也談“直覺”的魅力

直覺，是指人們不受邏輯規(guī)則約束直接領(lǐng)悟事物本質(zhì)的一種思維方式.它的魅力是具有快速性和跳躍性.例如，一位數(shù)學教師在黑板上出了一道有一定難度的幾何題，題目剛寫完，就見一名學生沖上去，添加一條輔助線就將問題證出了.老師問：“你是怎么想的？”學生直搖頭.“那你為什么要添加這條輔助線的？”“我也說不清楚，只是一看題就知這么做是對.”這就是直覺產(chǎn)生的魅力，它讓你狂喜，它讓你振奮，它讓你產(chǎn)生意想不到的收獲.而從廣義上，它還是創(chuàng)造性思維的基礎(chǔ)，而創(chuàng)造性人才是急速發(fā)展的中國最需要的.由此可見它的重要意義了.因此在教學上多留意一點對學生直覺的培養(yǎng)和熏陶也就大有必要了.現(xiàn)在筆者將平時培養(yǎng)學生“直覺”所得的一點體會展示給讀者或同行，供大家分享，也許還會從中得到一點啟示.

D

C

1 由題設(shè)中給的數(shù)據(jù)產(chǎn)生“直GFP

覺”RK

例1 正方形ABCD、正方形ABEN BEFG和正方形RKPF的位置如圖所示.點G在線段 DK上，正方形BEFG的邊長為4cm，則△DEK的面積為__cm2.

評注：此題給的三個正方形中除了正方形BEFG的邊長為4cm已知外，其他兩個只是位置上與正方形BEFG關(guān)系，但大小根本沒有確定，而結(jié)論又是△DEK的面積為一個定值.因此我們不防可以產(chǎn)生“直覺”，這個面積必只與正方形BEFG面積有關(guān)系，而且再結(jié)合△DEK與正方形BEFG兩個圖形所占平面大小，基本可以判斷三角形的面積必與正方形BEFG面積相等，即定值確定.而事實是；設(shè)DC=x，F(xiàn)P=y，則CG=x?4.由DC: GP=CG: PK可得x=y+4分別延長PK、AE交于N點，則SΔDEK

=S正方形ABCD+S矩形BNPG

?SΔDAE?SΔDCG?SΔGPK?SΔKEN

=x2+4(y+4)?12x( x+4)?12(x?4)x?12y(4+y)?12y(4?y)①，再結(jié)合上面得出的x=y+4②，

由①、②結(jié)合通過計算x，y互相抵消，最后得出SΔDEK=16cm2，可見通過嚴格的演繹推理計算，事實與直覺判斷一致，這就是“直覺”的魅力——直覺不僅讓我們預(yù)測了答案，而且為本題提供了一定的解題信息及策略，真是妙哉，一舉兩得！

2 由題設(shè)中給的圖形結(jié)構(gòu)產(chǎn)生“直覺”

例2 如圖，ZO直徑EF為10cm，AGB弦AB、CD分別為6cm，8cm且E

12OF

AB//EF//CD，則圖中陰影部分面積之CHD和為_______cm2.

評注：從圖形的結(jié)構(gòu)中可以看出所

A

B

求的兩個陰影部分都是不規(guī)則的圖形，求出他們部分的面積.感覺難度相當

E

C

O

D

F

大，但從圖形結(jié)構(gòu)上及直觀上給我一個

“直覺”，好像陰影與非陰影部分各占的面積相等，而

S陰=12SZO=2

25πcm2.而事實是：圖(2)中陰影部分面積與圖（3）中的陰影部分面積顯然相等，又由△OAG?△COH得出∠1+∠2=90°，也即∠AOB+∠COD=180°，也就是圓（3）中扇形AOB與扇形COD的面積之和剛好占全圓面積的一半，所以S陰=12SZO

=2 1?π?52=2

25πcm2.啟示：“直覺”它幫助

我們更加了解圖形的結(jié)構(gòu)，啟發(fā)我們?nèi)绾螌λ鉀Q的問題進行如何轉(zhuǎn)化，是為我們解題指引了方向，這就是直覺的又一個魅力.E

3.由題設(shè)圖形特殊性產(chǎn)生“直覺”F

D1

H3

例3 已知如圖，△ABC中，C

2

G

4

以邊AC、BC向外作正方形

A

B

ACEF，正方形CBGH.連結(jié)BE、AH且交于D點，求∠HDB的度數(shù).

評注：由已知的圖中可知給出的是兩個正方形，而正方形是具有四邊相等的且四個角為直角的特殊圖形.再結(jié)合圖形的表象，讓我們又產(chǎn)生一個“直覺”：∠HDB必為一個直角.而事實是：由△ACH?△BCE得∠1=∠2，又正方形CBGH圖形割補的結(jié)果：∠4+∠1+∠3=180°，又由于四邊形DBGH內(nèi)角和為360°，及∠G=90°，所以∠HDB=90°，可見經(jīng)過推理計算與我們的直覺吻合了，又是一次直覺讓我們成功.

4.由題設(shè)圖形的任意性產(chǎn)生“直覺”

例4 如圖，△ABC是等邊三角形，∠BDC=120°，∠1=60°，等邊ΔABC的邊長為2 3，DB=DC，求△DMN的周長.

評注：由題設(shè)有∠MDN=60°，為定值，但∠MDN是允許在∠BDC內(nèi)以D點為支點任意旋轉(zhuǎn)而成的，因此兩邊的M，N兩點完全具有任意性.因此求△DMN的周長時，讓我們又產(chǎn)生了這樣的直覺：△DMN的周長不僅是可求定值，而且因為圖形的任意性特點，完全可以把△DMN轉(zhuǎn)到特殊位置從而輕易地找到所要的定值.

A

A( M)

M

N

B

C

B

C( N )

E

2 41

D

3

D

而事實是將△DCN繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)120°得△DBE，則DE=DN，BE=CN，∠2=∠3，M，B，E共線（因為∠DCN=∠DBM=90°）.

因為∠BDC=120°，∠1=60°，所以∠3+∠4=60°，所以∠2+∠4=∠1，又因為DM是公共邊，

所以△DME?△DMN( SAS).

所以ME=MN，所以BM+CN=MN，

有了BM+CN=MN后再把∠MDN旋轉(zhuǎn)至M點與A點重合，N點和C點重合，可知∠ADC =60°，即∠MDN還是為60°，條件成立，條件成立且∠ACD=90°.又AC =2 3，所以DN =2，AD=4. 結(jié)果是△ADC周長=2+4 + 2 3=6 +2 3，即為△DMN的周長.又是直覺體現(xiàn)的魅力，妙哉！