2000年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽加試平面幾何題的推廣

原題【2000年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽加試試題】如圖1，在銳角三角形ABC的BC邊上有兩點(diǎn)E，F(xiàn)，滿足∠BAE=∠CAF，作FM⊥AB，F(xiàn)N⊥AC（M， N是垂足），延長AE交△ABC的外接圓于D.求證：四邊形AMDN與ΔABC的面積相等.

文[1][2]對以上問題給出了多種證法，歸納起來主要是根據(jù)三角形面積等積變換，構(gòu)造相似形，利用正弦定理等技巧解決問題.不同解法在解答的過程中，都主要把FM⊥AB，F(xiàn)N⊥AC這一“兩垂直”的條件用于證明A，M，F(xiàn)，N四點(diǎn)共圓，從而運(yùn)用圓的知識解決問題.考慮到平面四點(diǎn)共圓并不需要“兩垂直”這么強(qiáng)的條件，因此筆者把“兩垂直”的條件弱化為兩角相等，可證以下推廣依然成立.

推廣1 如圖2，在銳角三角形ABC的BC邊上有兩點(diǎn)E，F(xiàn)，滿足∠BAE=∠CAF，在AB，AC邊分別取點(diǎn)M，N，滿足∠AMF=∠FNC，延長AE交△ABC的外接圓于D.求證：四邊形AMDN與△ABC的面積相等.

證明 如圖連結(jié)MN，與AE交于點(diǎn)H.

∵∠AMF=∠FNC=α，∴A， M，F(xiàn)， N四點(diǎn)共圓，∠FMN=∠FAC=∠BAE.

∴∠AHN=∠MAH+∠AMH=∠FMN+∠AMH=∠AMF=α.∵∠BAD=∠CAF，∠ADB=∠ACF，

∴ΔABD～ΔAFC，A ACD=AAFB.∴AB? AC=AD? AF.

又∵A， M，F(xiàn)， N四點(diǎn)共圓，由正弦定理得：

sin∠AAFMF

=2R=sin∠MMNAN

，

∴AF=sMin

N∠sMi

nA

αN

.∴SΔABC=21AB? ACsin∠BAC=12AD? AFsin∠BAC=12ADsMin

N∠sMi

nA

αNsin∠BAC

=12AD? MNsinα=S四邊形AMDN

.

∴四邊形AMDN與ΔABC的面積相等.

原題的條件中，由于∠BAE=∠CAF，因此BE與FC是等角共軛的兩段線段.根據(jù)等角共軛還包括這兩個角是在△ABC外面的情形，因此，筆者在推廣1的基礎(chǔ)上，再進(jìn)行如下推廣：

推廣2 如圖3在銳角三角形ABC的BC邊延長線上有兩點(diǎn)E，F(xiàn)，滿足∠BAE=∠CAF，在AB，AC邊延長線上分別取點(diǎn)M，N，滿足∠AMF=∠FNP，連結(jié)AE與△ABC的外接圓交于D.求證：凹四邊形AMDN與△ABC的面積相等.證明 如圖，連結(jié)MN，與DA延長線交于點(diǎn)H.∵∠AMF=∠FNP=α，

∴A， M， F， N四點(diǎn)共圓，∠AMN=∠AFN.又∵∠MAH=∠BAE=∠CAF，

∴∠AHN=∠MAH+∠AMH=∠NAF+∠AFN

=∠FNP=α.

∵∠ADB+∠ACB=∠ACF+∠ACB=180°，∴∠ADB=∠ACF.又∵∠BAD=∠CAF，∴△ABD～△AFC，AADC=AAFB.

∴AB? AC=AD? AF.又A， M， F， N四點(diǎn)共圓，由正弦定理得：

sin∠AAFMF

=2R=sin∠MMNAN

，

∴AF=sMin

N∠sMi

nA

αN

.

∴SΔABC

=12AB? ACsin∠BAC=12AD? AFsin∠BAC

=12AD

sMinN∠

sMi

nA

αNsin∠BAC=12AD? MNsinα

=S四邊形AMDN

.

∴四邊形AMDN與△ABC的面積相等.

注 筆者在研究的過程中發(fā)現(xiàn)，若點(diǎn)M是在AB邊內(nèi)，而點(diǎn)N是在AC邊延長線上，則原題所求四邊形與三角形的面積就不一定相等了，其中原因，留待有興趣讀者作進(jìn)一步的研究.

參考文獻(xiàn)

[1]葉迎東.2000年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽平面幾何題的三種證法.數(shù)學(xué)通訊，2001（2）：89

[2]鄒發(fā)明.2000年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽加試平面幾何題的5種證法.數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2001（11）：48