談“變式思維訓練”中的多解與多變

摘要：真正有效的教學不是簡單地讓學生占有別人的知識，不是讓學生做大量的題目，而是讓學生建構自己的知識經驗，形成自己的見解。“授之以魚，不如授之以漁”。變式教學作為一種傳統和典型的中國數學教學方式，不僅有著廣泛的經驗基礎，而且也經過了實踐的檢驗。我們不要現成的數學，而需要活動的數學，讓學生們積極地參與到數學課堂活動中來，使他們能學到真正的數學，能力上得到真正的提升。

關鍵詞：有效的教學；建構知識經驗；變式教學；能力的提升

中圖分類號：G632.3 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2012）09-228-01

大家知道，真正有效的教學不是簡單地讓學生占有別人的知識，不是讓學生做大量的題目，而是讓學生建構自己的知識經驗，形成自己的見解。“授之以魚，不如授之以漁”。變式教學作為一種傳統和典型的中國數學教學方式，不僅有著廣泛的經驗基礎，而且也經過了實踐的檢驗。下面，我就變式思維訓練中的一題多解和一題多變問題作一些探討。

例1：如圖1，在⊿ABC中，AB=AC，P為BC上的一動點，過點P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分別為D、E，CF為AB邊上的高線，求證：PD+PE=CF。

證法1：延長DP，過C作CH⊥DP于H，如圖所示：

∵CH⊥DP，PD⊥AB

∴CH∥AB

∴∠B=∠PCH

∵AB=AC

∴∠B=∠ACB

∴∠PCH=∠ACB

在⊿PCH和⊿PCE中，

∵∠PCH=∠ACB

∠PHC=∠PEC

PC=PC

∴⊿PCH≌⊿PCE(AAS)

∴PE=PH

∴PD+PE=PD+PH=DH

易證：四邊形DHCF為矩形

∴DH=CF

∴PD+PE=CF

【評析】這種證明方法叫補短法，通常我們要把較短線段進行合并，使它們成為一條線段，從而轉化成為證明兩線段相等。

證法2：過D作BC的平行線，交CF于H，如圖所示：

∵DH∥PC，CH∥PD

∴四邊形PCHD為平行四邊形

∴PD=CH，DH=PC

∵DH∥BC

∴∠FDH=∠B

∵AB=AC

∴∠B=∠ACB

∴∠FDH=∠PCE

在⊿DFH和⊿CEP中

∵∠FDH=∠PCE

∠DFH=∠CEP=90°

DH=PC

∴⊿DFH≌⊿CEP(AAS)

∴PE=FH

∴CF-FH=CH=PD，CF-PE=PD

即PD+PE=CF

【評析】這種證明方法叫截長法，通常我們要將較長線段進行分割，使分割成的線段正好等于兩較短線段的長，從而轉化成為證明兩線段之差等于另一條線段的長。關于截長法，讀者也可以通過下面添加輔助線的方法加以解決。這里，不再贅述。

在平時的教學中，我們常常對試題進行情景和量的改造，讓學生再思考，再訓練，以達到觸類旁通，舉一反三之目的。

例2，如圖：在⊿ABC中，AB=AC，點P在BC的延長線上，過點P作PE⊥AC，交AC的延長線于E點，過點P作PD⊥AB于點D，CF是AB邊上的高線，那么PD，PE和CF之間存在什么數量關系？寫出你的猜想并加以證明。猜想：PD-PE=CF

證明：過C作CH⊥PD于H，如圖所示

∵CH⊥PD，AB⊥PD

∴CH∥AB

∴∠HCP=∠B

∵AB=AC

∴∠B=∠ACB

∴∠HCP=∠ACB=∠ECP

在⊿PCH和⊿PCE中：

∴∠HCP=∠ECP∠CHP=∠CEP=90°PC=PC

∴⊿PCH≌⊿PCE(AAS)

∴PH=EP

∴PD-PE=PD-PH=DH

∵四邊形CHDF為矩形

∴DH=CF

∴PD-PE=CF

【評析】本題中，由于點P的位置發生改變，使三線段之間的數量關系發生了改變，但證明方法卻沒有變化。

總之，任何科學成果，都是思維活動的成果，都要經過一個特定的思維過程，數學更是如此。它的每一個結論的發明、發現，每一個定理、公式的得出，一般都要經過多次的觀察、猜想、類比、聯想、歸納、分析和思維跳躍，思維發散，思維復合等過程，因此，我們不要現成的數學，而需要活動的數學，讓學生們積極地參與到數學課堂活動中來，使他們能學到真正的數學，能力上得到真正的提升。