基于壓縮感知的超寬帶信道估計方法的研究

于華楠 郭樹旭

(吉林大學電子科學與工程學院 長春 130012)

1 引言

超寬帶技術具有高數據傳輸率、低功耗、低成本、較強的抗多徑效應等特點。但是接收高帶寬信號所需要的高速率 A/D轉換會導致通信設備復雜程度的增加或者采樣分辨率的下降，這是超寬帶通信需要突破的瓶頸之一[1]。文獻[2]提出的壓縮感知理論，對可壓縮的信號以遠低于奈奎斯特速率的方式進行采樣，仍能夠精確地恢復出原始信號。利用UWB信道的稀疏特性，壓縮感知理論能夠有效地降低UWB通信系統的采樣速率[3]。文獻[4]將壓縮感知理論引入到UWB通信中，設計了一個基于概率模型的GLRT檢測器。文獻[5]提出了一種基于壓縮感知的UWB信道隨機觀測估計算法，并將信道估計結果應用于UWB信號檢測中，在較低的采樣速率下取得了更好的誤碼率性能。隨著對壓縮感知理論的深入研究，文獻[6]設計一種新穎的UWB通信系統，適用于符號間干擾更嚴重的信道環境。但上述文獻中并沒有深入討論UWB信道的稀疏特性，以及建立在這個特性基礎上的壓縮感知理論的各個要素的研究。

本文在壓縮感知理論框架下討論超寬帶系統的信道估計問題。通過分析UWB信道的稀疏特性和信道結構特征，設計過完備字典庫和觀測矩陣，結合準-托普林茲矩陣結構把觀測矩陣描述成濾波器的形式，提出了一種濾波矩陣估計算法。該算法在考慮信道噪聲的環境下，具有較高的估計精度，而且對加性高斯噪聲具有更好的抑制作用。此外，該算法分別采用正交匹配跟蹤(Orthogonal Matching Pursuit, OMP)，基追蹤降噪(Basis Pursuit De-Noising, BPDN)和丹茨格選擇器(Dantzig Selector,DS)3種稀疏重建算法恢復原始信號。一方面驗證了該算法在實踐中的靈活性，另一方面本文對比分析實驗結果給出了UWB信道估計中CS重建算法的選擇建議。

2 壓縮感知理論

在壓縮感知理論框架下，考慮一般的信號重構問題。假設具有某個稀疏域，且可壓縮的信號x是一個N維向量，能夠在一組正交基的基礎上稀疏表達，即變換系數是稀疏的，則信號x可由N個基向量描述成線性組合的形式。

在壓縮感知理論中，對信號x的采樣過程可以描述為一個線性投影。即信號x經過線性變換后，輸出的觀測信號y包含M個元素，其中每個元素是x的一個檢測量。

其中F稱為觀測矩陣且M?N。由于觀測數量M遠小于信號長度N，所以直接重構的線性方程式(2)是欠定的。壓縮感知理論給出當觀測矩陣F符合等容受限(Restricted Isometry Property, RIP)時[7]，利用重建算法就能夠以很大的概率從觀測信號y中恢復出原始信號x，而不必知道未知信號u中非零元素的一系列位置。

綜上所述，基于壓縮感知理論的采集和處理信號過程可以總結如下：首先根據信號的特征設計過完備字典D，使x能夠在D中稀疏表示；然后，設計一個M×N維的觀測矩陣F，利用式(2)得到觀測信號y；最后，根據設計好的過完備字典D和觀測矩陣F，并選擇合適的重建算法，在接收端即可從觀測信號y中恢復原始信號x，實現超寬帶通信中的信道估計。

3 基于壓縮感知的UWB信道估計算法

目前，壓縮感知理論被廣泛應用于UWB信道估計中，是基于UWB信號本身可以在某個預先設計的字典D下稀疏表示，而且當尋找到一個與D不相關的觀測矩陣后，可以在重建算法的基礎上恢復原始信號。本文著重討論觀測矩陣的優化選擇問題。隨機觀測估計算法能夠基于壓縮感知理論框架實現UWB信道估計，本文在此基礎上進一步改進觀測矩陣的設計思路，提出濾波矩陣估計算法。

3.1 隨機觀測估計算法

本文采用IEEE 802.15.4a信道模型，UWB信道可以表示為

式中L是信道的多徑個數，al和tl分別是第l路信號的衰減和時延。在發送端，選擇具有單位能量的一階高斯脈沖信號p(t)作為發送短脈沖。若不考慮噪聲影響，經過UWB信道接收端得到的信號為

其中*代表信號的卷積。

在UWB信號的相關檢測中，接收端使用g(t)的估計值g?(t)作為相關檢測的模板信號。信道估計最直接的方式是對g(t)采樣，將采樣結果作為估計值。但在超寬帶系統中，g(t)為寬帶信號，直接采樣要求模數轉換器(A/D)以很高的速率工作，通常要求采樣速率達到10 GHz以上，目前的工藝條件基本無法實現。隨著壓縮感知理論成為信號處理的研究熱點，隨機觀測估計算法可以作為一種更為優越的解決方法。

隨機觀測估計算法在接收端用隨機觀測矩陣F1進行觀測得到觀測值y1。

設計滿足RIP原則的Φ1，通常可選擇多尺度Gabor方程、小波和正弦波方程以及隨機方程等。而對于過完備字典D最簡單的辦法是選擇單位矩陣。但在超寬帶通信條件下g(t)在單位矩陣上的稀疏程度不是最優的，需要更合適的過完備字典完成稀疏表達。考慮到UWB信道本身的稀疏性，即沖激響應h(t)是稀疏的，由h(t)與高斯脈沖卷積后得到的g(t)，可以視為p(t)的不同時延信號加權相加得到的。于是在設計過完備字典的過程中，將脈沖信號p(t)的不同時延信號作為過完備字典D中的原子，這樣g(t)將在D上很好地稀疏表示[5]。確定觀測矩陣和過完備字典后，只需進行M維的低速率A/D轉換，在獲得觀測信號y1的情況下，通過CS重建算法就可以得到相干檢測的模板信號。

但是這一結果是在忽略噪聲對傳輸導頻符號影響的前提下得到的。在實際的UWB信道中，噪聲不可避免，于是考慮噪聲影響的UWB接收信號可以表示為

式中n(t)是 UWB信道的加性高斯白噪聲，符合

將式(6)寫成離散形式，并用隨機觀測矩陣1F進行觀測，得到的觀測值為

可以看出，觀測過程同時對信號和噪聲起作用，即對信道噪聲進行了N維到M維的映射，由于M＜＜N，所以隨機觀測在降低采樣速率的同時也放大了噪聲。

3.2 濾波矩陣估計算法

為了避免觀測矩陣對噪聲的放大，本文在壓縮感知理論框架的基礎上提出了一種UWB信道濾波矩陣估計算法。該算法在發送端增加一個FIR濾波模塊代替接收端的觀測矩陣，由于線性變換的環節位于發射機部分，即在信道隨機噪聲參與之前已完成信號從N維到M維的映射，從而實現更高精度的信道估計。

假設FIR濾波器的沖激響應為m(t)，則UWB接收信號可以表示為

針對超寬帶信道的實際特性，其信道沖激響應h(t)是稀疏的。于是在本文提出的算法中，h(t)被當作信道估計的目標，直接采用單位矩陣作過完備字典即實現了信號的稀疏表達。

對c(t)和h(t)做低速率的M維A/D轉換，有

其中矩陣F2符合準-托普林茲矩陣結構，即F2的每一行由L個非零元素組成，每一行都是由上一行移位q得到的。文獻[8]證明了準-托普赫茲矩陣是符合RIP原則的，可以作為觀測矩陣的一種選擇方案。

由式(10)和式(11)，設計符合壓縮感知理論框架的觀測矩陣F2，它是對連續信號p(t) *m(t)進行抽樣處理后的離散信號形式。由于信道本身的充分稀疏性，過完備字典的選擇可以直接采用單位矩陣的形式。濾波矩陣估計算法是基于壓縮感知理論的，通過低速率的M維A/D轉換得到觀測值y2，即可利用重建算法得到信道沖激響應的估計值。對比式(7)和式(11)可以看出，本文提出的信道估計算法沒有對噪聲進行N維到M維的映射，也就避免了對噪聲的放大，所以受噪聲環境的影響較小。同時，本文提出的算法在發送端對p(t)進行濾波。濾波后的信號經過UWB信道傳輸，在接收端直接進行M維的低速率A/D轉換，降低了接收機的復雜程度。采用本文提出的算法進行信道估計，得到的結果是信道的沖激響應，并不是最終的發送信號，需要利用式(4)進行卷積運算，得到相關檢測中使用的模板信號。

3.3 重建算法

當M?N時，式(2)描述的線性變換是一個欠定方程，而尋找欠定方程的最稀疏解是NP難問題。文獻[2]證明這一問題可以轉化成對數學規劃問題的求解。將式(2)中引入信道的加性高斯白噪聲的干擾，

信號重建的過程即在式(12)中利用觀測值y恢復出信號x。常用的稀疏重建策略主要有l1范數收縮和貪婪算法等，本文主要分析l1范數收縮中的BPDN[9]算法和DS[10]算法以及貪婪算法中的OMP[11]算法。

BPDN算法由BP算法發展而來，嚴格的說，BP是一種最優化策略，任何能夠用來解決線性規劃問題的算法都可以用來實現 BP最優化策略，如著名的單純型法和內點法。BPDN算法用來解決如下的二次規劃問題，

也可以寫成

另一類基于l1范數收縮的方法是DS算法，該算法求解以下優化問題：

對比式(14)和式(15)，DS算法與BPDN算法類似。區別在于BPDN算法利用l2范數懲罰殘差，而DS算法通過使殘差與所有原子的相關性最小來實現最優化。與l1范數收縮策略不同，OMP屬于貪婪算法。OMP算法原理簡單、易于理解，且算法復雜度較低，是一種廣泛應用的稀疏分解算法。OMP算法的一個重要的屬性就是不會對一個原子選擇兩次，所以當進行k次迭代后，估計結果滿足即滿足迭代的終止條件。

通常以Oracle估計器的均方誤差作為檢測其他估計器性能的指標。除了已知觀測信號y, Oracle估計器還要基于x中非零元素的位置，而這在實際中是不可能得到的信息。理論上，文獻[12]證明BPDN, DS和OMP都能夠得到Clgm倍Oracle估計器的均方誤差，其中C是一個常數。本文將通過仿真實驗進一步分析在基于壓縮感知的UWB信道估計問題中3種估計器的性能。

4 仿真實驗

為了驗證濾波矩陣估計算法的估計性能以及信號檢測過程中的重建效果，本文通過下面3組實驗對信道環境及信道估計算法進行仿真。

實驗1仿真UWB信道環境。在居民小區環境和視距傳輸模式下，采用IEEE 802.15.4a信道模型。圖1是UWB信道在一階高斯脈沖作用下的響應，也就是相干檢測中用到的目標模板信號。在本文的算法中，把它作為信道估計的待重建信號。

圖1 UWB信道一階高斯脈沖響應

實驗2采用OMP算法作為CS的重建算法，進行UWB信號相干檢測實驗。取N= 1 000,M=360,K= 1 80,Np= 2 5,Ns= 1 0，本組實驗中發送1000個信息比特，且考慮信息比特在UWB信道中傳輸中受到加性高斯白噪聲的影響。仿真結果如圖2所示，其中圖2(a)為假設傳輸導頻符號不受噪聲影響時的仿真結果，圖2(b)為傳輸導頻符號受加性高斯白噪聲影響時的仿真結果。

從圖2中可以看出，在傳輸導頻符號不受噪聲影響時，直接采樣估計得到的就是最優的模板信號估計結果，但是直接采樣需要較高的 A/D轉換速率。此時，隨機觀測估計算法和本文提出的算法都能夠精確地估計出模板信號，相干檢測的誤碼率曲線十分接近。而在傳輸導頻符號受到加性高斯白噪聲影響時，對比圖2(a)，圖2(b)，本文提出的濾波矩陣估計算法進行相干檢測的誤碼率性能受到噪聲的影響最小，直接采樣估計受到噪聲的影響明顯變差，而隨機觀測估計算法的誤碼率性能最差。當信噪比小于0.5 dB時，3種算法的誤碼率性能接近，當大于0.5 dB時，本文算法具有明顯優勢。根據前面的理論分析，仿真結果出現明顯差異的原因在于，隨機觀測矩陣在觀測過程中放大了噪聲，所以在較低信噪比環境下，應用CS理論估計信道時OMP算法重建失敗，沒有有效地估計出相干檢測的模板信號，導致信號相干檢測的誤碼率急劇上升。本文提出的算法避免了對噪聲的放大過程，從而得到更好的檢測結果。

實驗 3取N= 1 000,M= 3 60,K=50，采用本文提出的估計算法，圖3給出了OMP, DS和BPDN重建算法在不同信噪比下的UWB信道估計結果。下面給出實驗中的主要參數。OMP算法的最大迭代次數取 100，且信號的目標冗余能量s=3×1 0?3。在BPDN和DS算法中，取相同的目標冗余能量值。對于BPDN算法，松弛參數e= 0 .05。在應用 DS算法的重建過程中，原始-對偶差值為x= 1 0?3，原始-對偶迭代次數的最大值選擇50。最后，我們采用均方誤差(MSE) 作為性能指標考察3種算法的重建效果，圖3是實驗20次取平均的結果。

圖2 UWB信道相干檢測的誤碼率

圖3 3種重建算法的估計誤差對比

對比圖3中的3條曲線， DS算法和BPDN算法的均方誤差很接近，且DS算法略優于BPDN算法；OMP算法在高信噪比情況下均方誤差優于DS算法和BPDN算法，而在低信噪比情況下性能較差。由于 OMP算法簡單、易于實現，所以在高信噪比條件下，優先選擇OMP算法作為UWB信道估計的稀疏重建算法是合理的思路；在信噪比較低OMP算法無法滿足均方誤差要求時可以考慮 DS算法或者BPDN算法。

5 總結

基于壓縮感知理論的UWB信道估計能夠克服UWB通信中直接采樣的高速A/D轉換的問題，具有廣泛的應用前景。本文提出的基于 CS的 UWB信道濾波矩陣估計算法能夠避免觀測矩陣對噪聲的放大，具有更好的誤碼率性能。本文通過相干檢測算法驗證了這種算法在考慮信道噪聲的情況下重建信號的能力，然后，本文對信道估計中的 3種 CS重建算法進行了對比仿真分析，并給出選擇建議。將本文提出UWB信道估計算法應用于信道估計及相關檢測中，能夠在較低的采樣速率下獲得很好的誤碼率性能，與傳統的信道估計方法相比，本文提出的濾波矩陣估計算法只需要較少的能量來獲得期望的誤差性能，并且能夠適應多種信道環境和帶寬條件。

[1] Selmic R R, Mitra A, Challa S,et al.. Ultra-wideband signal propagation experiments in liquid media [J].IEEE Transactions on Instrumentation and Measurement, 2010,59(1): 215-220.

[2] Donoho D L. Compressed Sensing [J].IEEE Transactions on Information Theory, 2006, 52(4): 1289-1306.

[3] Bajwa Waheed U, Haupt J, Sayeed A M,et al.. Compressed channel sensing: a new approach to estimating sparse multipath channels [J].Proceedings of the IEEE, 2010, 98(6):1058-1076.

[4] Wang Zhong-min, Arce G R, Paredes J L,et al.. Compressed detection for ultra-wideband impulse radio [C]. IEEE 8th Workshop on Signal Processing Advances in Wireless Communications, Helsinki, June 2007: 1-5.

[5] Paredes J L, Arce G R, and Wang Zhong-min. Ultrawideband compressed sensing: channel estimation [J].IEEE Journal of Selected Topics in Signal Processing, 2007, 1(3):383-395.

[6] Jin B, Zhang S, Pan J,et al.. Serial compressed sensing communication system for UWB impulse radio in bursty applications [J].Electronics Letters, 2011, 47(6): 412-414.

[7] Candes E J, Romberg J, and Tao T. Robust uncertainty principles: exact signal reconstruction from highly incomplete frequency information [J].IEEE Transactions on Information Theory, 2006, 52(2): 489-509.

[8] Bajwa Waheed U, Haupt Javis D, Raz Gil M,et al..Toeplitz-structured compressed sensing matrices [C]. IEEE 14th Workshop on Statistical Signal Processing (SSP),Madison, Wisconsin, August 2007: 294-298.

[9] Liu Chun-shan, Chen Te-yan, and Zakharov Y V. Broadband underwater source localization by solving basis pursuit de-noising using coordinate descent search [C]. 2010 7th International Symposium on Wireless Communication Systems (ISWCS), York, Sept. 2010: 1-5.

[10] Candes E and Tao T. The Dantzig selector: statistical estimation when p is much larger than n [J].The Annals Statistics, 2007, 35(6): 2313-2351.

[11] Huang Shi-sheng and Zhu Ju-bo. Recovery of sparse signals using OMP and its variants: convergence analysis based on RIP [J].Inverse Problems, 2011, 27(3): 35003-35016.

[12] Bickel P J, Ritov Y, and Tsybakov A. Simultaneous analysis of Lasso and Dantzig selector [J].The Annals Statistics, 2009,37(4): 1705-1732.