在例題教學中培養學生的思維能力

摘 要：數學思維能力的培養是數學教學永恒的主題。本文從一題多解、一題多變、深化拓展以及解題后的反思等四個方面論述了在例題教學中培養學生思維能力的做法和體會。

關鍵詞：培養；思維能力；廣闊性；靈活性；創造性；深刻性； 批判性

中圖分類號：G632 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2012）16-195-02

提高學生的數學素質，重要任務是提高學生的數學思維能力。筆者就例題教學這一側面，對如何培養學生的思維能力，進行了嘗試和實踐。以下略談幾點做法和體會。

一、一題多解，培養思維的廣闊性

思維的廣闊性表現為善于運用多方面知識和經驗，從多角度、多層次、全方位考慮問題的思維品質。一題多解不僅可以訓練學生的解題能力，而且可以培養學生思維的廣闊性。所以，在例題教學中，我盡可能地挑選一些具有多種解法的題目，啟發學生對同一數學問題進行多方面的聯想，獲取各種不同解法，使思維更開闊。比如，在高三的專題（不等式部份）復習中，我選取了下面一道例題作為一個鞏固知識、培養學生思維的題目：

例1：設 、b ，且 ，求 的取值范圍。

思路一 構造關于 的不等式

解法1 因為 、b ，∴

又因為 ，∴

∴ （當且僅當 時等號成立）

因此 的取值范圍是[9，+∞）。

解法2：因為 、b ，∴

又因為 ，∴

即 （或 舍去）

∴ （當且僅當 時等號成立）

即 的取值范圍是[9，+∞）。

思路二 轉化成函數求值域

解法3 因為

∴ ，顯然 （否則0＝4，矛盾）

∴

又因為 、b ，∴ ，從而

當且僅當 即 時 取最小值9，故 的取值范圍是[9，+∞）。

通過以上幾種不同的解法，不但幫助學生復習鞏固了基礎知識，而且使思維面更廣闊了，起到了舉一反三的作用。

二、一題多變，培養思維的靈活性

思維的靈活性是指思維的變通性，它不受思維定勢的束縛。如果在例題教學中，教師只講一種題型，歸納一種解題方法，當考試時出現講過、練過的題型，學生做起來可能會得心應手，一旦稍有變化則不知所措。倘若教師能善于對例題的形式進行變換，克服教學中的定勢，不但可以收到舉一反三、觸類旁通的效果，還能提高學生的應變能力。

三、深化拓展，培養思維的創造性

創造性思維的特點，在于獨立地、超出常規地分析問題，不循規蹈矩，用全新的、不同于他人的思維方式進行思維。如果例題教學中僅局限于解決此題，形成教學封閉，就難以發展學生的思維，久之學生只能循規蹈矩，毫無創新意識，只能停留在“學會”的水平而達不到“會學”的境界。為此，在例題教學中，我常常在問題的深度、廣度上給予拓展，經常選編一些源于課本而高于課本且富于思考性的題目，促使學生創造性地思維。比如：

例2：已知直線 與 相交，證明方程 表示過 與 與交點的直線。

此題是高中《數學必修2》課本P109習題3.3A組第4題，學生都能夠順利完成。如果在這道題之后，緊接著讓學生思考以下的變化題：

（1）如果兩條曲線的方程是 與 ，它們的交點是 ，證明：方程 表示的曲線也經過點P（ 是任意實數）。

（2）求兩圓 的公共弦所在直線方程及弦長（不允許求交點）。

由于不允許求交點，這樣就會促使學生創造性地思維，從而將學生的思維推向了一個新的高度，深化了學生的認識。

四、通過解題后的反思，培養思維的深刻性和批判性

美籍匈牙利數學家喬治?波利亞曾說過：“數學問題的解決僅僅只是一半，更重要的是解題后的回顧。”

進行解題后的反思和小結，會幫助學生總結經驗，發現規律，形成技能和技巧；反之，會掛一漏萬，甚至解一題丟一題，無助于數學能力的提高。因此，例題教學中應重視解題后的反思。

1、反思漏洞

在問題解決之后引導學生思考是否有漏洞和錯誤的地方，總結應該注意的方面，是否掉入命題者所設計的陷阱。以此提高分析能力，糾正解答中的錯誤，培養思維的深刻性。

例5：求函數 的最小值。

錯解1：由于 ，∴ ，利用平均值不等式得：

錯解2：（判別式法）

針對以上兩種解法，啟發學生反思：y可以等于 嗎？學生思考后會發現 時， ，這是不可能的。從而引導學生總結教訓：在利用平均值不等式或判別式法求函數量值時，一定要注意等號成立的條件。

通過反思，不僅找出了錯誤的根源，還給學生留下了深刻的印象，以后記憶猶新了。

2、反思知識

解題后回顧該題所涉及到的有關概念、數學知識、思想方法及其內在聯系，既可以幫助學生鞏固所學知識，又能提高學生運用知識分析問題、解決問題的能力。

例6：函數 的自變量 的取值范圍是全體實數，求k的取值范圍。

分析：由題意知， 為任何實數時函數都有意義，須有 恒成立，聯想拋物線 均在 軸上方（即與 軸無交點），故 ，得 。

小結：回顧解題過程可知，本題是通過多次轉化，最終得出 ，從而求得k的取值范圍。本題的每一次轉化都體現了一元二次方程、一元二次不等式、二次函數這三者之間的內在聯系。弄清它們的這種內在聯系，對以后的解題會大有幫助。

3、反思方法

解題后小結一下解題方法，歸納一下這種解題方法的特點，可以加深學生對解題方法的理解，有助于學生較快的掌握。特別地，在一題多解教學中，教師要引導學生比較鑒賞不同的解法，品味不同的思路，洞察優劣，批判吸收。在一題多變教學中，應引導學生比較題目之間的內在聯系，總結解題經驗，提煉歸納解題規律，提高學生的思維能力。

綜上所述，如果我們在教學中能夠多思、多變，有意識、有計劃的改善和提高學生的數學思維品質，就能較好地提高學生的思維能力。

參考文獻

[1] 萬平方. 在不等式教學中培養學生的探求能力.中學數學教學參考，陜西師范大學中學教學參考雜志社，2001年 (7)：P43.

[2] 王華騰. 重視習題與跳出習題.中學教研(數學)，《中學教研》 雜志社，1998年 （7-8），P10.

[3] 彭建平. 思維品質素養與“開放型題”.中學數學研究，華南師大數學系《中學數學研究》編輯站，1999年 （2）：P16.