對圓面積計算方法的兩點拓展

對圓面積計算方法的兩點拓展

王治民

（甘肅省隴西縣實驗小學 甘肅 定西 748100）

摘 要：要計算圓的面積，根據公式S =πr²，必須先知道半徑，通過長期研究，我發現在\"圓的面積\"計算中，學生出錯的原因除了計算能力不足外，更多的是已知直徑和周長求半徑時，思維混亂，方法不清。經過反復推敲，我覺得運用中學數學中分式平方的方法，對小學圓的面積計算方法進行“合理拓展”，雖然超出了小學數學的范圍，與小學階段圓面積計算方法的推導原理也有出入，但它符合代數思想，理論上完全成立。

關鍵詞：圓的面積；計算；拓展

中圖分類號：G622.0 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2012）16-205-01

圓的面積計算，是小學幾何圖形面積教學中的難點，也是圓柱底面積、側面積和體積計算的基礎。教學中，通過課件或教具的直觀演示，讓學生理解并掌握圓面積的計算方法并不困難，但具體計算中的錯誤卻相當嚴重。因為對學生而言，根據公式S =πr²，要計算圓的面積，必須先知道半徑，所以實際運算中，當學生面對已知直徑或周長求面積的問題時，必須先經過相應的運算求得半徑，然后進行面積的計算。通過長期跟蹤研究，我發現在\"圓的面積\"計算中，學生出錯的原因除了計算能力不足外，更多的是已知直徑和周長求半徑時，思維混亂，方法不清。就是說，“已知直徑求半徑”和“已知周長求半徑”是導致學生出現錯誤的“罪魁禍首”。統計發現，學生一半以上的錯誤都出在這一環節，尤其是已知周長求面積時，問題更加嚴重。因為，知道圓的周長求半徑，對多數六年級學生來說，是一個并不簡單的問題，他們不能完全理解“因為C=2πr，所以r=C÷π÷2或r= =c÷(2π)”這一轉化的道理。當面對繁雜的條件時，只能憑感覺盲目套公式，因此出現錯誤也就不足為奇。每次面對學生的此類錯誤，除了本能的責罵甚至動用武力外，我都在痛苦地思考，能不能找到更好的方法呢？

在一節“圓的面積”復習課上，當引導學生歸納整理半徑、直徑、周長、面積之間相互關系時，我突發奇想，能否用代數方法將r= 和r= 直接代入公式S =πr² 進行計算呢？我當即進行試驗：當半徑r= 時，面積S =πr²=π = π ；同理，當半徑r= 時，面積S=πr²=π( )2 = = ÷（4π）。

經過反復推敲，運用中學數學中分式平方的方法，雖然超出了小學數學的范圍，與小學階段圓面積計算方法的推導原理也有出入，但它符合代數思想，是對現有圓面積計算方法的“合理拓展”和“重要突破”，理論上完全成立。之后，我對這一方法進行了專門講解和具體試驗，效果不錯。

一、圓的面積S = πd2

例1：一座圓形花園的直徑為5米，它的占地面積是多少平方米？

傳統解法：

（1）求半徑：r= =5÷2=2.5(米)；⑵算面積：S =πr²=3.14× =3.14×6.25=19.625(平方米)。

新的方法：

S = πd2= ×3.14× = ×3.14×25=19.625(平方米)，直接將d=5米代入公式計算思路簡潔正確率也大幅提高。

二、圓的面積S = = ÷（4π）

例2：一個圓柱形糧倉的底面周長是9.42米，它的底面積是多少？

傳統方法：

（1）求半徑：r=C÷π÷2=9.42÷3.14÷2=1.5（米

（2）算面積：S =πr²=3.14× =3.14×2.25=7.065（平方 米）。

新的方法：

S = ÷（4π）= ÷（4×3.14）=88.7364÷12.56=7.065（平方米）。

對比分析，這兩種方法之間的差別不在于計算的難易程度，關鍵是新方法簡化了思路，面對實際問題時，學生可以直接使用已知條件（半徑、直徑或周長）進行計算，大大降低了計算過程中由于不同數量之間的轉化而導致的錯誤，有很大的優越性。于是我將S =πr²、S = πd2和S = = ÷（4π）在班內統一推廣，讓學生根據實際情況靈活選擇算法。

為了新課改積極健康的推進，我覺得努力吸收并推廣這些來自教學實踐，符合代數思想的“新方法”，不但能豐富解決問題的策略，提高解決問題的效率，更好的體現運用數學知識解決生活問題的課改理念，而且對促進教研活動的深入開展和培養學生的創新意識有很大作用。