由微分算子L定義的單葉調和函數新子類

黃葉騰

（汕頭大學數學系，廣東 汕頭 515063）

0 引言

在一個單連通區域Ω上，一個連續復值函數f＝u＋iv稱為調和函數，如果它的實部和虛部都是實調和函數.在任意的單連通區域Ω內我們可以記：，其中h和g都是解析的.在區域Ω內，f是局部單葉和保向調和的當且僅當[1].在1984年，Clunie和Sheil-Small[1]引入了函數類SH與它的子類，并且還得到了一些系數估計.自從那以后便出現了很多關于單葉調和函數子類的文章，我們可以通過查找參考文獻[2-4]來了解這類調和映射的最新研究進展.在文獻[5]中，Jahangi證明了f是α星形單葉的，并且研究了單葉調和函數類，其中0≤α＜1.在文獻[6]中，作者利用L算子把上述函數類進行了推廣，他們引入了兩個單葉函數類：，其中 0≤α＜1，0≤≤1.在文獻[7]中，作者利用L算子定義了Goodman-R?nning-type單葉調和函數類G（Hα）.

受到上面文章的啟發，利用線性微分算子L，我們定義了兩個單葉調和函數類：GH（，α，ρ）與TG（H，α，ρ），并研究了它們的相關性質.另外，我們還獲得關于這類調和映射的系數條件，偏差定理，極值點，以及他們在凸組合和卷積運算下的不變性.

1 準備知識

令SH表示所有定義在單位圓盤D上且單葉和保向的調和函數f＝h＋構成的集合，其中

定義1 我們定義線性微分算子L如下：

定義2 設GH（，α，ρ）表示所有滿足下面條件的單葉調和函數f＝h＋構成的集合：

我們進一步定義GH（，α，ρ）的子類TGH（，α，ρ），其中 TGH（，α，ρ）中的函數 f具有如下形式：

2 主要結果及證明

2.1 系數估計

我們首先討論的是調和映射f∈GH（，α，ρ）的一個充分條件.

其中

a1＝1，0≤α＜1，0≤≤1，ρ≥0，那么f是保向單葉的.若≤（1－α）/（1＋α），則f∈GH（，α，ρ）.

故由（5）－（7）知

因此，f是保向的.

我們注意到，如果g（z）≡0，那么（fz）是解析單葉的，因為GH（，α，ρ）中的映射均為單葉的.如果，那么我們要證明f是單葉的，只需證明對任意的，有.

不失一般性，不妨設f不是恒等映射.設z1和z2是D中任意兩個不同的點，故由（5）－（7）可知

因此，f在單位圓D內是單葉的.

其中

替換（8）中的 A（z）和 B（z），再由系數條件（5）和≤1－α/（1＋α）知，

和

因此，

從而，f∈GH（，α，ρ），定理 1 得證.

注2 下面的調和函數f是定理1中系數條件（5）能取到等號的結果.

因此，函數f∈GH（，α，ρ）.

其中 a1＝1，0≤α＜1，0≤≤1，ρ≥0，≤1－α/（1＋α），且C1，n，C2，n為定理1中系數.

證明 因為TGH（，α，ρ）?GH（，α，ρ），我們只需要證明這個定理的必要部分即可.由（3）知，

而上面條件又等價于

由于上面的條件必須對所有的z∈D都成立，為了計算方便，取z為正實數，即0＜z＝r＜1.我們可以得到

其中

其中

定義3[8]對于D上的單葉函數f，如果曲線（frei）t關于原點是星形的，那么稱函數f是星形的，其中0＜r＜1，（f0）＝0.換句話說，如果，那么函數f是星形的.

下面引理是星形函數和L算子之間的一個等價關系.

引理1[8].

推論1 如果f∈TGH（，α，ρ），那么 f是星形的.

[由（9）知]

其中 C1，n，C2，n為定理1中系數.因此，推論1得證.

2.2 偏差定理

定理3 如果f∈TGH（，α，ρ），那么

和

其中

證明 設 f∈TGH（，α，ρ），則

同理，可證

其中C1，n，C2，n為定理 1 中系數.因此，定理3得證.

顯然，由定理3可得以下覆蓋定理.

推論2 如果f∈TGH（，α，ρ），那么

其中K1，K2定理3中的系數.

2.3 極值點，凸組合和卷積

定理4 f∈TGH（，α，ρ）當且僅當

這里

且 C1，n，C2，n為定理1中系數.特別地，TGH（，α，ρ）的極值點是以上定義的兩類映射{hn}和{gn}.

證明 對于具有形式（11）的函數f，我們有

那么

因此，f∈TGH（，α，ρ）.

反過來，如果f∈TGH（，α，ρ），我們設

定理得證.

定理5 函數類TGH（，α，ρ）中的元素在凸組合運算下是不變的.

證明 對于i＝1，2，3，…，設fi∈TGH（，α，ρ），其中 fi被記為如下形式：

則由式（9）知

那么由式（12）可得，

其中C1，n，C2，n為定理1中系數.從而，得證.

最后，我們根據調和函數卷積的定義來證明函數類TGH（，α，ρ）關于卷積的運算的封閉性.所得結果如定理6.

定理6 設f∈TGH（，α，ρ），F∈TGH（，β，ρ），0≤β≤α＜1，那么

證明設

因為 F∈TGH（，β，ρ），故.

由定義4知，

所以

故f*F∈TGH（，α，ρ）.

從而TGH（，α，ρ）?TGH（，β，ρ），其中

且 C1，n，C2，n為定理 1 中系數.因此，f*F∈TGH（，α，ρ）?TGH（，β，ρ）.