開口薄壁桿的板件面內拉彎綜合抗力體系

作者簡介：金聲(1975)，男，博士，主要從事薄壁鋼結構計算理論研究，（Email）jsatcq@163.com。摘要：針對薄壁桿件力學分析較為復雜的問題，討論了一種把開口薄壁桿的分析拆分為2個較簡單部分的方法。針對薄壁中面內荷載效應的分析問題，首先在適當簡化基本應力應變條件的基礎上，按平面應力問題分析單肢板件面內荷載效應，然后對其進行向量綜合，得到反映開口薄壁桿軸向伸縮、彎曲及翹曲性質的“板件面內拉彎綜合抗力體系”及其變形方程；探討了剛度方程的建立及其計算特點，并與經典理論進行對比。分析表明，在板件面內彎矩定義中引入板件間縱向相互作用力，可簡化該體系分析過程和結論，使之具備與平面彎曲問題一致的形式。作為應用舉例，推導了求解薄壁截面主軸方向、主軸慣性矩、彎心坐標、主扇性慣性矩的線性方程組，剖析了經典理論中這些截面幾何特性對于計算的意義及其效率。

關鍵詞：薄壁結構；單肢解析化方法；翹曲；扭轉；扇性慣性矩；剛度矩陣

中圖分類號：TU392.5; O342文獻標志碼：A文章編號：16744764（2012）03005807

Slabs Inplane Tensionbending Resistance System

of Thinwalled Openprofile

JIN Shenga，b ， LI Kaixia ， DAI Guoxina，b

(a. College of Civil Engineering; b. Key Laboratory of New Technology for Construction of Cities in Mountain Area，

Ministry of Education， Chongqing University， Chongqing 400045， P. R. China)

Abstract:In order to simplify the analyses of thinwalled openprofile bars， a thinwalled bar was split into two parts which were dominated by inplane and outplane loading effects respectively. The inplane loading effects were focused. On the basis of appropriate simplified stress and strain conditions， each plate was analyzed and the results were integrated into vectors， resulting in the slabs inplane tensionbending resistance system of thinwalled openprofile bars， which reflects their axial stretch/compression， bending and warping properties. And then the deformation equation and the stiffness equation were set up. Because longitudinal interaction forces between plates were introduced in the definition of the plates inplane bending moments， the deduction and conclusions here were consistent in form with those in bending theory. Principal axes directions， shear centers coordinates， principal inertia moments and sectorial inertia moment of thinwalled open sections can be deduced by the slabsdisassembled method proposed here. Lateral deformed bars analysis based on those sectional parameters in classical theory is proved to be inefficient， where additional “rigid contour hypothesis” has to be introduced.

Key words:thinwalled structures; slabsdisassembled method; warping; torsion; sectorial inertia moment; stiffness matrix

Vlasov［1］針對開口薄壁桿件所提出的經典理論通過引入扇性幾何特性和廣義力（雙力矩），反映不均勻翹曲對扭轉的顯著影響，未考慮翹曲剪應變及截面的畸變。包世華等［2］，Benscoter［3］，Kollbrunner等［4］采用翹曲函數θ(z)代替扭率φ′(z)表征翹曲沿桿長的分布，以計及翹曲剪應變對扭轉的的影響，對閉口截面桿件而言，該修正是必要的。文獻［5］研究了薄壁幾何特征參數對Уманский理論準確性的影響。文獻［6］基于KollbrunnerHajdin理論，提出薄壁桿件扭轉剛度矩陣，其扭角位移為雙曲函數。文獻［7］考慮沿壁厚均勻分布的正應變、剪應變（彎曲、翹曲及Bredt剪應變）以及沿壁厚線性分布的St. Venant剪應變，推導了彎扭聯合作用下不對稱截面薄壁梁四階變形微分方程，并建立有限元模型。文獻［8］通過構造位移函數列向量，對薄壁桿件的復雜變形微分方程進行降階，并利用求系數矩陣特征值和特征向量的方法求解方程，得到位移的精確插值函數。文獻［9］基于薄壁桿件理論，通過構建相容于Timoshenko梁理論（轉角位移與側向位移相互獨立）、相容于KollbrunnerHajdin假定（扭轉位移與翹曲位移相互獨立）的插值多項式，建立薄壁桿件單元的剛度矩陣。文獻［10］研究了開口薄壁型鋼檁條在偏心橫向荷載及復雜約束條件下考慮扭轉的桿件內力簡化計算方法。文獻［11］將圖論引入薄壁桿件結構計算，導出了計算扇性坐標、Bredt剪應力流、二次剪應力流及彎曲剪應力流的矩陣方程式。文獻［12］據此編制計算程序，驗證了其結論的正確性。上述研究均假設橫截面周線不變形，近年來，考慮截面畸變的計算理論，如廣義梁理論［13］、有限條法［14］等發展迅速。因薄壁桿件的變形及力因素均較多，不論考慮畸變與否，分析理論的建立過程均較復雜、抽象，例如通常需引入新的廣義力，需采用能量法建立變形方程等。分析理論的抽象性不利于對薄壁桿件力學特點的深入把握，限制了其應用水平［15］。對于薄平板，可以將其所受到的一般荷載分解為作用在中面之內的荷載和垂直于中面的荷載，分別按平面應力問題和薄板彎曲問題進行計算［16］。〖=D(〗金聲，等：開口薄壁桿的板件面內拉彎綜合抗力體系〖=〗

受此啟發，本研究將薄壁桿件的分析拆分為分別以中面內和中面外荷載效應為主導的2個相互獨立的部分，在分析中，對2部分分析的應力、應變和變形條件分別予以充分簡化，并采用靜力平衡法進行推導，以形成對薄壁桿件力學性質較為具體、直接的認識。本文探討組成開口薄壁桿件的各薄平板在中面內荷載作用下的荷載效應，利用矩陣運算將單肢板件的分析綜合為薄壁桿件的分析。結合分析，探討了開口薄壁桿件翹曲性質及其計算特點。作為應用舉例，提出了一種建立線性方程組求解薄壁截面幾何特性的方法。由于在分析中不將內力向中軸線凝聚，因此無需引入“剛周邊假定”，不排斥截面畸變變形可能。在引入板件面外荷載效應后，研究自然深化為考慮畸變的開口薄壁桿件分析。1分析模型及簡化假定

圖1(a)所示開口薄壁桿由n個板件組成，編號分別為1，2，…，n，分別交于n-1個脊線；該桿橫截面詳圖1(c)，截面中線上共n+1個關鍵節點，編號分別為(1)，(2)，…，(n+1)，其中(2)～(n)為板件截面中線交點；任意板件i截面上包含關鍵節點(i)和(i+1)，中線方向由關鍵節點(i)指向(i+1)。

圖1開口薄壁桿件分析模型

在板件面內荷載作用下的平面應力問題分析中，參考已有實用計算理論，不計中面的剪切應變γMxs和橫向拉伸應變εMs，只計縱向拉伸應變εMx。分析反映了板件縱向拉壓和面內彎曲性能，在薄壁桿的各組成板件上分別實施并綜合，得到其力學性能的一個重要組成部分，稱之為開口薄壁桿的“板件面內拉彎綜合抗力體系”。

在板件面外橫向荷載作用下的薄板彎曲問題分析中，采用薄板小撓度彎曲理論的Kirchhoff假定：不計形變分量εz、γsz、γzx，即假設板件中面的法線在板件彎曲時保持不伸縮，且保持為中曲面的法線；不計應力分量σz所引起的變形。將該分析應用于各板件并綜合，則得到桿件力學性能的另一個重要組成部分——“板件面外彎曲綜合抗力體系”，該體系的分析另文說明。2板件面內拉彎綜合抗力體系的變形方程2.1橫截面正應力場的等效合成和分解

在板件面內荷載作用效應分析中，由于只考慮沿板厚均勻分布的縱向拉伸應變，這個方向的應力和應變分別簡記為σ和ε，關系見式(1)，

σ=E·ε(1)

其中E為材料的彈性模量。

薄壁桿件的尺寸特點之一是板件長度遠大于寬度，可假設ε沿板件橫截面寬度方向線性分布，對于圖2所示任意板件i的橫截面，若已知關鍵節點(i)和(i+1)處的正應力σ(i)、σ(i+1)，則可確定該截面正應力的分布，而該正應力場可等效為作用在該板件2個關鍵節點上的軸向力iN(i)和iN(i+1)，見式(2)，

iN(i）

iN(i + 1） = iJ1 ·σ(i）

σ(i + 1）(2)

其中iJ1由這2個力系的合力與合彎矩分別相等的條件得到確定，其組成元素的取值取決于該板件的橫截面尺寸。

圖2板件i截面正應力及其等效軸向力

同理，對于由n個板件組成的開口薄壁桿截面，若已知所有關鍵節點處的正應力σ，則可確定該截面正應力的分布。將式應用于所有板件并綜合，得到該應力場所合成的作用在關鍵節點(1)，(2)，…，(n+1)的軸向力列向量，見式(3)，

N=J1·σ(3)

其中，N=(N(1)，N(2)，…，N(n+1))T，J1是n+1階對稱陣，σ=(σ(1)，σ(2)，…，σ(n+1))T。

2.2軸向力和軸向變形的分解

σ的合力值（也就是N的各元素之和）見式(4)，

=11×(n+1)·N(4)

其中，形如1i×j者為i行j列全1矩陣。

若作用于截面形心，產生均勻正應力，值見式(5)，

=A=J2·σ(5)

其中，A為橫截面面積，

J2=1A·11×(n+1)·J1。(6)

在截面正應力場σ中扣除該均勻正應力場，得到式(7)。

σTR=σ－·1(n+1)×1(7)

σTR仍可等效為作用在n+1個關鍵節點上的軸向力，見式(8)。

NTR=J1·σTR(8)

顯然，σTR的合力（亦即NTR的各元素之和）為0，即式(9)，

J2·σTR=0(9)

式(4)～(9)表明：橫截面的軸向力N可分解為和NTR，其中作用在截面形心，NTR軸向合力為0。該分解關系的數學形式見式(10)。

N = J1 ·1(n + 1)×1 ·+ NTR = J2 T· + NTR(10)

對截面正應變ε執行與σ相同的分解，見式(11)，

ε=·1(n+1)×1+εTR(11)

其中，ε=(ε(1)，ε(2)，…，ε(n+1))T。均勻正應變是作用下的截面應變，因為根據式(5)和(1)可知：

=J2·ε=EA，(12)

εTR是NTR作用下的截面正應變，εTR滿足：

J2·εTR=0，(13)

截面軸向變形u與正應變ε間具有微分關系：

u′=ε，(14)

其中，u=(u(1)，u(2)，…，u(n+1))T。若記：

=J2u(15)

則由式(15)、(14)和(12)，得到板件面內拉彎綜合抗力體系的軸向變形方程見式（16）。

′==EA(16)

2.2板件的面內彎矩定義推導

設開口薄壁桿各板件分別沿其橫截面中線方向作用有橫向荷載q1、q2、…、qn，在x截面處截取長度為dx的微段桿件。根據荷載情況，可知桿件任意橫截面軸向力合力為0，因此，該微段兩端截面處的軸向力分別是：NTR(x)、NTR(x+dx)。從微段桿件中任取板件i，該脫離體受力如圖3。直角坐標系xOiyi示于該圖，x軸沿桿長方向，yi軸沿橫截面中線方向。

圖3板件i微段脫離體受力分析

參照式(2)，在圖3中，脫離體兩端截面的正應力分別以其等效集中力形式iN(i)TR和iN(i + 1)TR表示。根據“板件面內拉彎綜合抗力體系”的應力、應變假定，相鄰板件間的相互作用力為脊線處的縱向剪力流，以分別作用在兩脊線上的軸向力F(i)、F(i+1)示于圖3，其值可根據相鄰板件的x向平衡得到式(17）、(18)。

F(i） = ∑ij = 1NTR(j)(x + dx)-NTR(j)(x)-

iNTR(i)(x +dx)-iNTR(i)(x)(17)

F(i + 1）=∑n + 1j=i+1NTR(j)(x + dx)-NTR(j)(x)-

iNTR(i + 1)(x +dx)-iNTR(i + 1)(x)(18)

該脫離體所受x向力的合力為0，合彎矩如式(19)，

iMFx z = Mbi ·{F(i）+［iNTR(i)(x +dx)-iNTR(i)(x)］}=Mi (x)-Mi (x + dx)(19)

其中：

Mi (x）=-Mbi ·∑ij = 1NTR(j)(x)(20)

為x截面處開口薄壁桿板件i的中面內彎矩，該內力為正時，使板件i中取出的微段向yi軸正向凸。

與桿件截面彎矩的傳統定義不同，定義(20)不僅包含橫截面正應力合彎矩，還反映了板件間縱向相互作用，可使薄壁桿分析得到簡化。

根據yi向力的平衡關系，可得式(21)。

qi=－ddxQi(21)

根據脫離體的力矩平衡，并略去二階項，得到式(22)。

Qi=ddxMi(22)

將式(21)和(22)應用于所有板件，并分別綜合，得到式(23)、(24)，

q=－ddxQ(23)

Q=ddxM(24)

其中，q=(q1，q2，…，qn)T、Q=(Q1，Q2，…，Qn)T、M=(M1，M2，…，Mn)T。

2.3橫向變形微分方程

板件i截面上的Mi可等效為一對作用在節點(i)和(i+1)的大小相等、方向相反的軸向力，如式(25)。

NTR(i)

NTR(i + 1)Mi =-1Mbi

1Mbi ·Mi (25)

式(25)應用于所有板件，并綜合，得到式(26)。

NTR=J3·M(26)

NTR的n+1個元素需滿足和為0的條件，因此從NTR到M的轉換關系并不唯一，例如，不妨將式(26)擴展為式(27)，

NTR=J4·0

┄

M(27)

其中J4為n+1階滿秩矩陣：

J4=(-JT2┊J3)(28)

所以：

M=J5·NTR，(29)

其中，J5是J4-1的后n行元素所構成的n行n+1列矩陣。

任意板件i，面內彎曲的曲率ρi滿足式(30）。

1ρi = εTR(i)-εTR(i + 1)Mbi (30)

式(30)應用于所有板件并綜合，并注意到板件i的橫截面中線向位移vi滿足式(31)。

v″i≈1ρi (31)

得到式(32)，

v″ =-JT3·εTR(32)

其中，v=(v1，v2，…，vn+1)T。

式(13)與式(32)聯立，可解得εTR，見式(33)。

εTR =-JT5·v″(33)

綜合式(29)、(3)和(33)，得到式(34)，

M=－E·J·v″(34)

其中：

J=J5·J1·JT5。(35)

式(34)形式上與平面彎曲梁的撓曲線近似方程一致，因此參照后者，本文稱J為開口薄壁截面的“板件面內彎曲綜合慣性矩”，J是對稱矩陣。

綜合式(23)、(24)和(34)，得到面內拉彎綜合抗力體系的橫向變形微分方程見式(36)。

q=E·J·vⅣ(36)3與經典理論的實例對比

設有一槽鋼桿件，截面如圖4所示。根據各板件截面寬度與厚度，由式(35)算得式(37)。

J=130.120.240.04

0.241.120.24

0.040.240.12×109(37)

圖4某槽鋼截面

從而可根據式列出桿件橫向變形微分方程如式(38)。

E·J·v1

v2

v3Ⅳ=q1

q2

q3(38)

在截面上任意選取原點S和相互垂直的方向y、z，建立平面直角坐標系ySz，如圖4。為與經典理論進行比較，假設桿件變形時橫截面滿足“剛周邊假設”，則截面上任意一點的橫向位移是隨S的y、z向平移vy、vz及繞S的x向轉角φ，因此：

(v1v2v3)T=T·(vyvzφ)T(39)

其中：

T=－cosαsinα－e1

sinαcosα－e2

cosα－sinαe1－400(40)

截面所受到的橫向力亦可向S點等效，得到y、z向力qy、qz及x向扭矩m，關系如式(41)。

(qyqzm)T=TT·(q1q2q3)T(41)

式(39)和(41)代入方程(38)，得到與(38)等效的方程見式(42)，

E·D·vy

vz

φⅣ=qy

qz

m(42)

其中：

D=TT·J·T。(43)

D為對稱陣，但通常并不是對角陣，表現為組成方程組的3個方程間具有相關性，不便于方程的求解。可通過指定特定的ySz坐標系，使D成為對角陣。此時D的非對角元素需滿足：

Dij=0(i≠j)。(44)

求解方程(44)，且不妨限制α的取值范圍為：0≤α<π2，得到e1、e2及α的唯一解：

e1=200

e2=－85.714

α=0 ，(45)

進而得到：

D=5.333×10700

03.733×1080

001.524×1012。(46)

對比文獻［17］可知，由式(45)所確定的點S是截面彎心、所確定的坐標方向是截面的主慣性軸方向；此時D的主對角線各元素分別是截面主慣性矩和主扇性慣性矩；此時方程組(42)的3個方程分別是：桿件在2個主慣性平面內的彎曲方程和1個約束扭轉方程（忽略了圣維南剪應力所對應的自由扭轉剛度），各方程間相互獨立。

上述分析表明，所提出的板件面內拉彎綜合抗力體系反映了開口薄壁桿的彎曲、翹曲及軸向拉伸（見式(16))的性質。上述分析還給出了一種列線性方程組求解薄壁截面特性的方法，該方法避免了復雜的積分步驟，便于程序化實施。

對比還表明，板件面內拉彎綜合抗力體系的變形方程未反映自由扭轉剛度的作用，這是因為該體系中未包含相應應力項，可通過2種措施解決：1）在“剛周邊假設”前提下，將純扭矩內力項GIkφ″加入方程(42)，或以其等效中面剪力形式加入方程(38)，即可得到與經典理論等效的變形方程，見文獻［18］；2）將板件面外彎曲綜合抗力體系（另文討論）與本文所討論的板件面內拉彎綜合抗力體系綜合，可全面反映荷載作用下薄壁桿件的拉壓、彎曲、扭轉、翹曲及畸變變形。4板件面內拉彎綜合抗力體系的單元剛度方程所提出的橫向變形方程組的系數矩陣雖然不具有對角化的形式，然而目前已不成為計算困難，而且該方程組在考慮了截面翹曲的情況下繼承了平面彎曲問題的計算特點，有利于從彎曲理論自然過渡到約束扭轉理論，下面以單元剛度方程的推導為例予以說明。

圖1所示長度為l的開口薄壁桿，x軸沿桿長方向由A端指向B端。將式(34)應用于桿端，可知支座彎矩反力：

MA =-E·J·vA″， MB = E·J·vB″。(47)

支座剪力反力是：

QA =E·J·vA″， QB =-E·J·vB″。(48)

根據式(36)，無結間橫向荷載桿件的橫向變形方程是：

E·J·vⅣ=0。(49)

若已知桿件左、右端截面各板件中線向位移vA、vB及作用在兩端截面各板件中面上的彎矩MA、MB，通過對式(49)的積分，可確定v(x)及其各階導數。例如：

E·J·v(x)=－1l(MA+MB)。(50)

再如，兩端截面處各板件的中面內轉角：

vA ′=13i-1·MA -16i-1·MB + 1l(vB -vA )

vB ′=-16i-1·MA + 13i-1·MB + 1l(vB -vA )。(51)

其中i為開口薄壁桿的板件面內彎曲綜合線剛度，

i=El·J。(52)

解聯立方程(51)，得到桿端彎矩；根據桿端彎矩，由式(50)和(48)，得到桿端剪力。另外，對式(16)沿桿長積分，得到：

A

B=EAl1－1

－11A

B(53)

綜上，得到單元剛度方程，該方程具有熟悉的形式：

AMA QA B MB QB = EAl 0 0 -EAl 0 0

0 4i 6il 0 2i -6il

0 6il 12il2 0 6il -12il2

-EAl 0 0 EAl 0 0

0 2i 6il 0 4i -6il

0 -6il -12il2 0 -6il 12il2AvA ′vA BvB ′vB (54)若嫌剛度方程(54)的桿端位移向量和力向量各元素意義不具體，可作進一步變換：

將式(26)代入(10)，得到任意截面內力的2種表達方式間的轉換關系：

N=(JT2J3 )·

M(55)

將式(55)應用于桿件兩端（注意內外力表達系統正方向約定的差異），得到桿端力的2種表達方式間轉換關系：

NA=－J4·A

MA，NB=－J4·B

MB(56)

若已知任意截面關鍵節點的軸向位移u，則可確定該截面各板件在中面內的轉角：

v′=－J3·u

綜合式(15)和(37)，得到截面位移的2種表達方式間轉換關系：

v′ =-J4 T·u(57)

式(58)可直接應用于桿件兩端，并與式(56)一起代入方程，單元剛度方程的形式得到更新：

NA

QA

NB

QB=KSITB·uA

vA

uB

vB(59)

板件面內拉彎綜合抗力體系的單元剛度矩陣KSITB為對稱陣。方程(59)的桿端位移向量和力向量的各組成元素物理意義明確具體，利于應用。5結論

采用單肢解析化方法分析了開口薄壁桿的板件面內拉彎綜合抗力體系，采用靜力平衡法推導了該體系的變形方程，與經典理論進行了實例對比。建立了開口薄壁桿件單元板件面內拉彎綜合抗力體系的剛度方程，以利應用，并籍此探討其計算特點。結論如下：

1）板件面內拉彎綜合抗力體系反映開口薄壁桿件的拉壓、彎曲和翹曲性質。基于此的單肢解析化方法可采用列線性方程組的方式求解彎心坐標、主扇性慣性矩等截面特性。

2）對比所提供的視角表明，剪力中心和扇性慣性矩是經典理論為方法的實用性所采取的措施和得到的結果。然而就目前的計算技術而言，意義己大為削弱，何況，系數矩陣對角化并不是求解線性方程組最具效率的數學措施。

3）在板件面內彎矩定義中考慮板件間縱向相互作用力，可使考慮翹曲的薄壁桿件計算繼承平面彎曲的計算特點。

單肢解析化的板件面內拉彎綜合抗力體系分析放棄了剛周邊假定，是彎曲理論的自然發展，有良好理論和計算表現，既能通過引入剛周邊假定兼容經典理論，也可進一步深化，考慮截面畸變效應。

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（編輯胡英奎）