-(α-60°)=50°．

因為△AOD是等腰三角形，所以分三種情況討論：

①當AO=AD時，得∠AOD=∠ADO．

所以190°-α=α-60°.解得α=125°．

②當OA=OD時，得∠ODA=∠OAD．

所以α-60°=50°.解得α=110°．

③當DA=DO時，得∠DAO=∠DOA.所以190°-α=50°.解得α=140°．

所以當α=110°、125°、140°時，△AOD是等腰三角形．

評注 根據已知及可知條件和“三角形內角和等于180°”，可用字母α的代數式分別表示出△AOD的三個內角，然后利用“等邊對等角”建立關于α的方程，從而求出α的值．

圖3例3 將一塊三角板放在邊長為1的正方形ABCD上，并使它的直角頂點P在對角線上AC滑動，直角的一邊始終經過點B，另一邊與射線DC相交于點Q（圖3示），設A、P兩點間的距離為x．

（1）當點Q在邊CD上時，線段PQ與線段PB之間有怎樣的大小關系？試證明你所觀察得到的結論；

（2）當點Q在邊CD上時，設四邊形PBCQ的面積為y，求y與x之間的函數解析式，并寫出函數的取值范圍；

（3）當點P在線段AC上滑動時，△PQC是否可能成為等腰三角形？如果可能，指出所有能使△PQC成為等腰三角形的點Q的位置，并求出相應的x的值；如果不可能，試驗說明理由．

解 （1）PQ=PB.證明略．

（2）y=122-x2，0≤y≤1．

（3）△PQC可能成為等腰三角形.因為△PQC是等腰三角形，

所以分三種情況討論：

①當PQ=PC時，點Q與點C重合，所以x=22．

②當QP=QC時，點Q與點D重合，所以x=0．

③當CQ=CP時，得∠CQP=∠CPQ=22.5°.進而得∠ABP=∠APB=67.5°.所以x=AP=AB=1，CQ=2-1．

所以點Q的位置分別為與點C重合、與點D重合、CQ=2-1，相應的x值分別為22、0、1．

評注 因為題目給出的是有關邊的條件，所以當CP=CQ時，根據“等邊對等角”可得到∠CQP=∠CPQ=22.5°，還建立不了關于x的方程，只有再利用“等角對等邊”得到AP=AB時才建立了關于x的方程，從而求出x的值．

途徑三：利用“等腰三角形的‘三線合一’性”建立方程

例4 （2011孝感）如圖4，矩形ABCD的一邊BC在直角坐標系中x軸上，折疊邊AD，使點D落在x軸上的點F處，折痕為AE，連接OA，已知AB=8，AD=10，并設點B的坐標為（m，0），其中m＞0．

（1）求點E、F的坐標（用含m的式子表示）；

（2）若△OFA是等腰三角形，求m的值；

（3）如圖5，設拋物線y=a(x-m-6)2+h經過A、E兩點，其頂點為M.連接AM，若∠OAM=90°，求a、h、m的值．

圖4 圖5解 （1）E(m+10，3)，F(m+6，0)．

（2）因為△OFA是等腰三角形，所以要分三種情況討論：

①當OF=OA時，m=73．

②當FO=FA時，m=4．

③如圖4，當AO=AF時，得BO=BF=12OF.所以m=12(m+6).解得m=6.

所以當m=73、4、6時，△OFA是等腰三角形．（3）a=14，h=-1，m=12．

評注：直接用“斜向”線段AO、AF相等，利用勾股定理也可建立方程求出m的值，就是繁了點.不如根據“等腰三角形底邊上的高就是底邊上的中線”得到BO=12OF建立方程簡單．

途徑四：利用勾股定理建立方程

例5 （2009江蘇）如圖6，已知射線DE與x軸和y軸分別交于點D(3，0)和點E(0，4).動點C從點M(5，0)出發，以1個單位長度/秒的速度沿x軸向左作勻速運動，與此同時，動點P從點D出發，也以1個單位長度/秒的速度沿射線DE的方向作勻速運動.設運動時間為t秒．

（1）請用含t的代數式分別表示出點C與點P的坐標；

（2）以點C為圓心、12t個單位長度為半徑的⊙C與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），連接PA、PB．

①當⊙C與射線DE有公共點時，求t的取值范圍；

②當△PAB為等腰三角形時，求t的值．

圖6 圖7解 （1）C(5-t，0)，P3-35t，45t．

（2）①43≤t≤163．

②因為△PAB為等腰三角形，所以要分三種情況討論：

（ⅰ）當PA=PB時，t=5．

（ⅱ）當AP=AB時，t=43，t=203．

（ⅲ）如圖7，當BP=BA時，則BP2=BA2.根據勾股定理，得

GB2+PG2=BA2.所以(110t+2)2+45t2=t2．

解得t=4，t=-207（舍）.所以當t=43、4、5、203時，△PAB為等腰三角形．

評注：因為BP是“斜向”線段，所以要表示BP就要構造Rt△BGP.當BP=BA時，先要把它轉化為BP2=BA2，然后利用勾股定理建立關于t的方程，從而求出t的值．

途徑五：利用比例式建立方程

例6 （2009仙桃）如圖8，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，已知AD＝AB＝3，BC＝4，動點P從B點出發，沿線段BC向點C作勻速運動；動點Q從點D 出發，沿線段DA向點A作勻速運動.過Q點垂直于AD的射線交AC于點M，交BC于點N.P、Q兩點同時出發，速度都為每秒1個單位長度.當Q點運動到A點，P、Q兩點同時停止運動.設點Q運動的時間為t秒．

（1）求NC，MC的長（用t的代數式表示）；

（2）當t為何值時，四邊形PCDQ構成平行四邊形？

（3）是否存在某一時刻，使射線QN恰好將△ABC的面積和周長同時平分？若存在，求出此時t的值；若不存在，請說明理由；

（4）探究：t為何值時，△MCP為等腰三角形？

圖8解 （1）NC=t+1，MC=54(t+1)．

（2）t=2．

（3）不存在.理由略．

（4）因為△MCP為等腰三角形，所以要分三種情況討論：

①當MC=MP時，t=23．

②當CM=CP時，t=119．

③當PM=PC時，得FC=MF=12CM.進而有△CPF∽△CAB得CFCP=45.所以58t+14-t=45.解得t=10357．

所以當t=23、119、10357時，△MCP為等腰三角形．

評注 先由等腰三角形的“三線合一”性，得FC=FM.然后根據相似得比例式建立關于t的方程，從而求出t的值．