頻域子空間模態參數辨識的改進算法

馬立元，李永軍，王天輝，李世龍

（軍械工程學院 導彈工程系，石家莊050003）

作為子空間模態參數辨識算法的一個分支，頻域子空間辨識算法出現較晚，最早由T.Mckelvey等人于1994年提出。對于復雜結構，其輸出點較多，關心的頻域范圍較廣，因此導致非常大的計算量。很多情況下，實驗室的設備很難滿足這種大計算量的要求。為解決這一矛盾，筆者提出頻域子空間辨識算法的改進方法，不需要采用濾波手段，能在不減少數據量的前提下，減小計算量，得到關注頻域內的模態參數。

1 頻域子空間模態參數辨識基本原理［1－2］

多自由度振動系統離散時間系統的狀態方程描述為［3］

式中：ξk＝ej2πk／N為傅里葉算子；U、Y 分別為輸入u、輸出y的傅里葉變換。

則式（2）寫成

由于Y、X和U均為復數，則上式可以寫成

Re（·）表示復數的實部，Im（·）表示復數的虛部。

根據輸出獲得系統狀態方程中的矩陣A、C的估計矩陣＾A和＾C，具體算法如下：

構建矩陣

式中：A／B表示矩陣A 到矩陣B 的行空間上的投影。對RT22進行奇異值分解

可得到Or的估計值

式中：n為模型的階次，系統的階次常根據Σ中較大的奇異值個數確定。

根據最小二乘法估計矩陣A，C

式中：上標“?”表示 Moore-Penrose逆；N0為輸出點個數。

采用離散系統建模，模態頻率、阻尼和振型的計算式如下［4］：

式中：λk為矩陣A的特征值；Ψ為矩陣A的特征向量。

2 分段頻域子空間辨識算法

上述的頻域子空間算法，頻域子空間辨識方法中，矩陣Y和U的塊行數q需要仔細考慮。為了能進行辨識計算，必須滿足q≥n，n為系統階次。經數值計算經驗證明，對于小阻尼系統，q值取的較大為好。一般需要滿足q≥10n［7］。而為了獲得較為準確的傅里葉變換，又必須有足夠大的數據長度。一般情況下，實驗室設備無法滿足要求。以某一梁結構為例，其輸入點1個，輸出點為5，在一臺式計算機上進行計算，計算機參數為主頻2.6GHz，內存4GB。當頻域數據點超過2 500時，則產生了內存溢出問題。

為此，筆者提出了一種分段計算方法，以減小對計算設備要求。其方法如下：U（k）∈CN×l，Y（k）∈CN×L.分別表示時域輸入輸出數據u，y的離散傅立葉變換，N為采用點數，l為輸入點數目，L為輸出點數目。

將U，Y分成K 段，第i段為

Ni為該段內的頻率點數。

當采用離散模型建模時，

表示z域內單位圓上的某一點。對于第i段頻域數據Ui和Yi，其對應的廣義算子為

k0為該段的起始點在全部頻率點中的排序序號。

其值為

對上式按照頻域子空間算法的一般算法進行模態參數辨識，則可獲得在第i個頻率段內的模態參數。將所有頻率段內的模態參數聚集在一起，則構成系統的所有模態參數。

分段算法的理論證明如下：

式（5）可以寫為

式中（·）i表示第i段數據分解結果。則

式（7）變為

可得到Or的估計值

式中，ni為該頻域段內系統階次。

而對系統矩陣的估計為

因此，對頻域分段辨識得到的特征值為系統矩陣特征值的一部分，辨識所得模態參數為系統在該頻域段內的模態參數。但是，需要特別指出的是，在分段辨識模態參數時，因其只分析該段內的數據，系統的階次將發生變化，需要重新確定系統階次。

3 分段計算辨識矩陣與系統系數矩陣之間的關系

因分段計算得到的系統矩陣僅為某一頻段辨識結果，因此，最終系統矩陣需要進行綜合計算。設輸入輸出的傅里葉變換數據分成K段，第i段數據得到的系統矩陣為Ai、Bi、Ci、Di，則

式中（·）（i）表示第i段傅里葉變換數據。

由上式可得最終辨識的系統矩陣為對D進行平均的原因是各個頻域數據段辨識結果中的矩陣Di不受頻域段的影響。可以認為D≈D1≈…≈Di…≈DK。

4 變截面軸上的應用

某裝備的傳動部件受環境、自身轉速等因素影響，經常出現故障。為了減少故障率，要使傳動軸的轉速避開其固有頻率，因此有必要對傳動軸的模態參數進行辨識。

實驗對象是一個橫截面為方形的臺階軸結構，材料是45號鋼，傳感器及激勵點如圖1所示。由于該軸的對稱性，可以只考慮其彎曲模態，減少傳感器數量需求。

圖1 變截面軸測點布置

在進行模態分析實驗時，對實驗對象采用力錘進行激振。采樣頻率為10 000Hz，每個響應信號取10 000個采樣點。實驗時利用動態信號測試儀測得響應數據，利用Matlab軟件編程實現模態參數識別。系統階次根據SVD分解結果，確定為4階。

對采集到的數據進行傅里葉變換后，頻域點分為3段，分別為：1—2 000點；2 001—4 000點；4 001—5 000點。有限元計算（FEM）能夠使分析者對該框架結構的特征有初步了解，也可以為實驗室的測試工作和參數辨識計算提供參考，使分析者在實驗之前就能夠大致掌握振型節點的所在之處，結構的基本振型等情況。對于小型金屬結構，已經驗證有限元計算結果的可靠性［5－6］。表1給出了分段計算辨識結果與有限元計算結果的對比。

表1 辨識結果與有限元結果比較

圖2—圖5列出了ANSYS計算的振型和分段頻域子空間方法識別的振型對比。

通過表1和圖2—圖5對比發現，試驗模態參數識別得到的各階模態參數與有限元分析得到的分析模態參數基本一致，證明了本研究所采用的模態參數識別方法基本正確，所得的模態參數準確反映了該部件的動態特性。

圖2 第1階振型對比

圖3 第2階振型對比

5 結論

從頻域子空間基本算法出發，提出了一種采用采用分段頻域子空間的模態參數識別方法，其有效性及準確性被試驗分析所證明。

圖4 第3階振型對比

圖5 第4階振型對比

經試驗證明，在頻域數據點數較小的情況下，該算法仍然能夠獲得相對準確的模態參數，從而能夠減小計算量和對計算資源的需求。

［1］ 唐煒.飛機顫振模態參數識別方法研究［D］.西安：西北工業大學，2006.

［2］ Mckelvey T.Subspace Methods for Frequency Domain Data［A］.In Proceeding of the 2004American Control Conference［C］∥Boston，Massachusetts，USA，2004.

［3］ 常軍.隨機子空間方法在橋梁模態參數識別中的應用研究［D］.上海：同濟大學，2006.

［4］ 樊江玲.基于輸出響應的模態參數辨識［D］.上海：上海交通大學，2007.

［5］ 薛瑋飛，張智，陳進等.空調配管模態仿真分析與實驗研究［J］.機械科學與技術，2010，29（6）：822-825.

［6］ 孟杰，陳小安，陳鋒.高速電主軸的試驗模態分析［J］.機械設計，2009，26（6）：70-78.

［7］ Schoukens J，Pintelon R.Estimation of nonparametric noise models［C］∥IEEE Instrumentation and Measurement Technology Conference.Sorrento，Italy，2006.