小學(xué)生學(xué)習(xí)“空間與圖形”存在的困難及教學(xué)策略

“幾何與圖形”是義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)設(shè)置的四大學(xué)習(xí)領(lǐng)域之一，在小學(xué)數(shù)學(xué)中占有重要的地位，對培養(yǎng)兒童的初步空間觀念起著不可替代的作用，但受兒童認(rèn)知結(jié)構(gòu)、心理特征以及思維水平等因素的影響，他們在學(xué)習(xí)這一部分內(nèi)容時會遇到一些困難，這就需要教師采取相應(yīng)的策略，給予學(xué)生有效的引導(dǎo)。

一、幾何圖形學(xué)習(xí)和應(yīng)用中存在的困難

幾何概念是空間形式的本質(zhì)屬性在人們頭腦中的反映，它是用數(shù)學(xué)語言和符號揭示事物共同屬性的思維形式，是構(gòu)建幾何知識大廈的基石，既是幾何基礎(chǔ)知識，又是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的重要組成部分。

幾何概念學(xué)習(xí)過程，就是對客觀事物中一類有關(guān)空間形式的本質(zhì)屬性進(jìn)行抽象概括的過程，也是舍去該類對象非本質(zhì)屬性的過程。根據(jù)奧蘇貝爾有意義學(xué)習(xí)理論，小學(xué)生主要是通過概念形成和概念同化兩種認(rèn)知方式學(xué)習(xí)、掌握數(shù)學(xué)概念的。而影響小學(xué)生幾何概念學(xué)習(xí)的因素有很多，如學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)和認(rèn)知方式，以及教師教學(xué)時材料的呈現(xiàn)形式等。

1？郾學(xué)生經(jīng)驗(yàn)對幾何概念學(xué)習(xí)的影響。認(rèn)知心理學(xué)的研究認(rèn)為，學(xué)生經(jīng)驗(yàn)對幾何概念學(xué)習(xí)有積極的促進(jìn)作用，也有消極的阻礙作用。經(jīng)驗(yàn)對概念學(xué)習(xí)產(chǎn)生的負(fù)效應(yīng)具體表現(xiàn)在：

第一，當(dāng)幾何概念與日常生活經(jīng)驗(yàn)在語義上不一致時，經(jīng)驗(yàn)會阻礙概念的學(xué)習(xí)。例如關(guān)于“圓”，在幾何概念中，圓是指一條特殊的封閉曲線，而生活經(jīng)驗(yàn)中卻把圓面說成圓，有的學(xué)生說“圓心在圓上”就是錯誤地把日常經(jīng)驗(yàn)中的“圓”當(dāng)成了幾何概念。

第二，當(dāng)幾何概念與日常經(jīng)驗(yàn)在語匯上相近時，經(jīng)驗(yàn)也會阻礙概念學(xué)習(xí)。例如，幾何概念中的“垂直”與日常經(jīng)驗(yàn)中的“豎直”在語匯上較為接近，學(xué)生往往會將“垂直”理解為是“豎直”的狀態(tài)。如圖1，有學(xué)生就認(rèn)為圖1-1、1-2的垂直狀態(tài)，而圖1-3不是，究其原因，也就在于此。

第三，當(dāng)幾何概念較為抽象時，往往難以擺脫臨近的經(jīng)驗(yàn)。例如，學(xué)生對“線”、“直線”等認(rèn)識，學(xué)生常常會自覺地依靠“毛線”這樣的經(jīng)驗(yàn)來支持。因而對“直”、“無限”等本質(zhì)屬性的認(rèn)識就比較困難。

2？郾認(rèn)知結(jié)構(gòu)、認(rèn)知方式對幾何概念學(xué)習(xí)的影響。數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)就是學(xué)生頭腦里獲得的數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)，是一種經(jīng)過學(xué)生主觀改造后的數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)。它是數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)與學(xué)生心理結(jié)構(gòu)相互作用的產(chǎn)物，是學(xué)生已有數(shù)學(xué)知識在頭腦里的組織形式，并且它是一個不斷發(fā)展變化的動態(tài)結(jié)構(gòu)，是一種多層次的組織系統(tǒng)，其內(nèi)容包括數(shù)學(xué)知識和這些數(shù)學(xué)知識在頭腦里的組織方式與特征。如，三角形及其面積計算認(rèn)知結(jié)構(gòu)，一方面要反映三角形的概念和性質(zhì)、三角形的面積計算公式等知識內(nèi)容，另一方面更要體現(xiàn)學(xué)生在頭腦里對這些知識內(nèi)容的接收、儲存、提取一系列活動的組織方式。

學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)是在后天的學(xué)習(xí)活動中逐步形成和發(fā)展起來的，由于認(rèn)知主體不同，學(xué)生頭腦里的數(shù)學(xué)知識在內(nèi)容和組織方面也就不同，認(rèn)知結(jié)構(gòu)存在著個體差異性，從而影響學(xué)生對幾何概念的學(xué)習(xí)和掌握。學(xué)生原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中對新的學(xué)習(xí)起固定作用的觀念的可利用性差，會阻礙概念的學(xué)習(xí)。例如，學(xué)生原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，如果沒有平行的概念及特征等觀念起固定作用，他們就不可能形成有關(guān)平行四邊形的概念特征的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。學(xué)生原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，固定作用的觀念的可辨別性差（即不能清晰地辨認(rèn)新舊知識的聯(lián)系）、不穩(wěn)定甚至模糊不清，都會對幾何概念的學(xué)習(xí)產(chǎn)生負(fù)效應(yīng)，阻礙學(xué)生實(shí)現(xiàn)原有數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的擴(kuò)充和新的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的建立。

認(rèn)知方式是指個人在認(rèn)知過程中經(jīng)常采用的習(xí)慣化的方式，具體說，就是在感知、記憶、思維和問題解決等信息加工過程中個體所偏愛的習(xí)慣化了的傾向和方式。每個人都有自己獨(dú)特的認(rèn)知方式，致使他們在幾何學(xué)習(xí)活動中的進(jìn)程不同，對幾何概念的學(xué)習(xí)也會產(chǎn)生影響。

3？郾教師教學(xué)時材料的表現(xiàn)形式對概念學(xué)習(xí)的影響。感性材料的表現(xiàn)形式對幾何概念的學(xué)習(xí)和掌握也有重要影響。如果教師提供的感性材料都是一些“標(biāo)準(zhǔn)”的實(shí)物或圖形，學(xué)生的感知就會不充分、不豐富，他們就難以區(qū)分一類對象的本質(zhì)屬性和非本質(zhì)屬性。例如，有的學(xué)生在學(xué)習(xí)“垂直”時，僅停留在圖2-1的標(biāo)準(zhǔn)形式上，而對圖2-2，2-3的變式形式卻不認(rèn)為是直角。有的學(xué)生在學(xué)習(xí)“直角三角形”概念時只知道像圖3這樣的直角在左下方的三角形才是直角三角形。

另外，一些教師在講授“角”的概念時，往往在黑板上只呈現(xiàn)圖4-1這樣的“角”，久而久之，學(xué)生就會形成一種錯誤認(rèn)識：只有圖4-1才是“角”，其他的都不是“角”，特別是對平角（4-4）、周角（4-5）的認(rèn)識更是不足。

學(xué)習(xí)“梯形”概念時，有的學(xué)生只知道水平放置的，并且都是上底短，下底長的標(biāo)準(zhǔn)圖形才是梯形。造成學(xué)生錯誤認(rèn)識的原因，一是教師提供的都是一些標(biāo)準(zhǔn)圖形，二是學(xué)生空間觀念發(fā)展的特點(diǎn)之一是偏重于標(biāo)準(zhǔn)圖形。這就要求教師在教學(xué)時注重變式練習(xí)。

4？郾直觀、感知在應(yīng)用中的影響。直觀，從字面上理解是直接觀察的意思。狹義理解是用眼睛看，用視覺，而廣義理解則包括由聽覺、味覺、觸覺、嗅覺等獲得的感知。俗話說，“眼見為實(shí)”。但數(shù)學(xué)卻只是在一定程度上認(rèn)可眼見為實(shí)，它并不認(rèn)可“眼見為真”。圖5是兩條相互垂直的線段，有的小學(xué)生觀察后認(rèn)為線段CD比線段AB長，這也許是實(shí)際的感覺，但真實(shí)的結(jié)論是兩條線段一樣長。所以，實(shí)際的感覺不一定就是真理。在圖6和圖7中，有的學(xué)生認(rèn)為線段（2）比線段（1）長，線段（4）比線段（3）長。其實(shí)，包括思維水平發(fā)展完善的成年人有時也會這樣認(rèn)為。

二、幾何圖形的教學(xué)策略

研究認(rèn)知發(fā)展的心理學(xué)家發(fā)現(xiàn)，兒童吸收知識時的思維方式與成年人大不相同。因此，作為一名小學(xué)教師，要教兒童知識就必須先了解兒童是如何學(xué)習(xí)知識的，要教會兒童思維，就必須先了解兒童是如何思維的。

1？郾利用學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)教學(xué)。學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)是學(xué)習(xí)空間與圖形的起點(diǎn)，數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)強(qiáng)調(diào)“數(shù)學(xué)課程教學(xué)要“從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)”，同時強(qiáng)調(diào)“數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動必須建立在學(xué)生認(rèn)知發(fā)展水平和已有知識經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上。”在學(xué)生現(xiàn)實(shí)空間中有著許多的幾何圖形，在現(xiàn)實(shí)活動中積累了一定的生活經(jīng)驗(yàn)，豐富了原認(rèn)知結(jié)構(gòu)，這對學(xué)生的學(xué)習(xí)和教師的教學(xué)都是非常寶貴的資源。教師要充分利用學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行教學(xué)，當(dāng)學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)與幾何概念不同時，要及時引導(dǎo)學(xué)生識別、認(rèn)清幾何圖形的本質(zhì)屬性，擺脫生活經(jīng)驗(yàn)的負(fù)面影響。例如，在學(xué)習(xí)“圓的認(rèn)識”時，教師可以問學(xué)生：“你們見過的車輪是什么形狀的？”由于學(xué)生已有較豐富的生活經(jīng)驗(yàn)，他們還會列舉出鐘面、圓桌等實(shí)物，這對學(xué)生認(rèn)識圓是很有幫助的，這時教師要及時引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識到圓是指一條特殊的封閉曲線，而不是生活中的圓面。

2？郾選用典型材料，強(qiáng)化重要的弱刺激。概念的本質(zhì)屬性越明顯、越突出，就越利于學(xué)生對概念的理解和掌握，而概念的非本質(zhì)屬性越多、越不明顯，就越不利于學(xué)生對概念本質(zhì)屬性和非本質(zhì)屬性的辨別，學(xué)生就難以理解和掌握概念。因此，在教學(xué)中要選用那些能反映概念本質(zhì)屬性的典型材料來說明概念。例如，在教學(xué)“平行四邊形”時，教師展示的平行四邊形應(yīng)該是兩組對邊是不等長的，如果教師展示的平行四邊形看上去兩組對邊差不多長，那么四邊等長這個非本質(zhì)屬性就會迷惑學(xué)生。

從圖8比較兩個圖形的面積，學(xué)生容易被強(qiáng)刺激部分，即平行四邊形的邊較長這個非本質(zhì)特征所迷惑，掩蓋了弱刺激部分，即等底等高這個本質(zhì)屬性，誤認(rèn)為平行四邊形的面積比長方形的面積大。因此，如果弱刺激部分很重要，對解題有著本質(zhì)的影響，那么就要強(qiáng)化重要的弱刺激，在這里教師可以通過讓學(xué)生仔細(xì)觀察以及語言上提示或圖形上提示（作輔助線）等來強(qiáng)化，使學(xué)生獲得正確的認(rèn)識。

3？郾重視變式、反例。變式就是變換概念肯定例證的非本質(zhì)屬性，以突出本質(zhì)屬性。反例是故意變換事物的本質(zhì)屬性，使其變質(zhì)為其他事物，在引導(dǎo)學(xué)生思辨中從反面突出事物的本質(zhì)屬性。突出本質(zhì)在幾何概念形成的過程中，概念的肯定例證傳遞了最有利概括的關(guān)鍵信息，概念的否定例證則傳遞了最有利于辨別的信息。因此，在幾何概念的學(xué)習(xí)中，不僅要運(yùn)用肯定例證的變式，也要運(yùn)用否定例證。

如果說“標(biāo)準(zhǔn)圖形”是為了使學(xué)生更好地抽象出對象的性質(zhì)特征的話，那么運(yùn)用對“變式圖形”的觀察就是為了幫助學(xué)生更好地將獲得的性質(zhì)特征概括到同類對象中去。例如，在教學(xué)“梯形”概念時，教師可以先向?qū)W生呈現(xiàn)“標(biāo)準(zhǔn)圖形”，接著在展示“變式圖形”和反例，如圖9。

圖9-1、9-2、9-3是梯形的變式圖形，通過變換梯形擺放的位置、方向、角的性質(zhì)等非本質(zhì)屬性，突出梯形“只有一組對邊平行的四邊形”這一本質(zhì)屬性，學(xué)生認(rèn)識了梯形的各種表現(xiàn)形式，留在腦中的梯形表象將更加鮮明，理解更加深刻。圖9-4、9-5是梯形的反例，其中圖9-4故意變換“只有一組對邊平行”為兩組對邊分別平行，使梯形變質(zhì)為平行四邊形，以突出了梯形“只有一組對邊平行”的本質(zhì)屬性。圖9-5故意變換“四邊形”為“五邊形”，從而突出了梯形是四邊形的本質(zhì)屬性。

4？郾重視直觀感知。小學(xué)生認(rèn)識事物帶有很大的具體性和直觀形象性，根據(jù)理解與感知的關(guān)系，在教學(xué)中要高度重視學(xué)生的感知活動。一方面在理解前引導(dǎo)學(xué)生充分利用操作和觀察等活動全面感知學(xué)習(xí)材料，讓他們在頭腦里建立起所學(xué)數(shù)學(xué)知識的豐富表象，以此為理解過程中的思維加工提供材料和依據(jù)。另一方面在理解過程中，特別是在對那些內(nèi)容非常抽象的數(shù)學(xué)知識理解過程中，教師要注意適時地給學(xué)生提供恰當(dāng)?shù)母行圆牧希源藶閷W(xué)生抽象邏輯思維的順利進(jìn)行提供必要的支持，保證他們的思維過程得以順利進(jìn)行。學(xué)生觀察圖5、圖6、圖7等幾個圖形時，往往被眼睛所“欺騙”，其實(shí)這也是缺乏直觀學(xué)習(xí)的一種表現(xiàn)。重視直觀感知，使學(xué)生獲得充分的感性認(rèn)識，更有利于學(xué)生從感性認(rèn)識上升到理性認(rèn)識，從而正確理解和掌握事物的本質(zhì)屬性。

5？郾重視“做”。這個“做”包含有很多含義，簡單理解就是動手做，親自實(shí)踐，親身經(jīng)歷數(shù)學(xué)。數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中就有讓學(xué)生學(xué)會“做數(shù)學(xué)”、“用數(shù)學(xué)”、“數(shù)學(xué)的思考”等內(nèi)容。皮亞杰說過：“思維從動作開始，切斷動作和思維的聯(lián)系，思維就得不到發(fā)展，人的手腦之間有著千絲萬縷的聯(lián)系。”所以在學(xué)習(xí)的過程中不僅用眼睛來看，還要動腦思考，更要讓學(xué)生親自動手做，在“做”中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，強(qiáng)化認(rèn)識，發(fā)展創(chuàng)新意識和實(shí)踐能力。

例如，在教學(xué)“觀察物體”畫三視圖時，可讓學(xué)生通過搭積木、搭幾何學(xué)具等活動形成初步的空間方位感，進(jìn)而發(fā)展空間觀念。在教學(xué)“軸對稱圖形”時，可讓學(xué)生通過剪拼、折疊活動的體驗(yàn)來加深對軸對稱圖形的認(rèn)識。在教學(xué)“面積”時也可以讓學(xué)生動手剪一剪、拼一拼幾何圖形，而不僅僅記憶公式，通過“做”更利于學(xué)生形成表象，重視圖形形狀，加深認(rèn)識。又如，給定學(xué)生一個圖形可以讓學(xué)生利用火柴棒來重現(xiàn)一個相同形狀的圖形，以此加深學(xué)生對圖形形狀特征的感覺。還可以讓學(xué)生通過測量活動來加深對“長度”、“面積”等概念的認(rèn)識，對形體的大小、位置和關(guān)系建立清晰的表象。如在圖5、圖6、圖7等圖中，如果學(xué)生能夠用直尺測量一下的話，他們將不會被迷惑，從而獲得正確的認(rèn)識。還有做游戲、實(shí)驗(yàn)操作、作圖活動等形式，這就需要教師根據(jù)教學(xué)內(nèi)容，因人制宜地具體處理。

作者單位

昆明市官渡區(qū)云溪小學(xué)

玉溪師范學(xué)院數(shù)學(xué)系

◇責(zé)任編輯：曹文◇