層狀粘彈性地基一維固結特性

作者簡介：劉加才（1970），男，副教授，主要從事軟土特性及地基處理研究、本構關系與數值分析、現場原位測試及邊坡穩定研究，（Email）liujchhu@163.com。摘要：采用Merchant 流變模型模擬土體的粘彈性，針對層狀黏彈性地基一維固結偏微分方程，利用Galerkin加權殘值方法推導了該問題有限元矩陣表達式。將求解方法編制成應用程序，通過單層黏彈性地基和雙層線彈性一維固結問題解答與解析解答對比，驗證了求解方法和程序的有效性。采用程序對三層黏彈地基一維固結問題進行了算例分析，研究了處于不同深度處土層在不同時刻受土體粘滯性影響程度，以及粘彈性參數η1對土體孔壓消散的影響。分析結果表明，黏滯性土體孔壓消散慢于線彈性土體，且隨著時間的增加和土層距離排水面距離的增加，這種現象更明顯，在土層固結度達到80%～90%時兩者差異達到最大值。粘彈性參數η1越大，粘滯性土體與線彈性土體固結度差異越大，且對土體的固結度影響也越提前。

關鍵詞：層狀；有限元；黏滯性；一維固結

中圖分類號：TU471.2文獻標志碼：A文章編號：16744764（2012）03003405

One Dimensional Consolidation Analysis of Layered Clay

Soils Exhibiting Rheological Characteristics

LIU Jiacai， MA Qiang

（College of Transportation Science Engineering， Nanjing University of Technology， Nanjing 210009， P. R. China）

Abstract:The rheological characteristics of clay soils were described by Merchant mode. The governing equation for consolidation of layered clay soils exhibiting rheological characteristics was solved using the finite element method. Matrix formulation was derived by Galerkins weighting residual method. The proposed FE procedure was encoded in a program. The presented formulation and program code were examined by using the analytical results of two simplified problems， a onelayer clay soil exhibiting rheological characteristics and a doublelayer elastic clay soil. The comparison shows that the numerical results agree well with those of analytical results. A threelayer clay soil exhibiting rheological characteristics was used to analyze influence of rheological characteristics and its parameter η1 on different layers at different time. The results show that consolidation of clay exhibiting rheological characteristics is slower than that of clay exhibiting elastic characteristics. The phenomenon becomes more obvious over time and the distance between the clay and the pervious plane increases. Difference between the pore pressure dissipation of rheological clay and that of elastic clay reaches its climax when the consolidation degree of clay is in the range from 80% to 90%. Difference between the consolidation degree of rheological clay and that of elastic clay becomes larger and the influence time is earlier with higher creep parameter η1.

Key words:layered; finite element; rheological characteristics; one dimensional consolidation地基的固結問題一直是工程界和理論界關心的熱點問題之一。Terzaghi最早提出一維固結理論，為固結理論的發展奠定了基礎。近年來一維固結理論有了較大發展，可以考慮較為復雜的情況，如加載隨時間變化［1］、滲透力對土體固結的影響［2］、土體非飽和［3］、有限應變［4］、土體材料非線性［5］、非達西滲流［6］。軟粘土具有粘彈性，地基土層通常具有成層性。一些學者將Terzaghi固結理論推廣到成層地基情況，如Xie等［7］、Lee等［8］。另外一些學者考慮土體的黏滯性，研究了土體的一維固結問題，如趙維炳［9］、Hawlader等［10］、Li等［11］、Xie等［12］。由于問題的復雜性，同時考慮土體的成層性和黏滯性的文獻并不多見。Cai等［13］基于Kelvin流變模型，運用Laplace變換、矩陣傳遞法以及Laplace變換求解了任意荷載下成層粘彈性地基一維變形問題。Kelvin流變模型可以反映彈性后效，卻不能反映應力松弛。為了全面反映土體的粘彈性質，劉加才等［14］提出了基于廣義Voigt流變模型的雙層黏彈性地基求解方法，但求解過程較為復雜，不利于工程應用。本文采用巖土工程中應用較廣的Merchant 流變模型，提出了層狀黏彈性地基的一維固結有限元分析方法，并對其固結特性進行了研究。〖=D(〗劉加才，等：層狀粘彈性地基一維固結特性〖=〗1問題描述

1.1計算簡圖

層狀粘彈性地基的一維固結問題如圖1所示。滿足如下基本假定：1)地基土層完全飽和；2)孔隙水和固體顆粒均不可壓縮；3)土體滲流滿足Darcy定律；4)壓縮和滲流僅發生在豎直方向;5)荷載為均布荷載，且瞬時施加;6)地基頂部為排水面，底部為不透水面;7)土體的粘彈性可采用Merchant 流變模型。圖中，E0i，E1i，η1i，為第i土層的Merchant 流變模型參數，kv i為第i土層的豎直向滲透系數。深度方向z坐標向下為正，坐標原點為第一層土體頂面。第i土層底面深度為hi。

圖1層狀黏彈性地基一維固結簡圖

對于任一土層，滿足控制方程式(1)［9，14］。

kv iγw2uiz2=1E0iuit+∫t0uiτdδit－τdt－τdτ（1）

式中：i=1，2，…，n為土層編號；ui為第i土層的超靜孔壓；δi為第i土層的Merchant 流變模型柔度函數，如式(2)所示。

δit=1E0i+1E1i1－exp－η1it （2）

1.2初始條件

由于荷載為均布荷載，且瞬時施加，任一深度處孔壓初始時刻均為q，如式(3)所示。

u(z，0)=q（3）

1.3邊界條件

地基頂面排水，底面不透水，如式(4)、(5)所示：

u(z，t)z=0=0（4）

uz，tzz=hn=0（5）2有限元求解及解答有效性驗證

2.1有限元求解

將地基沿固結方向劃分為若干2節點單元，節點作為每個單元的邊界，土層的分界線作為單元的節點。孔壓在單元上線性變化，可用式(6)表示。

u=Nue=N1N2um

um+1，（6）

式中：um、um+1分別代表節點m和節點m+1處的超靜孔壓值；N1和N2為形函數，如式(7)所示。

N1=zm+1－zzm+1－zm

N2=z－zmzm+1－zm（7）

式中：zm、zm+1分別代表節點m和節點m+1處的坐標值。

將式（2）和式（6）代入式（1），并利用Galerkin加權殘值方法，可得矩陣方程式(8)。

η1iE1iP∫t0ddτueexp－η1it－τdτ+

Kue+PE0iddtue=0（8）

式中：K=kv iγw∫zm+1zmdN1dzdN1dzdN1dzdN2dz

dN2dzdN1dzdN2dzdN2dzdz=

kv iγwzm+1－zm1－1

－11，0=0

0，P=

∫zm+1zmN1N1N1N2

N2N1N2N2dz=zm+1－zm621

12。

將時間分段，在時間段tj到tj+1上孔壓均為變量，對時間變量進行線性插值，式（8）可整理為式(9)。

θPE1ie－h1itj+1∑jh=1uh+1e－uheth+1－th(eη1ith+1－eη1ith)+Kθuj+1e+1－θuje+PE0iuj+1e－ujetj+1－tj+1－θPE1i×e－η1itj∑j－1h=1uh+1e－uheth+1－th(eh1ith+1－eη1ith)=0（9）

令θ=1/2，即采用CrankNicolson方法［15］，式（9）可整理為矩陣式(10)。

Lj+1euj+1e=Qjeuje+Zje=Rje（10）

式中：

Lj+1e=K2+PE0i1tj+1－tj+12PE1i·

1－eη1itj－tj+1tj+1－tj

Qje=PE0i1tj+1－tj+12PE1i1－eη1itj－tj+1tj+1－tj－K2

Zje=12PE1i(e－η1itj+1+e－η1itj)×

∑j－1h=1uh+1e－uheth+1－th(eh1ith－eη1ith+1)。

式（10）為每個單元的矩陣方程，采用常規的有限元總矩陣組裝方法［15］，形成總的矩陣方程如式(11)所示，從而進一步求解。

Lj+1uj+1=Rj（11）

在形成總體矩陣后，由于第1個節點為排水節點，超靜孔壓為0。為方便程序編制，不改變總矩陣的行數和列數，令總矩陣第1行、第1列數加上很大的數，如1015，而方程的右端第一行設置為0。最后1個節點，其外部流量為0，不需做任何特殊處理，在有限元單元矩陣推導過程中已默認為無流量邊界。為了便于工程應用，采用Fortran語言將上述有限元求解方法編制成應用程序。

2.2解答有效性驗證

若本文研究的層狀黏彈性地基僅有一層，即可簡化為單層黏彈性地基一維固結問題。若令Merchant 流變模型ηi=0，即為層狀線彈性地基一維固結問題。單層黏彈性地基和雙層線彈性地基是本文研究問題的2種特殊情況，其解析解答已分別被趙維炳［9］和Xie等［12］推導獲得。為了驗證本文求解方法和程序編制的正確性，采用本文程序分別對單層黏彈性地基的固結問題和雙層線彈性地基固結進行求解，并與已有精確解析解進行對比分析。

單層黏彈性土層厚度為10 m，滲透系數kv=2×10-9m/s，Merchant 流變模型E0=2 MPa，E1=5 MPa， η1=2×10-8s-1。將土層劃分為20個0.5 m等長單元，共計21個節點，時間間隔取為1 d。圖2為100、500、2 000 d時，本文有限元方法與解析解在不同深度處土體固結度比較情況。

圖2單層黏彈性地基有限元解與解析解比較

雙層線彈性土層厚度為10 m，第1層土層厚度為3 m，滲透系數kv=1×10-8m/s，壓縮模量Es=5 MPa，第2層土層厚度為7 m，滲透系數kv=2×10-9m/s，壓縮模量Es=2 MPa。將土層劃分為20個0.5 m等長單元，共計21個節點，時間間隔取為1 d。圖3為100 d，500 d以及1 000 d時，本文有限元方法與解析解在不同深度處土體固結度比較情況。

圖3雙層線彈性地基有限元解與解析解比較

從以上2個算例的比較情況，可以看出，本文解答與解析解吻合較好，驗證了本文求解方法的有效性和程序編制的正確性。3層狀黏彈性地基固結特性分析

利用本文有限元求解方法，對1個3層黏彈性地基的一維固結問題進行研究，以揭示其固結規律。算例地基土層情況如表1所示：表1地基土層參數

土層號厚度/mE0/MPaE1/MPaη1/s-1kv/(m·s-1)13581.0×10-81.0×10-824232.0×10-92.0×10-933581.0×10-81.0×10-8

圖4為考慮黏滯性和不考慮黏滯性時3層地基孔壓消散情況。從圖中可以看出，不管是黏彈性土體，還是線彈性土體，在土層的分界面處，孔壓消散會出現轉折點。在時間為100 d時，土體的黏滯性對孔壓消散的影響并不明顯；500 d時，第3層土層底部固結度相差10.47%；1 000 d時，第3層土層底部固結度相差14.38%。說明，隨著時間的增加，孔壓消散差別越來越明顯，粘滯性土體的孔壓消散滯后于線彈性土體。從圖中還可以看出，在同一時刻，土體埋深越大，即離排水面距離越遠，黏彈性土體固結度越滯后于線彈性土體固結度。

圖4考慮黏滯性與不考慮黏滯性地基孔壓消散比較

圖5為土層2和土層3中心點處土體孔壓消散隨時間變化情況。從圖中可以看出，第2層土體黏滯性土體對孔壓消散的影響，約在2 d左右；而第3層粘彈性對孔壓消散的影響約在50 d左右。說明隨著土層離排水面距離越大，黏滯性對孔壓消散的影響也越滯后。不管是第2層土體，還是第3層土體，隨著時間的增加，黏滯性土體孔壓消散越來越落后于線彈性土體，到某一時刻后兩者差距達到最大值，再隨著時間的延長，差距又會越來越小。在線彈性土體固結度達到80%～90%時，黏彈性土體與線彈性土體固結固結度差異較大。

圖6為第2層土體黏滯性參數η1從1.0×10-7變化到0，該土層土體中心點處孔壓消散情況，從圖中可以看出，當η1=1.0×10-9時，與粘彈性土體與線彈性土體固結度差異較小，最大差異值為3%。η1越大，粘彈性土體與線彈性土體固結度差異越大，且對土體的固結度影響也越提前。

圖5土體孔壓消散隨時間變化情況

圖6流變參數η1對孔壓消散的影響

4結語

1）基于Merchant 流變模型，利用Galerkin加權殘值方法，推導了層狀黏彈性地基一維固結有限元矩陣方程，并給出了求解過程。采用Fortran語言將本文有限元求解方法編制成應用程序。通過單層黏彈性地基和雙層線彈性地基一維固結問題本文有限元解答與解析解答的比較，驗證了本文求解方法和程序的有效性。

2）對3層地基一維固結研究表明，在土層分界面處孔壓消散出現轉折點。黏滯性土體孔壓消散要滯后于線彈性土體，且隨著時間的延長，兩者差異會越來越大。同一時刻，隨著土體離透水面距離的增大，黏滯性影響會越大。

3）土體的粘彈性對孔壓消散的影響時間與其離排水面距離有關，土層離排水面距離越大，黏滯性對孔壓消散的影響時間也越滯后。黏滯性土體與線彈性固結度差異呈現兩頭小中間大的特點。工程中常要求地基固結度達到80%～90%，而這一時間段內考慮考慮土體的粘彈性和不考慮粘彈性固結度差異較大。因此，在實際工程中應考慮土體粘彈性對孔壓消散的影響。

4）土體粘彈性參數η1越大，則孔壓消散越慢，與線彈性土體固結度差異越大。在實際工程若η1<1.0×10-9 s-1時，粘彈性土體與線彈性土體固結度差異在3%以內，可以不考慮粘彈性對土體固結度的影響。

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（編輯王秀玲）