非線性體系動力可靠性分析的等效Duffing體系法

作者簡介：張振浩（1980），男，博士，主要從事結構動力可靠度研究，（Email)zzh1949@163.com。摘要：等效線性化法是非線性結構體系的隨機反應分析最常用的方法，但使用等效線性化法給出的反應結果進行結構動力可靠性分析會帶來很大的誤差。將一般非線性體系通過均方最小誤差原則等效為Duffing非線性體系來進行結構動力可靠性分析。Duffing非線性體系可以通過FPK方程求得其穩態精確解析解，所以使用該等效非線性法進行結構動力可靠性分析不僅計算上方便可行而且精度較高。算例分析表明了等效非線性法分析結果可靠，且比等效線性化法的計算精度有明顯提高。

關鍵詞：非線性體系；動力可靠度；等效Duffing非線性體系；隨機振動；響應

中圖分類號：TU311.3；P315.9文獻標志碼：A文章編號：16744764（2012）03007006

Equivalent Duffing System Method of Nonlinear System

Dynamic Reliability Analysis

ZHANG Zhenhao， YANG Weijun

(School of Civil Engineering and Architecture， Changsha University of Science and Technology， Changsha 410076， China)

Abstract:Equivalent linear system method is the main method of nonlinear structural system random response analysis. While it would generate big error when the results of equivalent linear system method are used to analyze the structural dynamic reliability. Through minimum mean square error principle， general nonlinear system was converted to equivalent Duffing nonlinear system， based on which the structural dynamic reliability was analyzed. The accurate steady state analytic solution of Duffing nonlinear system can be worked out by FPK equation， so it is not only convenient but also accurate to analyze structural dynamic reliability by using the equivalent nonlinear system method. It is also shown that the analysis results of equivalent nonlinear system method presented here is reliable and the calculation accuracy is higher than equivalent linear system method apparently through the example analysis.

Key words:nonlinear system; dynamic reliability; equivalent Duffing nonlinear system; random vibration; response

非線性體系的動力可靠性問題具有重要的理論與實用意義。但考慮了結構非線性因素后，結構體系在隨機激勵下的隨機反應求解變得十分復雜，其動力可靠性分析的難度也就更大［1］。在非線性體系的隨機振動理論中，等效線性化方法是求解非線性系統隨機響應時應用得最廣泛的方法并且目前仍在得到不斷發展［26］。與精確解或數值模擬結果的比較表明，等效線性化方法所給出的二階矩精度通常是令人滿意的，但是，等效線性化方法給出的其它統計量，如相關函數、極值等可能是不可靠的。因此，等效線性化法給出的高安全界限時的超越統計量可能是嚴重錯誤的；又如對非線性阻尼系統，用等效線性化得到的首次超越概率與實際值之差可達數個量級［7］。

鑒于上述原因，學者們致力于尋求更好的近似方法。在這當中，等效非線性體系法實質上就曾經被采用過。等效非線性體系法的思想最早是由Caughey提出的［8］，但他提出的方法只適用于原體系是擬線性的情況。朱位秋等［910］建立一種適合于求解擬李亞普諾夫系統隨機響應的等效非線性系統法。該方法采用的“最佳”等效原則是使等效系統與原系統具有相同的平均能量變化規律（即具有相同的漂移和擴散系數）。筆者采用的等效非線性體系法將保留原體系的剛度非線性特征，而將非線性阻尼等效線性化，即將原非線性體系等效為具有線性阻尼、非線性剛度的結構體系，而這類具有線性阻尼、非線性剛度的非線性體系是可以通過FPK方程法求得其穩態反應過程的精確概率分布的。該方法對原非線性體系無特殊要求，具有普適性。〖=D(〗張振浩，等：非線性體系動力可靠性分析的等效Duffing體系法〖=〗1擬Duffing體系的等效非線性分析

1.1平穩激勵下2非線性體系間的等效分析

一般情形下的單自由度非線性體系的振動微分方程可表示為式(1)，

mX··(t)+g(X，X·)=F(t)

X(0)=X·(0)=0 （1）

式中，g(X，X·)表示關于X和X·的一般情形下的非線性函數。隨機激勵F(t)設為零均值、譜密度為S0的正態白噪聲。

設與方程（1）等價的非線性體系為式(2)所示的Duffing體系，

mX··(t)+ceX·+ke［X+εβ(X)］=F(t)

X(0)=X·(0)=0 （2）

式中，ce、ke分別為等效阻尼系數與等效剛度系數；ε為常數，當ε=0時結構退化為線性體系；β(X)為X的奇函數，且有limx→∞∫x0β(s)ds=∞。

體系之間的誤差可以用方程（1）與（2）之間的差值來表示，以e(t)表示：

e(t)=g(X，X·)－ceX·－ke［X+εβ(X)］（3）

誤差項e(t)也是一個隨機過程。為使等效體系最優地逼近原體系，等效準則采用使等效體系與原體系之間的絕對偏差為最小，對于隨機過程，等同于使e(t)的平方的均值（即e(t)的均方值）最小［11］。按此準則來確定等效參數ce與ke。

根據式（3），有

E［e2(t)］=E{g(X，X·)－ceX·－ke［X+εβ(X)］}2（4）

式(4)可以將E［e2(t)］看作是等效參數ce、ke的二元函數。根據多元函數求極值的方法，可知，要使E［e2(t)］取最小值就相當于要使式(5)成立。

E［e2(t)］ce=0

E［e2(t)］ke=0 （5）

根據式(5)，并利用求數學期望與求導運算間的可交換性，最終整理可得式（6）。

E［X·g(X，X·)］－ceE(X2·)－ke{E(XX·)+

εE［X·β(X)］}=0

E［Xg(X，X·)］+εE［β(X)g(X，X·)］－

ce{E(XX·)+εE［X·β(X)］}－keE{［X+

β(X)］2}=0 （6）

將式（6）聯立組成關于ce和ke的方程組，由此求得等效參數ce、ke，見式(7)。

ce=E［X·g(X，X·)］E{［X+εβ(X)］2}－E［Xg(X，X·)］{E(XX·)+εE［X·β(X)］}－εE［β(X)g(X，X·)］{E(XX·)+εE［X·β(X)］}E(X2·)E{［X+εβ(X)］2}－{E(XX·)+εE［X·β(X)］}2

ke=E［X·g(X，X·)］{E(XX·)+εE［X·β(X)］}－E［Xg(X，X·)］E(X2·)－εE［β(X)g(X，X·)］E(X2·){E(XX·)+εE［X·β(X)］}2－E(X2·)E{［X+εβ(X)］2}（7）

由式（7）可見，要求解等效參數ce、ke，必須知道上式右端的那些數學期望。在不作任何假設的情況下，這些期望值是很難求得的，因為這需要知道反應X(t)和X·(t)聯合概率分布，而這是未知的。

因為激勵F(t)為平穩過程，若略去反應過程的過渡階段，直接考慮穩態下的反應狀況，此時根據平穩過程與它的均方導數在同一時刻上總是互不相關的這一結論，可知平穩位移反應X(t)和速度反應X·(t)互不相關，因此有E［X(t)X·(t)］=0。于是，式（7）可簡化為式(8)。

ce=E［X·g(X，X·)］E{［X+εβ(X)］2}－E［Xg(X，X·)］·εE［X·β(X)］－ε2E［β(X)g(X，X·)］·εE［X·β(X)］E(X2·)E{［X+εβ(X)］2}－ε2E2［X·β(X)］

ke=E［X·g(X，X·)］·εE［X·β(X)］－E［Xg(X，X·)］E(X2·)－εE［β(X)g(X，X·)］E(X2·)ε2E2［X·β(X)］－E(X2·)E{［X+εβ(X)］2} （8）

進一步，若參數ε1，則可近似地直接略去ε的高階項，于是ce、ke可簡化為式(9)。

ce=E［X·g(X，X·)］E(X2)+2εE［X·g(X，X·)］E［Xβ(X)］－εE［Xg(X，X·)］E［X·β(X)］E(X2·)E(X2)+2εE(X2·)E［Xβ(X)］

ke=E［Xg(X，X·)］E(X2·)－εE［X·g(X，X·)］E［X·β(X)］+εE［β(X)g(X，X·)］E(X2·)E(X2·)E(X2)+2εE(X2·)E［Xβ(X)］ （9）在隨機等效分析中，通常用等效體系反應的聯合概率密度來代替原體系反應的聯合概率密度來確定式（7）、（8）或（9）中的數學期望值。由于式（7）、（8）或（9）中的數學期望值是由等效非線性方程（2）得出的，因此這些期望的表達式中將總含有ce和ke。所以，與等效線性化方法類似，等效非線性化方法中，為最終得到ce和ke的具體值，通用的方法是采用迭代法求解：首先假設ce和ke的初值；然后將其代入等效方程（2），由FPK方程法求出反應X(t)和X·(t)的一階矩、二階矩以及二階聯合矩；再由式（7）或（8）或（9）求出第一次迭代的ce1和ke1；如此重復以上步驟，直到求得滿足收斂準則的ce、ke終值；最后，由ce、ke終值代入等效方程（2），將求得的解作為原非線性體系的近似解。

1.2非平穩激勵情形的討論

對于非平穩隨機激勵的情況，由式（7）、（8）或（9）可明顯看出，由于ce、ke直接與反應的統計矩有關，而非平穩反應的統計矩是時間t的函數［12］，因此，體系的等效參數是隨時間而變化的，即有

ce=ce(t)，ke=ke(t)（10）

此時，等效阻尼和等效剛度以及反應統計矩，就需要從t1=Δt的離散時刻起按以上步驟迭代計算，直到計算到所需要的時刻tk=kΔt。2結構動力可靠度

通過等效非線性分析將原非線性體系等效為Duffing體系后，可通過FPK方程求得體系的聯合概率密度，于是可以方便地采用經典Poisson過程法求得體系的動力可靠度。

Poisson過程法計算基于首次超越破壞機制的動力可靠度基本公式可表示為式(11)［13］，

Ps(b1，－b2)=exp{－∫T0［v+b1(t)+v－b2(t)］dt}（11）

式中，b1、－b2為雙側安全界限，T為時段長，v+b1(t)、v－b2(t)為反應過程與安全界限的交差速率，可由賴斯公式計算見式(12)，［13］

vb(t)=∫∞－∞x·fXX·(b，x·，t)dx·（12）

式中，fXX·(x，x·，t)為反應過程X(t)與其導數過程X·(t)的聯合概率密度函數。3算例

考慮van der Pol振子受高斯白噪聲激勵，

X·(t)+ε′［－1+X2(t)］X·(t)+X(t)=ε′W(t)（13）

式中，W(t)是譜密度為S0的高斯白噪聲，ε′為常參數。試基于首次超越破壞機制分析該非線性體系的動力可靠性。

體系（13）為一復雜非線性體系，首先構造與其等價的非線性體系見式(14)，

X··(t)+ceX·(t)+ke［X(t)+εX3(t)］=ε′W(t)（14）

式中ce、ke為根據2體系間的誤差最小的準則確定的等效參數。在體系（14）中，它們有明確的物理意義，即ce、ke分別為當ε=0時Duffing體系退化為線性體系時的阻尼系數和剛度系數。

3.1等效參數的求解

根據式（9）求出ce、ke的表達式。經比較知：

g(X，X·)=ε′(－1+X2)X·+X，β(X)=X3

于是，根據數學期望的運算性質，式（9）中的各項期望可求得為

E［X·g(X，X·)］=－ε′E(X2)+ε′E(X2X2·)

E［Xβ(X)］=E(X4)

E［Xg(X，X·)］=ε′E(X3X·)+E(X2)

E［X·β(X)］=E(X3X·)

E［β(X)g(X，X·)］=－ε′E(X3X·)+ε′E(X5X·)+

E(X4)

由以上各式可見，需要求解的各階矩有：E(X2)、E(X2·)、E(X4)、E(X2X2·)、E(X3X·)、E(X5X·)。對于高階矩，采用正態降階法［14］將其X或X和X·的前二階矩表示出來：

E(X4)=3［E(X2)］2，E(X2X2·)=E(X2)E(X2·)

E(X3X·)=3E(XX·)E(X2)=0(對平穩反應有E(XX·)=0)

E(X5X·)=5E(XX·)E(X4)=0(對平穩反應有E(XX·)=0)

經過化簡計算，等效參數ce與ke最終可表示為反應均方值E(X2)的函數見式(15)和式(16)。ce=［－ε′E(X2·)+ε′E(X2)E(X2·)］E(X2)+2ε［－ε′E(X2·)+ε′E(X2)E(X2·)］·3E2(X2)E(X2)E(X2·)+2εE(X2?)·3E2(X2)=

ε′［－1+E(X2)］（15）

ke=E(X2)E(X2·)+ε·3E2(X2)·E(X2·)E(X2)E(X2·)+2εE(X2·)·3E2(X2)=1+3εE(X2)1+6εE(X2)（16）3.2等效體系的隨機反應求解

根據FPK方程法求解等效非線性體系（14），結

果如表1所示。

表1等效體系（14）的解析解

位移反應與速度反應的聯合概率密度pXX·(x，x·)=Cexp［－ceπε′S0(12x2·+12kex2+ε4kex4)］位移反應過程X(t)的邊緣分布密度pX(x)=C2πkeσX0exp［－1σ2X0(12x2+ε4x4)］速度反應過程X·(t)的邊緣分布密度pX·(x·)=12πσX0·exp(－x2·2σ2X0·)期望E［X(t)］=0，E［X·(t)］=0方差σ2X≈σ2X0－3εσ4X0，σ2X·=πε′S0ce位移反應均方值E(X2)=πε′S0ceke－3επ2ε′2S20c2ek2e

表中，常數C由歸一化條件確定，C=12πkeσX0{∫∞－∞exp［－1σ2X0(12x2+ε4x4)］dx}－1；σ2X0和σ2X0·表示，體系（14）當ε=0時退化為線性體系時的位移反應X0(t)和速度反應X0·(t)的平穩方差，這2個方差由線性隨機振動分析理論可求得，見式(17)。

σ2X0=πε′S0ceke，σ2X0·=πε′S0ce（17）

根據表中結果，可得式(18)。

ce=－ε′+πε′2S0ceke－3επ2ε′3S20c2ek2e

ke=1+3επε′S0ceke－9ε2π2ε′2S20c2ek2e1+6επε′S0ceke－18ε2π2ε′2S20c2ek2e （18）

式(18)即是關于ce和ke的二元方程組，但難以求其解析解，只能通過數值方法求數值解。確定ce和ke值后，再將其反代入表1中的各式即得各項隨機反應結果。

3.3分析結果及討論

文獻［9］給出了van der Pol振子的近似聯合概率密度函數，為式(19)，

fXX·(x，x·)=［π2πS0erfc(－2S0)］－1exp［－18S0(x2+x2·－4)2］（19）

其中erfc(·)為余補誤差函數，erfc(x)=1－erf(x)=2π∫∞xexp(－m2)dm。經與數值結果的對比表明，在ε′為小參數時式（19）給出的結果是精度較高的。

以下就將本文的計算結果與式（19）的結果以及等效線性化法分析的結果進行比較。若取參數ε=0，因為等效非線性體系退化為了線性體系，所以此時可以得到將原非線性體系等效線性化分析的結果。

由表2計算結果對比可以看到，等效非線性法給出的計算結果與文獻［9］的結果甚接近，結果是可靠的。此外，與等效線性化分析結果的比較表明，等效非線性分析所給出的結果精度確有提高，而且有隨著等效體系非線性參數ε的增大，其計算結果精度也有提高的趨勢。因此，等效非線性分析方法是可行的。由表3的計算結果可見，若將原非線性體系等效為線性體系分析其動力可靠性，誤差確實比較大，結果與采用MonteCarlo數值模擬法［15］的計算結果吻合較好，等效非線性法的計算結果精度明顯提高。

表2隨機反應分析結果對比

ε′0.050.20ε0.00.20.50.00.20.5方法等效線性化文獻［9］本文方法文獻［9］本文方法等效線性化文獻［9］本文方法文獻［9］本文方法E(X)0000000000σ2X0.276 30.349 60.305 30.349 60.315 70.564 50.671 20.614 30.671 20.654 7E(X·)0000000000σ2X·0.351 60.698 50.568 40.698 50.604 70.695 20.726 50.702 90.726 50.743 6表3動力可靠度計算結果對比

ε′0.050.20ε0.00.20.5方法等效線性化本文方法本文方法MonteCarlo

模擬法0.00.20.5等效線性化本文方法本文方法MonteCarlo

模擬法體系動力可靠度0.895 40.939 80.945 40.971 50.854 50.946 50.957 30.978 8

4結論

非線性體系的動力可靠性分析精度的高低，其關鍵在于體系的隨機反應分析的精度高低。本文提出的基于等效Duffing體系的等效非線性化法，將具有一般普遍性的非線性體系等效為線性阻尼而剛度非線性的這一類可以通過FPK方程求得其精確穩態聯合概率密度函數的非線性Duffing體系。算例分析表明，本文方法的計算結果精度較之等效線性化法的精度要好，提高了非線性體系動力可靠性分析結果的精度。此外，由于所采用的等效非線性體系中含有可控制體系非線性強弱的參數ε，因此改變ε值的大小便可容易獲得將原非線性體系等效為不同強弱非線性體系時的分析結果；特別的，當取ε為零，便可得到等效線性化的分析結果。這對于問題的研究頗為方便。而ε的最佳取值問題，即ε取多大值時能夠獲得精度最高的非線性體系可靠度計算結果，這將是需要進一步開展的研究工作。

最后應指出，分析過程中為了簡化計算，略去了小參數的高階項，同時處理高階反應矩時所采用的正態降階法也采用了一些近似假設，這些將會對計算結果的精度產生一定影響。

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（編輯胡玲）