半地下式圓形貯液池結構分析

杜毛毛

（華僑大學 土木工程學院，廈門361021）

根據建造在地面上下位置的不同，圓形貯液池可分為地上式、地下式及半地下式［1］。目前，對沿池壁全部高度作用三角形或矩形分布荷載的圓形貯液池而言，其池壁內力計算公式或表格可從既有文獻［2－5］中查找。然而，對沿池壁部分高度作用三角形或矩形分布荷載的半地下式圓形貯液池而言，既有文獻均未涉及其池壁內力計算公式，其池壁內力計算往往采取簡化荷載分布的方法。采用簡化荷載分布的方法求出的池壁內力與實際池壁內力會有一定差異，有時差異還很大，例如半地下式圓形貯液池受到土壓和溫差作用的情形。鑒于此，筆者結合某工程實例，利用彈性力學的方法，推導了沿池壁部分高度分別作用三角形和矩形分布荷載時半地下式圓形貯液池池壁內力的解析表達式，并將推導的解析解與通過有限元分析軟件ANSYS計算求得的數值解進行比較，以驗證所推導解析解的正確性。

1 荷載分布特點

此處以某污水處理工程中的圓形曝氣池為例［6］，說明半地下式圓形貯液池的荷載分布特點。該曝氣池直徑48.4m，池壁高度9.5m，池壁厚度0.4m，池體在地下深度為5.3m，地下水位在水池底板以下。由于池壁與底板整體澆注，因此，在進行池壁內力計算時，按池壁頂端自由、底端固定的結構形式進行計算。該曝氣池池壁所受水壓、土壓以及溫差等作用如圖1所示。

圖1 池壁所受荷載示意圖

圖2 荷載分解圖

從圖1中可知，半地下式圓形貯液池所受土壓為沿池壁部分高度的梯形分布荷載，如圖2-a所示，該荷載可由圖2-b和圖2-c所示荷載相互疊加得到。所受溫差作用為沿池壁全部高度既非三角形也非矩形分布荷載，如圖2-d所示，此荷載可由圖2-e減去圖2-b所示荷載得到。于是半地下式圓形貯液池所受各種分布荷載均可由圖2-b、圖2-c和圖2-e所示荷載進行疊加組合得到。

在圖2-e所示沿池壁全部高度的矩形分布荷載作用下，池壁內力計算公式可從既有文獻中查找。然而，在圖2-b所示沿池壁部分高度的三角形分布荷載或圖2-c所示沿池壁部分高度的矩形分布荷載作用下，池壁內力的計算公式至今尚未見有報道。因此，筆者對圖2-b和圖2-c所示兩種基本的分布荷載作用下的池壁內力計算公式分別進行推導，求出這兩種基本的分布荷載作用下的池壁內力后，根據疊加原理即可得到半地下式圓形貯液池在各種分布荷載作用下的池壁內力。

2 基本微分方程及其解［7］

由于池壁厚度h遠小于貯液池的半徑R，因而池壁可看成是一圓柱形薄殼。在計算池壁內力時，假設殼體材料是各向同性的勻質連續彈性體，于是由彈性力學方法，推導出圓柱殼在軸對稱荷載作用下的彈性曲面基本微分方程為：

式中，x為以圓柱殼頂端為原點的坐標；w為殼體在x處的徑向位移；S為圓柱殼彈性特征值；px為殼體在x處的側向分布荷載；D為殼體抗彎剛度。

式（1）的解為：

式中：C1～C4為積分常數，根據殼體兩端的邊界條w0為式（1）的特解，取為殼體兩端自由時的徑向位，此處E為混凝土彈性模量。

3 沿池壁部分高度作用三角形分布荷載

如圖3所示沿池壁部分高度作用三角形分布荷載，當池壁頂端附近設有天溝的圓形貯液池受到液壓作用時，即為此類情況。此時，池內液面不與池壁頂端齊平，而是在距池壁頂端為a的位置處。

圖3 計算簡圖

1）在0≤x≤a區段，池壁未受荷載。此時px＝0，故w0＝0，于是有徑向位移：

2）在a＜x≤H－a區段，池壁受到三角形分布荷載。此時px為x的一次函數，可用池內液體的容重γ表示，即于是同樣有：

由于池壁頂端自由、底端固定，故此時的邊界條件有：

a.x＝0處，Mx1＝0，Vx1＝0；

b.x＝a處，w1＝w2，β1＝β2，Mx1＝Mx2，Vx1＝Vx2；

c.x＝H 處，w2＝0，β2＝0。由這8個邊界條件，可求出積分常數C1～C8為：

求出8個積分常數后，將其代入式（3）～（10）中，即可求得池壁內力為：1）0≤x≤a區段內

2）a＜x≤H－a區段內

將上述推導的沿池壁部分高度作用三角形分布荷載時的池壁內力計算公式（11）和式（12）中的a取為0，所得公式與既有文獻中可查找的沿池壁全部高度作用三角形分布荷載時的池壁內力經典計算公式完全相同。

4 沿池壁部分高度作用矩形分布荷載

1）如圖3所示，在0≤x≤a區段內，池壁未受荷載作用。此時的池壁位移和內力仍可用式（3）～式（6）表示。

2）在a＜x≤H－a區段內，池壁受到矩形分布荷載。此時，px為常數，用p表示，故是得到：

利用與上節所述相同的邊界條件求出積分常數C1～C8后，將其代入式（3）～（6）及式（13）～（16）中，即可求得池壁內力為：

2）a＜x≤H－a區段內

同樣，將上述推導的沿池壁部分高度作用矩形分布荷載時的池壁內力計算公式（17）和式（18）中的a取為0，所得公式與既有文獻中可查找的沿池壁全部高度作用矩形分布荷載時的池壁內力經典計算公式也完全相同。

5 有限元驗證

為驗證所推導公式的正確性，現利用有限元分析軟件ANSYS對前述半地下式圓形曝氣池的池壁內力進行數值計算。該曝氣池池壁頂端自由，池壁底端與底板整體澆注，因此建模時只建立池壁模型而不建立底板模型，對池壁底端的約束情況按剛性固定約束處理。由前述彈性假定，采用彈性殼單元Shell63［8］模擬池壁。在處理池壁鋼筋時，不建立鋼筋模型，而將鋼筋對池壁的作用轉化為等效荷載施加到池壁上。由于該曝氣池的對稱性，故僅建立1／8的池壁模型。該曝氣池有限元計算模型見圖4。

圖4 有限元計算模型

考慮到土壓可由上述兩種基本的分布荷載進行疊加得到，因此以土壓作用下的池壁內力計算為例進行驗證。沿池壁高度取距離池壁頂端分別為0，1，…，9m的10個計算點，由ANSYS計算得到池壁內力在這10個計算點處的數值解，并與解析解比較，結果見表1。從表中可知，兩者符合較好，從而驗證了推導的池壁內力計算公式（11）和式（12），（17）和式（18）的正確性。

表1 土壓作用下池壁內力的比較

6 結束語

結合某工程實例，利用彈性力學的方法，推導了沿池壁部分高度分別作用三角形和矩形分布荷載時半地下式圓形貯液池池壁內力的解析表達式，現有文獻中可查找的沿池壁全部高度作用三角形或矩形分布荷載時的池壁內力經典計算公式作為特例含于其中。根據疊加原理可得到半地下式圓形貯液池在各種分布荷載作用下的池壁內力。將推導的解析解與通過有限元分析軟件ANSYS計算求得的數值解進行比較，結果表明兩者符合較好，從而驗證了所推導解析解的正確性。

［1］ 劉健行，郭先瑚，蘇景春.給水排水工程結構［M］.北京：中國建筑工業出版社，1994.

［2］ 尉希成.貯水構筑物內力分析［M］.北京：中國鐵道出版社，1986.

［3］ 賈乃文.混凝土特種結構力學分析與設計計算［M］.北京：中國建筑工業出版社，1993.

［4］ GB 50069－2002.給水排水工程構筑物設計規范［S］.北京：中國建筑工業出版社，2002.

［5］ CECS 138：2002.給水排水工程鋼筋混凝土水池結構設計規程［S］.北京：中國建筑工業出版社，2002.

［6］ 杜毛毛.半地下式預應力圓形水池池壁內力分析及預應力分布研究［D］.長沙：中南大學，2006.

［7］ 朱彥鵬.特種結構［M］.武漢：武漢理工大學出版社，2008.

［8］ 王新敏.ANSYS結構分析單元與應用［M］.北京：人民交通出版社，2011.