盤式制動器熱彈性不穩定性的有限元分析

王欲進，李曉明

（1.太原大學 機電系，太原030009；2.太原理工大學 電氣與動力工程學院，太原030024）

在兩個相對滑動的物體間產生的摩擦熱會改變接觸壓力分布而產生熱彈性變形，這個熱力耦合過程被稱為摩擦激熱彈性不穩定或TEI［1］。如果滑動速度大于臨界速度，將導致熱機械反饋不穩定，引起非均勻接觸壓力改變和很大梯度的局部高溫，稱為“熱點”［2］。這種局部熱點伴隨著較大的局部應力，可導致材料退化并最終失效［3］。此外，熱點還是摩擦振動源，在汽車盤式制動器上被稱為“熱粗糙”或“熱抖動”［4］。

筆者采用瞬態有限元分析法對盤式制動系統熱彈性完全耦合不穩定的問題進行了分析，為盤式制動器分別建立了力學和熱力學模型，并采用交錯法求解［5］；建立了盤式制動器的三維有限元模型。盤式制動器的力學模型假設以3m／s2的減速度將車速從160km／h減到80km／h；初始溫度為80℃的熱力學模型與機械模型相互作用產生摩擦熱，使盤的材料膨脹并改變了接觸狀態。通過比較仿真結果，驗證了有限元模型的可靠性并確認了計算方案。

1 理論背景

引入基于有限元法的約束動態系統［6］。對一般熱傳導方程進行了簡要回顧，并通過交錯法闡述了分析熱力耦合系統的基本策略。

1.1 動態的約束柔性多體系統

使用增廣拉格朗日方法來描述該約束系統是有效的。漢密爾頓原理的擴充功能是：

其中：k是比例因子；p是補償系數；λ是拉格朗日乘數向量；φ是約束向量；L是機械拉格朗日，定義為L＝T－V，是動能和勢能的系統，T和V分別代表系統的動能和勢能；W 是外力的虛功。運用虛功位移理論，運動方程則如：

其中q是廣義向量坐標。方程（2）的矩陣形式為：

其中B是梯度矩陣約束；g是表面的力向量

該運動的線性形式可以描述為：

1.2 瞬態傳熱方程計算

元件范圍內的溫度是對節點溫度向量的計算：

式中：x是節點坐標；φ（x）為插值函數向量，T（t）為節點溫度向量。該熱控制方程的轉移問題：

式中：C（T）和K（T）分別是離散系統的溫度相關熱容和熱電導率矩陣；T是節點溫度向量，˙T是溫度向量對時間的導數；Q（T）是熱流量向量。方程（7）在時間γ的向量解可表示為：

對溫度的變化率可以寫成：

1.3 摩擦接觸熱的計算

盤式制動器中，在制動盤和制動片之間產生摩擦熱量。在節點每單位時間內摩擦產生的熱量的計算公式為：

式中：η是機械功轉換成熱的比例因子；μ是摩擦系數；σc是接觸應力；v是該處的速度。發熱總量由?ω參數決定：

1.4 計算策略

計算分析策略如圖1所示。熱力學模型可發送節點溫度到力學模型，力學模型把節點位置、功率和接觸壓力傳輸到熱力學模型。在t＝0時，力學模型的初始靜態計算結果和熱力學模型初始穩定狀態計算結果進行交換。

第一步，節點溫度分布的改變考慮力學模型初始變形及做功。

第2步，利用節點溫度，計算材料變形。該步影響包括接觸條件的限制，并且如果由于溫度太高而引起材料變形，Newton-Raphson方法可以不收斂。塑性變形和摩擦接觸產生的功在這一步計算。

第3步，功轉變為熱能并應用到熱力學模型作為熱負荷。在這一步，結點溫度的分布是在平衡狀態計量所得。

重復步驟2和3，直到計算時間結束。在每一步驟，根據方程（9）和（11）余數自動控制時間步長，如果在允許的迭代次數內余數不收斂，計算結束。

圖1 基于交錯法的分析策略示意圖

2 仿真

2.1 有限元模型

圖2是由單盤和雙片組成的簡單的盤式制動器有限元模型和邊界條件。盤的外徑R1和內徑R2分別是127.5mm和80mm。制動片的有效角φ＝60°，盤和片的厚度分別為19mm和15mm。盤用一個鉸鏈固定在地上以1 400r／min旋轉；制動片可在z軸方向移動，并用2 500kPa的恒壓推襯墊表面。在盤和片之間的摩擦接觸條件為表面系數μ＝0.4。為了避免奇點問題，減少計算量，盤的旋轉速度從0增加到1 400轉的時間為0.1s。當盤的旋轉速度達到最大值，片開始移動。因此，在t＝0s時，沒有必要進行動態模型的靜態分析；當從片接觸盤并達到動態穩定狀態時，摩擦接觸條件收斂在牛頓拉夫遜迭代的極小的數目上。在圖2中，描述了熱力學模型的邊界條件且十分簡單。盤和片的初始溫度為80℃，表面對流條件以參考溫度25℃作用在盤上的所有表面，對流系數h＝40W／m2℃。使用8節點六面體元素并假定各部分都為鋁。

圖2 有限元模型和簡易盤式制動器邊界條件

2.2 仿真結果

圖3 顯示了盤表面隨時間在徑向方向的溫度分布變化。在t＝0s時，盤的溫度為80℃；t＝10s時增加到最高442℃。它表明，盤的內緣區域溫度高于外緣區域溫度。在地面和盤的內圈表面節點集之間安裝有鉸鏈關節（參見圖4），并通過旋轉節點以1 400 r／min旋轉。從而，反應力集中在位于盤內圈節點，且表面接觸壓力和溫度逐漸增加。

圖3 制動盤表面溫度在徑向隨時的變化分布

圖4 盤和片在軸向的溫度變化

圖5 -a、5-b顯示該盤的厚度變化和沿徑向方向盤的溫度變化。在圖5-a中，盤厚度變化的節點1位于盤內圈表面，幾乎是零。由于六自由度節點1是固定盤的中心節點，其中裝有鉸鏈節，在y軸平移，這是與盤上的旋轉軸相同的方向，由此產生的盤厚度變化是0。在節點2，盤厚度變化急劇，接觸壓力和溫度增加主要集中在這一區域，在節點2和5之間幾乎保持恒定的水平，然后下降。隨著時間的增加，盤厚度變化也越來越大，這是由于盤和片材料的熱膨脹而引起接觸的壓力改變，使盤厚度變化逐漸增大。

由于溫度的升高，熱膨脹越來越大。圖5-b顯示了隨著時間的變化在每個節點上的溫度升高，最高溫度在節點2和3處。

圖5 盤的厚度和溫度在徑向的變化曲線

3 結束語

本文對盤式制動系統的熱彈性不穩定性（TEI）進行了討論，建立了一個單盤雙片的簡單有限元模型，并使該盤式制動器以1 400r／min的速度進行恒速轉動，以此演示其熱彈性不穩定性現象。采用交錯式中間處理器將力學分析和熱力學分析的結果結合起來，并將溫度分布、接觸功率及每個時步的節點位置的力學分析和熱力學分析結果進行對比，從而獲得完全熱耦合系統的解決方案。制動片表面的接觸壓力分布，根據盤式制動器的旋轉方向而變化。對盤式制動器制動盤的厚度變化和溫度進行了計算，為制動器的選材、結構設計以及磨損提供了理論依據，并對制動的振動和噪聲研究有很好的工程使用價值。

［1］ Lee K J，Barber J R.An Experimental Investigation of Frictionally-Excited Thermoelastic Instability in Automotive Disk Brakes Under a Drag Brake Application［J］.Journal of Tribology，1994，116：409-414.

［2］ Altuzarra O，Amezua E，Aviles R，et al.Judder vibration in disc brakes excited by thermoelastic instability［J］.Engineering computations，2002，19（4）：411-430.

［3］ Jang Y H，Ahn S H.Frictionally－excited thermoelastic instability in functionally graded material［J］.Wear，2007，262：1102-1112.

［4］ Yi B Y，Barber J R，Zagrodzki P.Eigenvalue solution of thermoelastic instability problems using Fourier reduction［J］.Proceedings of the Royal Society of London A，2000，456：2799-282.

［5］ Yoon G H，Sigmund O.A monolithic approach for topology optimization of electrostatically actuated devices［J］.Computer Methodsin Applied Mechanics and Engineering.2008，197：4062-4075.

［6］ Geradin M，Cardona A.Flexible Multibody Dynamics［M］.John Willey ＆Sons.Chichester，England，2000.