軸輻式快遞網(wǎng)絡(luò)的樞紐選址和分配優(yōu)化

李莉，丁以中

(上海海事大學(xué) 科學(xué)研究院，上海 201306)

0 引言

順豐和申通等快遞企業(yè)以小件貨物運輸為主要業(yè)務(wù)，采用軸輻式網(wǎng)絡(luò)［1］作為運輸組織方式.軸輻式快遞網(wǎng)絡(luò)是指運送線路的安排以某幾個城市為樞紐，樞紐城市之間開行直達(dá)運送車輛，而其他城市之間沒有直達(dá)運送線路，只與其相近的樞紐城市相連，通過樞紐進(jìn)行中轉(zhuǎn)銜接的快遞網(wǎng)絡(luò).圖1為10個節(jié)點形成的軸輻式快遞網(wǎng)絡(luò)，節(jié)點3，5和10為樞紐點.軸輻式快遞網(wǎng)絡(luò)中，節(jié)點之間的運輸必須通過樞紐點中轉(zhuǎn)完成.如節(jié)點1與節(jié)點8之間的快遞需要經(jīng)過兩個樞紐中轉(zhuǎn):首先由節(jié)點1收集該服務(wù)區(qū)域內(nèi)的客戶快件，匯集后發(fā)往樞紐點3;然后由樞紐點3直接發(fā)往樞紐點10;最后由樞紐點10發(fā)往節(jié)點8，完成節(jié)點1至節(jié)點8的快件運輸過程.節(jié)點1與節(jié)點2之間的快遞經(jīng)過一個樞紐中轉(zhuǎn)，分析過程同上，行走路線為1－3－2.而樞紐之間的運輸無須中轉(zhuǎn)，樞紐3，5，10之間是直達(dá)運輸.

圖1 10節(jié)點軸輻式快遞網(wǎng)絡(luò)

軸輻式快遞網(wǎng)絡(luò)規(guī)劃包括樞紐選址和分配方案確定兩個方面.現(xiàn)有文獻(xiàn)中關(guān)于樞紐選址研究較多的是P樞紐中位問題［2］，該問題研究的是已知需求節(jié)點之間的運輸需求和所需建立的樞紐個數(shù)，求出樞紐位置、非樞紐點對樞紐的分配方式，使得總的運輸成本(時間，距離等)最小.而P樞紐中位問題忽略軸輻式快遞網(wǎng)絡(luò)的缺陷:節(jié)點收集的貨物必須通過一個或兩個樞紐點集中、分揀，由于中轉(zhuǎn)而行走的路徑使快件到達(dá)時間延長，如由節(jié)點1發(fā)出的貨物沿著路徑 1－3－10－8 到達(dá)服務(wù)點 8，所需時間大于節(jié)點1直接運到節(jié)點8所需時間，可能無法保證“最差服務(wù)水平”，即節(jié)點之間所能允許的最長服務(wù)時間.因此，希望節(jié)點之間的運輸能夠在一定時間約束下完成，以保證總的成本最低;滿足中轉(zhuǎn)貨物的時效要求，節(jié)點之間最長的運輸時間要最小化，即多目標(biāo)軸輻式快遞網(wǎng)絡(luò)的樞紐選址和分配優(yōu)化問題.

現(xiàn)有文獻(xiàn)中關(guān)于軸輻式網(wǎng)絡(luò)設(shè)計優(yōu)化研究，所建立的模型均為單目標(biāo)優(yōu)化模型，以總的運輸成本最低為目標(biāo).如文獻(xiàn)［2］考慮星狀軸輻網(wǎng)絡(luò)P樞紐中位問題，以總的服務(wù)時間最短為目標(biāo);文獻(xiàn)［3］研究貨物運輸系統(tǒng)的樞紐選址問題，綜合考慮運輸時間、裝卸時間、分揀時間以及中轉(zhuǎn)時間，建立最小化最遲到達(dá)火車時間的非線性混合整數(shù)規(guī)劃模型，模型僅適用于小范圍地區(qū)的貨物運輸;也有以服務(wù)范圍的覆蓋率最大為目標(biāo)，如文獻(xiàn)［4］以土耳其貨物運輸系統(tǒng)為研究對象，建立最少樞紐個數(shù)的最大化覆蓋模型.

然而，快遞公司在進(jìn)行軸輻式快遞網(wǎng)絡(luò)設(shè)計優(yōu)化過程中，降低運營成本和滿足中轉(zhuǎn)貨物時效要求同等重要.因此，在進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)設(shè)計時，綜合考慮成本、服務(wù)水平等因素，建立多目標(biāo)優(yōu)化模型更符合實際.現(xiàn)有文獻(xiàn)中，多目標(biāo)軸輻式網(wǎng)絡(luò)設(shè)計問題的文獻(xiàn)較少.其中:COSTA等［5］首次建立多目標(biāo)樞紐選址模型，通過添加另一個目標(biāo)函數(shù)——樞紐處理貨物的時間最小化，來表示樞紐的處理能力限制這一約束.作者主要從理論角度建立多目標(biāo)樞紐選址模型，沒有考慮現(xiàn)實因素.國內(nèi)學(xué)者張健［6］研究公路快運軸輻網(wǎng)絡(luò)問題，首次綜合考慮成本、運輸安全性和調(diào)度難度，建立多目標(biāo)優(yōu)化模型，用主要目標(biāo)法把安全性目標(biāo)和方便性目標(biāo)轉(zhuǎn)化為問題約束;采用拉格朗日松弛技術(shù)將安全約束和方便性約束轉(zhuǎn)化為懲罰項納入目標(biāo)函數(shù)，結(jié)合層析遺傳算法和分支定界方法求解模型，提出安全參數(shù)和方便性參數(shù)的設(shè)置原則.他們針對網(wǎng)絡(luò)的運載優(yōu)化建立多目標(biāo)優(yōu)化模型，即前提是貨運站與中轉(zhuǎn)站之間的指派關(guān)系已經(jīng)確定，建立的是單分配模型，目標(biāo)是進(jìn)行車型選擇和求出車輛行走路徑;求解方法將路線確定和車輛類型選擇分別作為單一問題進(jìn)行優(yōu)化;將子網(wǎng)和主干網(wǎng)絡(luò)分別進(jìn)行優(yōu)化，缺乏整體最優(yōu)理念.

同時，在算法方面，O’KELLY［7］首先研究 P 樞紐中位問題，驗證為組合優(yōu)化問題.軸輻式快遞網(wǎng)絡(luò)配置模型和P樞紐中位問題的相同點是都包括樞紐選址和分配方案確定，亦有NP難特性.由于多目標(biāo)軸輻式網(wǎng)絡(luò)設(shè)計問題研究和相關(guān)算法都較少，而關(guān)于多目標(biāo)優(yōu)化問題的相關(guān)算法較多，盛麗俊等［8］和白治江等［9］利用遺傳算法求解多目標(biāo)模型，SINGH 等［10］用模擬退火(Simulated Annealing，SA)算法進(jìn)行求解.由于SA算法的通用性較強(qiáng)，對問題信息依賴較少，嘗試用該算法求解文中問題.

1 模型

1.1 模型假設(shè)

軸輻式網(wǎng)絡(luò)中，如果將網(wǎng)絡(luò)中所有非樞紐點僅分配給一個樞紐點，稱之為單分配軸輻式網(wǎng)絡(luò);如果可以將網(wǎng)絡(luò)中的非樞紐點分配給多個樞紐，稱之為多分配軸輻式網(wǎng)絡(luò)，如將圖1中的非樞紐點4分配給樞紐點3和樞紐點5，是一個多分配軸輻式網(wǎng)絡(luò)圖.由于快遞網(wǎng)絡(luò)是多層級網(wǎng)絡(luò)，文中研究的是快遞網(wǎng)絡(luò)核心部分所對應(yīng)的多分配軸輻式快遞網(wǎng)絡(luò)設(shè)計問題，僅考慮快遞網(wǎng)絡(luò)的第1層和第2層.

建立的多目標(biāo)優(yōu)化模型基于以下假設(shè):(1)兩兩節(jié)點之間的發(fā)貨量小于車輛的車載容量;(2)樞紐之間的運輸有運輸折扣;(3)非樞紐點之間不能直接連接，必須通過一個或者兩個樞紐點進(jìn)行連接;(4)樞紐是全連接的.

模型假設(shè)的合理性驗證:(1)如果出現(xiàn)節(jié)點之間貨運量大于車載容量的情況，則可以先進(jìn)行整車的直達(dá)運輸，剩余的貨運量歸入問題中;(2)稱樞紐之間的運輸為干線運輸，樞紐與非樞紐之間的運輸為支線運輸.干線上車輛的滿載率等因素形成規(guī)模效應(yīng)，因此干線上的單位運輸成本降低，用運輸折扣表示;(3)假定節(jié)點間的距離滿足三角不等式，根據(jù)軸輻式網(wǎng)絡(luò)“中轉(zhuǎn)”特征，節(jié)點之間的運輸必須通過“至少一個樞紐，至多兩個樞紐”完成.由以上分析得出模型假設(shè)合理.

1.2 問題描述和符號說明

給定的節(jié)點集合S={1，2，…，N}，進(jìn)行軸輻式快遞網(wǎng)絡(luò)的設(shè)計優(yōu)化:選擇樞紐的個數(shù)和位置，非樞紐對樞紐的分配方案形成圖1式的軸輻式快遞網(wǎng)絡(luò).給定節(jié)點之間的快遞量、單位運輸成本、節(jié)點間的運輸時間、服務(wù)時間限制等，具體如下:

qij為節(jié)點(i，j)之間的快遞量;Cij為路段(i，j)的單位運輸費用;fij為路段(i，j)的固定費用;gi為經(jīng)過節(jié)點i所需的單位中轉(zhuǎn)費用;sk·ln nk為節(jié)點k處的分揀費用;tij為路段(i，j)的運輸時間;Tij表示節(jié)點(i，j)之間的時間限制;Lij表示節(jié)點(i，j)之間的路徑;(u，v)∈Lij表示節(jié)點對(u，v)在路徑上形成路段(u，v).

1.3 模型建立

建模的目的是確定樞紐點個數(shù)、位置和運作計劃，以達(dá)到網(wǎng)絡(luò)總成本最低.考慮到軸輻網(wǎng)絡(luò)的規(guī)模經(jīng)濟(jì)性［11］，運輸費用為固定路段成本與變動運輸成本之和:隨著流量的增加，單位流量分?jǐn)偟墓潭ǔ杀窘档?相應(yīng)地，單位成本降低，是符合實際的一種費用表達(dá)方式.

本節(jié)建立的非線性整數(shù)規(guī)劃模型中，樞紐個數(shù)作為決策變量之一，用0－1變量表示節(jié)點是否為樞紐點，決策變量設(shè)計如下:

設(shè)樞紐之間的運輸折扣率為α，表示如果節(jié)點(i，j)為樞紐點，則兩者之間的單位運輸費用為αCij.建立如下多目標(biāo)軸輻式公路快遞網(wǎng)絡(luò)的配置優(yōu)化模型:

式(1)為完成所有快遞量的總費用，節(jié)點(i，j)之間的行走路徑為Lij，這條路徑上的單位成本包括單位運輸成本、單位分揀成本，具體表示為

2 算法設(shè)計

SA算法進(jìn)行模型(1)～(13)的求解.該算法是基于蒙特卡洛迭代求解策略的一種隨機(jī)尋優(yōu)算法，基于物理中固體物質(zhì)的退火過程與一般組合優(yōu)化問題之間的相似性.在某一溫度下，伴隨溫度參數(shù)的不斷下降，SA算法結(jié)合概率突跳特性在解空間中隨機(jī)尋找目標(biāo)函數(shù)的全局最優(yōu)解，即局部最優(yōu)解能概率性地跳出并最終趨于全局最優(yōu).［12］利用SA算法通用性強(qiáng)、對問題的信息依賴較少、能夠保證解的多樣性等特征，針對文中模型設(shè)計SA算法，通過樞紐搜索策略和非樞紐搜索策略的設(shè)置，產(chǎn)生更接近帕累托最優(yōu)前沿面的近似集，提供一種求解多目標(biāo)軸輻式快遞網(wǎng)絡(luò)的啟發(fā)式算法.

2.1 SA算法要素

圖2為多目標(biāo)優(yōu)化SA算法流程.單一溫度下內(nèi)部循環(huán)中的Floyd算法和數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化具體設(shè)計如下.

2.1.1 Floyd算法設(shè)計

給定軸輻式快遞網(wǎng)絡(luò)的設(shè)計方案Vij，即確定樞紐位置和個數(shù)、非樞紐的分配方案，利用Floyd算法求解各節(jié)點對(i，j)之間的最短路徑Lij:用節(jié)點之間快遞運輸所需的總費用表示兩者之間的距離.求解最短距離過程中，各節(jié)點之間的運輸總時間必須限制在時間約束Tij內(nèi);如果節(jié)點之間的行走路徑不滿足時間約束，則選擇行走時間最短的路徑.

圖2 多目標(biāo)優(yōu)化SA算法流程

2.1.2 數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化

采用綜合目標(biāo)評價的方法進(jìn)行多目標(biāo)軸輻式快遞網(wǎng)絡(luò)設(shè)計優(yōu)化，由于成本和時間的量綱不同，對數(shù)據(jù)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化并建立合理的加權(quán)綜合目標(biāo).下面分別對成本值(Vc)和時間(t)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化:

式中:Vc，max，Vc，min為成本的極大值和極小值;tmax，tmin為時間的極大值和極小值;通過對目標(biāo)(1)優(yōu)化，進(jìn)行抽樣獲得成本的極大值和極小值，以同樣的方式獲得時間的極大值和極小值，此處的極值由抽樣獲得，并非實際中的極值.

2.2 SA算法具體過程

步驟1初始化

初始解的選擇:隨機(jī)產(chǎn)生可行解X(樞紐選擇方案和分配方案)作為初始解，利用條件最短路徑算法分別獲得成本f1和時間f2的函數(shù)值;對數(shù)據(jù)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化，獲得綜合目標(biāo)函數(shù)f=ωf1+(1－ω)f2值，其中0≤ω≤1.

初始溫度的選擇:根據(jù)多次運行結(jié)果，選擇與綜合目標(biāo)函數(shù)值具有相同數(shù)量級的數(shù)作為初始溫度T0;取初始最優(yōu)解 X*=X，初始狀態(tài) X(0)=X，i=p=0.

步驟2單一溫度下的內(nèi)部循環(huán)

在溫度T=Ti下，以T，X*，X(i)為當(dāng)前溫度、局部最優(yōu)值和當(dāng)前狀態(tài)值進(jìn)行內(nèi)部循環(huán).

(1)令k=0時的初始當(dāng)前狀態(tài)為X'(0)=X(i)，初始最優(yōu)解為X*'=X*.

(2)由狀態(tài)X得到該情況下的樞紐集合H，分配情況Xij，進(jìn)行如下步驟隨機(jī)產(chǎn)生新的狀態(tài)X'，計算增量Δf'=f(X')－f(X).①樞紐鄰域搜索:隨機(jī)選擇節(jié)點i∈N，若i?H，則令H=H∪{i}(新增一個樞紐);若 i∈H，且|H|≥2，則令 H=H － {i}(關(guān)閉一個樞紐).②分配方案鄰域搜索:隨機(jī)選擇一個節(jié)點 i∈M，j∈H，若 Xij≠1，則令 Xij=1，即為該分撥中心 i添加樞紐 j;若 Xij=1，且 Σj∈NXij≥2，則 Xij=0，即為該分撥中心i減少樞紐j.

(3)若Δf'＜0，則接受新解 X'，并判斷是否f(X*')＞f(X').若是，則令 X*'=X'.如果 Δf'＞0，則以概率exp(－Δf'/T)接受狀態(tài)X'作為下一個當(dāng)前狀態(tài).如果 X'被接受，則 X'(k+1)=X';否則X'(k+1)=X'(k).

(4)令k=k+1，判斷是否k＞步驟2.若是，轉(zhuǎn)入步驟2的第(5)小步;否則轉(zhuǎn)入步驟2中第(2)小步的第①小步.

(5)將當(dāng)前最優(yōu)解X*'和當(dāng)前狀態(tài)X'(k)返回到改進(jìn)退火過程，即轉(zhuǎn)入步驟3.

步驟3判斷是否f(X*)＜f(X*').若是，令p=p+1;否則令 X*=X*'，p=0.

步驟4降溫Ti+1=update(Ti)，令i=i+1.

步驟5判斷是否p＞步驟1或者T＜Tend.若是，轉(zhuǎn)到步驟6，否則返回步驟2.

步驟6以最優(yōu)解X*作為最終解輸出，停止算法.

3 算例

3.1 算例的基本數(shù)據(jù)

給定10 個節(jié)點 S={1，2，…，10}，求解由這些點構(gòu)成的軸輻式快遞網(wǎng)絡(luò).已知節(jié)點之間的快遞量、路段單位運輸成本、路段運輸時間和節(jié)點之間的運輸時間限制分別見表1，2，3和4.其中:設(shè)路段的固定成本fij為定值;節(jié)點的單位分揀費用sk=10，k=1，2，…，10;單位中轉(zhuǎn)成本 gk，k=1，2，…，10，分別為10，8，6，8，7，7，9，8，5，8.對這 10 個節(jié)點形成的軸輻式快遞網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行樞紐選址和分配優(yōu)化.

表1 快遞量Q矩陣 件

表2 路段運輸單位變動成本cuv 元

表3 路段運輸時間tuv h

表4 節(jié)點之間的運輸時間限制Tuv h

3.2 SA算法參數(shù)設(shè)置

基于第2.2節(jié)算法設(shè)計過程，用C++軟件實現(xiàn)文中的SA算法，具體參數(shù)設(shè)置:初始溫度為100 000℃;采用按比例下降的方式，溫度下降比例為0.95;內(nèi)部循環(huán)結(jié)束條件為同一溫度下迭代次數(shù)為300次或者局部最優(yōu)解在50次迭代內(nèi)不改進(jìn);外部循環(huán)結(jié)束條件為溫度下降至0.5℃或者全局最優(yōu)解在50次循環(huán)內(nèi)不改進(jìn).

3.3 運行結(jié)果及分析

設(shè)模型中折扣率α為一定值，取不同的折扣率，對應(yīng)的成本值和時間值如何變化;進(jìn)行綜合目標(biāo)評估時，權(quán)重ω取值不同，獲得的可行解如何變化.對此進(jìn)行以下3個分析(運行結(jié)果中成本單位為元，時間單位為h，均為非標(biāo)準(zhǔn)化的原始數(shù)據(jù)類型):

(1)探究折扣率α和權(quán)重ω的取值不同時所得到的可行解和樞紐情況.結(jié)合快遞運輸業(yè)的實際情況，折扣率一般取值為0.8，考慮3種水平下的固定折扣率為0.8，0.6和0.4，得到結(jié)果見表5.

表5 不同折扣率和不同權(quán)重對應(yīng)的可行解

表5中的權(quán)重值為成本函數(shù)的權(quán)重，由結(jié)果看出:在同一折扣率下，隨著權(quán)重的增加(成本函數(shù)的權(quán)重值增大)，Vc降低，但是時間值增加;其中對于權(quán)重的取值，采用二分方法，對于成本值相差較大的權(quán)重進(jìn)行細(xì)分.

折扣率為0.4，權(quán)重大于0.562 5時成本下降較快，而時間并沒有顯著增加，此點為突變點;折扣率為0.6時，突變點也為0.562 5;折扣率為0.8時，突變點為0.5.

通過算例模型求解分析由10個節(jié)點組成的快遞網(wǎng)絡(luò):在同一折扣率下，如果取P(樞紐個數(shù)的上限)為6，7，8時，可行解所對應(yīng)的樞紐個數(shù)均為5.設(shè)定P值為5，表6中列出的數(shù)據(jù)為不同權(quán)重對應(yīng)的樞紐選擇情況.其中當(dāng)折扣率為0.8時，在不同權(quán)重下，節(jié)點1和節(jié)點2均作為樞紐點，當(dāng)節(jié)點6，7，8同時作為樞紐點時，成本較高、時間較短.決策者可針對成本和時間對應(yīng)的節(jié)點分別選擇可行的方案.

表6 樞紐個數(shù)和樞紐位置

(2)折扣率取同一值時，不同權(quán)重所獲得的可行解:成本目標(biāo)值和時間目標(biāo)值分布.由表5中折扣率為0.8對應(yīng)的數(shù)據(jù)可以看出:成本取值范圍在466 453.96～24 590 782.09;時間取值范圍為16～27;成本目標(biāo)的取值和時間目標(biāo)的取值均具有多樣性.當(dāng)權(quán)重小于0.325時，成本值較大，最小值為16 169 049.56元，時間最少為16 h;對比權(quán)重取0.4和0.5的情況，成本降低7 109 317元，時間僅增加1 h，為細(xì)致觀察成本值和時間值的變化，考慮權(quán)重為0.50～0.99時的成本取值和時間取值情況.利用MATLAB軟件，根據(jù)表5中的數(shù)據(jù)，選擇折扣率為0.8時，不同權(quán)重分別對應(yīng)的可行解，畫出如圖3所示的虛線，線上的“*”表示時間(h)和成本(元)對應(yīng)的節(jié)點.其中，點 (543 879.13，12)與(53 451.74，12)的時間值相同，保留成本較小的點(53 451.74，12);(513 533.58，23)與(504 876.23，23)也有相同的時間值，也保留成本較小的點.

(3)軸輻式快遞網(wǎng)絡(luò)設(shè)計.選擇折扣率α為0.8，權(quán)重ω取值為1的情況，進(jìn)行軸輻式快遞網(wǎng)絡(luò)樞紐選址與分配優(yōu)化，并探究快遞量對網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的影響.求解模型得到最小成本值為396 926.18元，時間為27 h.其中節(jié)點1，2，3作為樞紐點，其余節(jié)點為非樞紐點，形成的軸輻式網(wǎng)絡(luò)見圖4.

圖3 帕累托最優(yōu)前沿面

圖4 成本最低的軸輻式快遞網(wǎng)絡(luò)

快遞量對網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的影響:將節(jié)點1與節(jié)點8之間的快遞量由140件減為10件，其他條件不變，形成的軸輻式網(wǎng)絡(luò):樞紐點仍為節(jié)點1，2和3，不同點是節(jié)點8此時僅與樞紐2相連，形成單分配軸輻式網(wǎng)絡(luò).分析其原因:改變節(jié)點1與節(jié)點8之間的快遞量之后，如果仍然沿著路線1－8，所需費用為10×6+900+10×ln 2(增加固定路線成本f18)，而路線1－2－8所需的費用為330.顯然，經(jīng)過轉(zhuǎn)運的成本更低，因此形成單分配軸輻式網(wǎng)絡(luò)，體現(xiàn)快遞量對快遞網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的影響.

4 結(jié)束語

從多目標(biāo)優(yōu)化角度，研究軸輻式快遞網(wǎng)絡(luò)配置的優(yōu)化問題.由于問題的 NP難性質(zhì)，設(shè)計基于Floyd算法的SA算法，其中的搜索策略由樞紐鄰域搜索和非樞紐鄰域搜索兩部分完成，以保證搜索的全局性，避免局部搜索的限制.引用10個節(jié)點的算例，分析不同折扣率下，不同權(quán)重對應(yīng)的可行解和樞紐個數(shù)、位置情況.選定折扣率為0.8，用MATLAB將可行解的分布用圖的形式表示出來，分析表明求解出的成本和時間取值均具有多樣性.通過改變節(jié)點之間的快遞量，分析快遞量對軸輻式快遞網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的影響.文中建立的多目標(biāo)軸輻式快遞網(wǎng)絡(luò)模型以及求解分析，為決策者提供決策支持，使其根據(jù)成本和時間的權(quán)重分配，在有限的成本資源下，選擇合理的快遞網(wǎng)絡(luò)設(shè)計方案，滿足中轉(zhuǎn)貨物的時效要求.

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