導數的應用典型錯解剖析

導數作為一種工具，利用其求函數的單調性、極值、最值、和切線的方程時極為方便.但是筆者在教學過程中，發(fā)現導數的應用還存在許多誤區(qū).

1 過點的切線與圖象上某一點的切線混淆

例1 曲線f( x )=4x的切線過點?

??83，

43???，

求切線方程.

錯解 ∵f’( x )=?4x?2，∴f’?

??83???=1

96，

∴過點

???83，

34???的

切線的斜率為

196，

由直線方程的點斜式可得切線方程為y?43=

196???x?83???，

即：27x?48y?8=0.剖析 錯誤的原因是直接認為點

???83，

3

4???在曲線上，從而由導數求出該點的切線斜率，這是錯誤的.把點

???83，

43???代

入曲線方程，驗證該點不在曲線上，所以

應先求出切點坐標，再求切線方程.所以在求曲線的切線之前應先判斷給出的點是否在曲線上.

正解 設切點為(x0，y0)，則y0

=x40

…①

∵f’( x )=?4x?2， ∴f’( x0)=?4x0?2.∴切線方程為：y?y0

=?4x0?2(x?x0)，

又該切線過點

???83，

43???，

∴43?y0

=?4x0?2?

??3

8?x0???…

②，

由①②可得

???xy

00

==22或

???xy

00

==14，

.

∴切線方程為：x+y?4=0或x+4y?8=0.

2 f′( x0)為極值的充要條件理解不清

例2 函數f( x )=x3+ax2+bx+a2在x =1處有極值10，求a，b的值.

錯解 f′( x )=3x2+2ax+b，由題意知f′(1)=0，且f(1)=10，即2a+ b +3 = 0，且a2+a+b +1 = 10，解之得a =4，b =?11，或a =?3，b =3.

剖析 錯誤的主要原因是把f′( x0)為極值的必要條件當作了充要條件，f′( x0)為極值的充要條件是f′( x )=0且x0附近兩側的符號相反，所以后面應該加上：當a =4，b =?11時，

f′( x )=3x2+8x?11(3x+11)(x?1)，

在x =1附近兩側的符號相反，∴a =4，b =?11.

當a =?3，b =3時，f′( x )=3(x?1)2， 在x =1附近兩側的符號相同，所以a =?3，b =3舍去.

3 函數單調的充要條件理解不清

例3 已知函數f( x )=a xx++21在(? 2，+∞)內單調

遞減，求實數a的取值范圍.錯解f′( x )=(2xa+?21

)2

，由函數f( x )在(? 2，+∞)內單調遞減知f′( x )≤0在(? 2，+∞)內恒成立，即(x2a+?

2)

1

2

≤0在(? 2，+∞)內恒成立，因此a≤12.

剖析 錯誤的主要原因是由于對于函數f( x )在D上單調遞增（或遞減）的充要條件是f′( x )≥0 (或f′( x )≤0)且f′( x0)在D上任一子區(qū)間上不恒為零沒有理解清楚.而當a =12時，f′( x )=0在(? 2，+∞)恒成立，所以不符合題意，所以舍去.