定義域在研究函數(shù)問題中的重要性

摘要：函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，它貫穿于整個(gè)高中數(shù)學(xué)教學(xué)的始終。

關(guān)鍵詞：函數(shù)；定義域；重要性

中圖分類號：G712 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1002-7661（2012）09-033-01

函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，它貫穿于整個(gè)高中數(shù)學(xué)教學(xué)的始終。而函數(shù)的定義域是構(gòu)成函數(shù)的兩大要素之一，它似乎是非常簡單的，然而在解決問題中稍不留神，常常會(huì)引人走進(jìn)誤區(qū)。因此，在解函數(shù)題中要特別強(qiáng)調(diào)定義域?qū)忸}結(jié)論的作用與影響。

一、函數(shù)關(guān)系式與定義域

函數(shù)關(guān)系式包括定義域和對應(yīng)法則，所以在求函數(shù)的關(guān)系式時(shí)必須要考慮所求函數(shù)關(guān)系式的定義域，否則所求函數(shù)關(guān)系式可能是錯(cuò)誤。如：

例1：某單位計(jì)劃用長為90cm，寬為48cm的長方形鐵皮做一個(gè)無蓋的容器，先在四角分別截去一個(gè)小正方形，然后把四邊翻轉(zhuǎn) 的角，再焊接而成。求該容器的體積V與容器高x的函數(shù)關(guān)系式？

解：設(shè)容器的高為x米，則容器底的寬為(48－2x)米，長為(90－2x)米。

由題意得：

故函數(shù)關(guān)系式為：．

如果解題到此為止，則本題的函數(shù)關(guān)系式還欠完整，缺少自變量 的范圍。也就說學(xué)生的解題思路不夠嚴(yán)密。因?yàn)楫?dāng)自變量 24時(shí)，V ，這與實(shí)際問題相矛盾，所以還應(yīng)補(bǔ)上自變量 的范圍：

即：函數(shù)關(guān)系式為：（ ）

這個(gè)例子說明，在用函數(shù)方法解決實(shí)際問題時(shí)，必須要注意到函數(shù)定義域的取值范圍對實(shí)際問題的影響。若忽略這一點(diǎn)，就體現(xiàn)出學(xué)生思維缺乏嚴(yán)密性。若注意到定義域的變化，就說明學(xué)生的解題思維過程體現(xiàn)出較好思維的嚴(yán)密性。

二、函數(shù)最值與定義域

函數(shù)的最值是指函數(shù)在給定的定義域區(qū)間上能否取到最大(小)值的問題。如果不注意定義域?qū)?huì)導(dǎo)致最值的錯(cuò)誤。如：

三、函數(shù)值域與定義域

函數(shù)的值域是該函數(shù)全體函數(shù)值的集合，當(dāng)定義域和對應(yīng)法則確定，函數(shù)值也隨之而定。因此在求函數(shù)值域時(shí)，應(yīng)注意函數(shù)定義域。如：

例2：求函數(shù) 的值域．

錯(cuò)解：令

∴

故所求的函數(shù)值域是 ．

剖析：經(jīng)換元后，應(yīng)有 ，而函數(shù) 在[0，+∞)上是增函數(shù)，

所以當(dāng)t=0時(shí)，ymin= ．故所求的函數(shù)值域是[ ，+∞）．

以上例子說明，變量的允許值范圍是何等的重要，若能發(fā)現(xiàn)變量隱含的取值范圍，精細(xì)地檢查解題思維的過程，就可以避免以上錯(cuò)誤結(jié)果的產(chǎn)生。

四、函數(shù)單調(diào)性與定義域

函數(shù)單調(diào)性是指函數(shù)在給定的定義域區(qū)間上函數(shù)自變量增加時(shí)，函數(shù)值隨著增減的情況，所以討論函數(shù)單調(diào)性必須在給定的定義域區(qū)間上進(jìn)行。如：

例3：指出函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間．

解：因?yàn)閷?shù)函數(shù)的真數(shù)要大于0，所應(yīng)先求出函數(shù)的定義域：

∵ ∴ ∴ 函數(shù)定義域?yàn)?．

令 ，知在 上時(shí)，u為減函數(shù)， 在 上時(shí)u為增函數(shù)。

又∵ ．

∴函數(shù) 在 上是減函數(shù)，在 上是增函數(shù)。

決即函數(shù) 的單調(diào)遞增區(qū)間 ，單調(diào)遞減區(qū)間是 。

如果在做題時(shí)，沒有在定義域的兩個(gè)區(qū)間上分別考慮函數(shù)的單調(diào)性，就說明學(xué)生對函數(shù)單調(diào)性的概念一知半解，沒有理解，在做練習(xí)或作業(yè)時(shí)，只是對題型，套公式，而不去領(lǐng)會(huì)解題方法的實(shí)質(zhì)，也說明學(xué)生的思維缺乏深刻性。

五、函數(shù)奇偶性與定義域

判斷函數(shù)的奇偶性，應(yīng)先考慮該函數(shù)的定義域區(qū)間是否關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對稱，如果定義域區(qū)間是關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)不成中心對稱，則函數(shù)就無奇偶性可談。否則要用奇偶性定義加以判斷。

綜上所述，在求解函數(shù)函數(shù)關(guān)系式、最值(值域)、單調(diào)性、奇偶性等問題中，若能精細(xì)地檢查思維過程，思辨函數(shù)定義域有無改變(指對定義域?yàn)镽來說)，對解題結(jié)果有無影響，就能提高學(xué)生質(zhì)疑辨析能力，有利于培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì)，從而不斷提高學(xué)生思維能力，進(jìn)而有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的創(chuàng)造性。