Haar小波求解Fredholm-Volterra方程

摘要：本文運用Haar小波求解Fredholm-Volterra方程，建立了Haar小波的算子矩陣，利用Haar小波方法求解積分方程的基本思想是將求解積分方程的問題轉化為求解一組代數方程組的問題。由于積分方程多出現在物理、工程等諸多應用性研究領域，且解析解難以求出，因此研究其數值解具有重要意義。

關鍵詞：Haar小波 算子矩陣 Fredholm-Volterra方程

1 Haar小波與算子矩陣

1.1 Haar小波

Haar尺度函數為

h0（t）=1，0≤t<10，其它

定義母小波函數為

h1（t）=1，0≤t<1/2-1，1/2≤t<10，其它

h1（t）的伸縮和平移生成小波函數族

hn（t）=h1（2jt-k） （1）

其中n=2j+k，j≥0，0≤k<2j前八個Haar小波函數如圖1所示。

■

如圖1:前八個Haar小波函數hn（t），n=0，1，……，7

Haar小波都是相互正交的，即

■hm（t）hn（t）dt=2-jδmn=2-j，m=n=2-j+k0，m≠n

1.2 函數逼近

任一函數f（t）∈L2[0，1）可展開成Haar級數

f（t）=■cnhn（t） （2）

系數cn由下式確定

cn=2j■f（t）hn（t）dt （3）

n=2j+k，j≥0，0≤k<2j特別地，c0=■f（t）dt.

f（t）的級數展開式包含無限多項，如果f（t）本身是分段連續的，或者在每個子分區間上都可以近似地看成是分段連續的，那么f（t）可用有限多項近似表示，即

f（t）≈■cnhn（t）=C■■■（t） （4）

系數向量C■■和Haar函數向量■（t）為

C■■=[c0，c1，…cm-1]

和h （m）（t）=[h0（t），h1（t），…，hm-1（t）]T，

m=2j符號T代表矩陣的轉置。

設k（t，s）是兩個獨立變量t∈[0，1），s∈[0，1）的函數，則它的m階Haar展開為，

k（t，s）≈■■auvhv（t）hu（s）， (5)

auv=2i+q■■k（t，s）hv（t）hu（s）dtds (6)

其中u=2i+j，i≥0，0≤j<2i，v=2q+r，q≥0，0≤r<2q.

由此可得k（t，s）≈h■■（t）K■（s） (7)

其中k≈｛＜auv＞■■｝ (8)

1.3 積分算子矩陣

定義

■=■■（1/2m），■（3/2m），…，■（(2m-1)/2m）■ (9)

其中■=[１]，■=1 11 -1.

例如選擇配置點t=n/8，n=1，3，5，7，則

■（1/8）=［1，1，1，0］T，■（3/8）=［1，1，-1，0］T，

■（5/8）=［1，-1，0，1］T，■（7/8）=［1，-1，0，-1］T.

或表示成矩陣形式

■=[■（1/8），■（3/8），■（5/8），■（7/8）]=1 1 1 11 1 -1 -11 -1 0 00 0 1 -1.

Haar函數向量■（t）的積分為

■■（t）dt=■■（x），x∈（0，1]， （10）

其中■是m階的算子矩陣，并且

■ =■2mP■ -H■H■■ 0. （11）

((11)式的證明見[3])，P■=[1/2]，由(11)式得

P■=■2 -11 0，P■=■8 -4 -2 -24 0 -2 21 1 0 01 -1 0 0，

P■=■32 -16 -8 -8 -4 -4 -4 -416 0 -8 8 -4 -4 4 44 4 0 0 -4 4 0 04 4 0 0 0 0 -4 41 1 2 0 0 0 0 01 1 -2 0 0 0 0 01 -1 0 2 0 0 0 01 -1 0 -2 0 0 0 0，

由H■=[1]，P■=[1，2]，可得

H■■=（1/m）H■■diag（1，1，2，2，■，…，■）(12)

m=2a（a是正整數），并且，兩個Haar函數的內積可表示為

■h■（t）h■■（t）dt=D. (13)

其中

D=diag（1，1，1/2，1/2，■，…，■）.(14)

1.4 乘積算子矩陣

設Haar函數的乘積矩陣為[4]

h■（t）h■■（t）=M■（t）. (15)

定義■a（t）=[ha（t），h1（t），…，hm/2-1（t）]T.

■b（t）=[hm/2（t），hm/2+1（t），…，hm-1（t）]T.

則Mm（t）=M■（t） H■ding■■（t） ding[■■（t）]H■■ ding[H■■■■（t）]. (16)

其中M1（t）=[h0（t）]

Mm（t）C■=■■h■（t）. (17)

定義

■■（t）=[c0（t），c1（t），…，cm/2-1（t）]T. (18)

■■（t）=[cm/2（t），cm/2+1（t），…，cm-1（t）]T (19)

則■■=■■ H■ding[■■] ding[■■]H■■ ding■■■■■Hm/2]. (20)

2 Haar小波求解非線性Fredholm-Volterra方程

考慮非線性Fredholm-Volterra方程

y（x）=f（x）+λ1■k1（x，t）[y（t）]pdt+λ2■k2（x，t）[y（t）]qdt，0≤x，t≤1. (21)

其中f（x）∈L2（0，1），λ1，λ2是任意參數，k1（x，t），k2（x，t）∈L2（[0，1]×[0，1]），p，q為非負整數.

將y（x），k1（x，t），[y（t）]p，k2（x，t），[y（t）]q分別展開成Haar小波函數[3-6]，即

y（x）≈H■■（x）Y， (22)

k1（t，x）≈H■■（x）K1h■■（t），[y（t）]p≈H■■（t）Ｙ■■， (23)

k2（t，x）≈H■■（x）K2h■■（t），[y（t）]q≈H■■（t）Ｙ■■， (24)

其中Ｋ１，Ｋ２均可由(8)式給出，Ｙ■■，Ｙ■■分別為Y中元素的線性組合所構成的列向量，以m=4為例，給出Ｙ■■的具體形式

Ｙ■■=y■■+y■■+y■■+y■■ 2y■y■ 2y■y■+2y■y■ 2y■y■-2y■y■

把(22)-(24)式代入到方程(21)中，則

h■■（x）Y=f（x）+λ1■h■■（x）k1h■■（t）h■■（t）Ｙ■■dt+λ2■h■■（x）k2h■■（t）h■■（t）Ｙ■■dt (25)

類似于(17)求解■的推導，可求得■使得

h■■（t）h■■（x）Ｙ■■=■■h■■（t），

因此原方程可變為

h■■（x）Ｙ=f（x）+λ1h■■（x）k1■■■h■■（t）h■■（t）dt+λ2h■■（x）K2DＹ■■， (26)

其中矩陣D參見(13)

利用(10)式，可得

h■■（x）Ｙ=f（x）+λ1h■■（x）k1■■P■■h■■（x）+λ2h■■（x）K2DＹ■■， (27)

在區間［０，１］上插入m個配置點，即｛xi｝■■，從而可得到下列方程組：

h■■（x1）Ｙ=f（x1）+λ1h■■（x1）k1■■P■■h■■（x1）+λ2h■■（x1）K2DＹ■■， (28)

通過上式可求出Y.

例2.1考慮下列方程

y（x）=2x-■x4-■+■■（x-t）y2（t）dt+■（1+t）y（t）dt

方程的精確解為y（x）=2x，表1和圖2分別給出了當m=32和n=64的數值解及圖像

表1 精確解與數值解對照

■

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圖2 精確解與數值解對照

從上面結果可以看出，利用Haar小波求解Fredholm-Volterra方程的近似解，近似程度是比較高的，且所得的數值解隨著m的增大而更加趨于精確，因此要得到更好的解，我們可以取更大的m值。

參考文獻:

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[3]C.F.Chen，C.H.Hsiao.Haar wavelet method for solving lumped and distributed.Parameter systems[J].IEE Proc.Control Theory Appl，1997，144:87-94.

[4]C.H.Hsiao，W.J.Wang.Optimal control of linear time-varying systems via Haar wavelet [J].Optim Theory Appl，1999，103(3):641-655.

[5]K.Maleknejad，F.Mirzaee.Using rationalized Haar wavelet for solving linear integral equations[J].Applied Mathematics and Computation，2005，160:579-587.

[6]K.Maleknejad，F.Mirzaee.Numerical solution of linear fredholm integral equations system by rationalized haar functions method[J].Int J.Comput Math，2003，11:1397-1405.