瞬變等離子體中電磁波頻率漂移特性研究

楊利霞 于萍萍 馬 輝 石雁祥 葛德彪

(1.江蘇大學通信工程系，江蘇 鎮江 212013;2.東南大學毫米波國家實驗室，江蘇 南京 210096； 3.新疆伊犁師范學院電子與信息工程學院，新疆 伊犁 835000； 4. 西安電子科技大學物理系，陜西 西安 710071)

引 言

等離子體是由大量帶電粒子組成的非束縛態宏觀體系，為物質的第四態，具有縱多獨特的性質，人們對其電磁特性的研究也越來越熱。以前，由于多方面條件的限制，研究的目標只限于非時變等離子體。實際應用中的等離子體,它的等離子體頻率會隨著時間發生變化。目前，關于時變等離子體的研究仍然處于初步分析的階段。國際上，文獻[1]較早地從理論公式出發，推導了電磁波在時變介質中的傳輸情況；Dikshitulu K.Kalluri[2-3]等人將這種時變介質具體化，一直致力于研究電磁波在時變等離子體中的傳輸特性。在國內，關于時變等離子體的研究成果還比較少，劉少斌等人從隱身技術的角度初步研究了時變等離子體[4]。

楊利霞[5]、謝應濤等人曾利用FDTD方法研究了非時變等離子體的特性，并提出了解決各向異性色散介質問題的基于電流密度拉普拉斯變換的FDTD(CDLT-FDTD)方法[6]。本文利用CDLT-FDTD方法，推導一維時變等離子體的FDTD迭代式，并編程計算了矩形金屬腔中在某一時刻瞬間加入等離子體(例如在某一時刻迅速在腔內加入電壓進行電離)后有哪些新的特性產生。從理論上推導得到了解析解。最后，選取算例，將FDTD數值計算結果與具體計算得出的解析解進行對比，證明了所采用FDTD方法的準確性,并得到了一些結論，為今后進一步的研究奠定了基礎。

1.瞬變等離子FDTD算法及遞推公式

在各向異性瞬變磁冷等離子體中，Maxwell方程組和相關的本構方程為

(1)

(2)

(3)

式中：v是等離子體中電子與中性粒子的碰撞頻率；ωb=eB0/me為電子旋轉頻率，B0為外部靜態磁場，e和me分別表示電子電量和電子質量；ωp(t)是時變等離子體頻率，假設等離子體在t0時刻瞬間產生，則它的函數形式可以表示為

(4)

ωp(t)的變化規律如圖1所示。

圖1 隨時間變化的等離子體頻率

圖2 一維FDTD離散Yee元胞離散圖

對一維問題的E,H,J可按如圖2所示位置進行網格剖分。對方程(1)、(2)進行差分離散，得到的FDTD方程為

(5)

(6)

(7)

(8)

對于J的迭代計算，采用CDLT-FDTD方法。將頻域方程做拉普拉斯變換到S域，再將其進行拉普拉斯逆變換到時域，進行差分離散。這樣做的好處是可以避免卷積運算，減小當ωb或v很大時，直接離散產生的較大誤差，并且在運算過程中可以利用矩陣向量的形式，減小復雜度，更加簡潔。

得到離散時域的J的FDTD迭代式:

(9)

(10)

(11)

具體編程計算時，采用一維矩形金屬腔作為計算模型，如圖3所示，電磁波的傳輸方向為z方向，兩金屬板間的距離為d，取d為1/2波長的整數倍。在編程時，對于邊界上是理想導體的問題，是通過設置理想導體的邊界條件即電場的切向分量為0來實現的；引入正弦波作為激勵源，電場的Ex分量和Ev分量僅在相位上相差π/2，即右旋圓極化波。分別計算了腔中不填充任何介質和在某一時刻瞬間加入等離子體后的電場值，具體計算結果見第3節。

圖3 一維矩形金屬諧振腔計算模型

2. 解析解的推導

推導了在圖3所示的諧振腔中瞬間產生等離子體后，腔內右旋圓極化電磁波的頻率的變化規律，即矩形腔的諧振頻率以及振幅等的變化規律。解析解的具體推導過程如下。

分別用E-和E+表示產生等離子體前后的電場。則在t

(12)

將式(12)代入方程(1)可得

(13)

(14)

(15)

同理可得

(16)

(17)

從Maxwell方程(1)、(2)和各向異性時變磁化等離子體的本構方程出發，可推導出時變等離子體的波動方程如下：

(18)

(19)

所以式(18)可寫為

μ0ωb×J-μ0vJ

=0

(20)

一維情況下，將式(20)展開，得

(21)

一維情況下的Maxwell方程組，可寫為標量形式如下：

(22)

(23)

式中

(24)

(25)

對式(23)進行因式分解，可得

(26)

式中ω1～ω3，α1～α3，D1，D2,D3,G1,G2,G3可通過式(25)、(24)和(23)計算得出。又知：

=Ae-α tcos(ωt+φ)

(27)

式中D=Acosφ,G=-Aωsinφ

(28)

由式可得

(29)

根據式(28)、(29)可以計算出φ.

(30)

由此可見，在碰撞頻率v不為0，磁化等離子體情況下，諧振腔內產生了新的諧振頻率，并且新頻率點的值由ω0、ωb和ωp_max的大小共同決定，電磁波的振幅也隨v值呈指數衰減。

當碰撞頻率v為0時，式(23)可因式分解為

(31)

聯合式(15)、(16)對式(31)進行拉氏逆變換，有

(32)

由此可見，在加入磁化等離子體后，Ex由原來的一個固有頻率ω0變成了三個新的頻率ω1～ω3，并且ω1、ω2、ω3的值是由ω0、ωb和ωp_max共同決定的，由于ω1～ω3的解用符號表示比較復雜，第3節將直接代入參數值列出結果。

在無外加磁場情況下，式(23)可寫為

(33)

(34)

對式(33)拉氏逆變換后可得

(35)

由此可見，當諧振腔中瞬間加入非磁化等離子體時，雖然沒有產生新的諧振頻率，信號振幅也未發生變化，但諧振頻率點卻產生了移動。

至此，從理論上得出了一維矩形金屬腔中添加瞬變磁化和非磁化等離子體的解析解，為數值計算的驗證提供了條件。

3. 算例驗證及數值分析

用本文提出的FDTD方法計算了矩形諧振腔中加入瞬變非磁化和磁化等離子體前后的結果，并與解析解進行對比，驗證了所采用的數值計算方法的準確性。

3.1 非磁化瞬變等離子體頻率漂移分析

非磁化情況，所用參數為：ωb=0 GHz，ω0=2π×10 GHz，E0=1 V/m，z=d/2，n=1.由第2節的理論計算可得

(36)

FDTD仿真結果如圖4所示，圖中實線為產生等離子體前的仿真結果，虛線表示產生等離子體后的仿真結果。

為了便于比較，從圖4中提出解析解和仿真值的頻率和振幅值，見表1所示。

根據圖4與表1可見，數值解與解析解的誤差很小，證明了用FDTD計算非磁化瞬變等離子體的準確性。當諧振腔中瞬間加入非磁化等離子體時，雖然沒有產生新的諧振頻率，信號振幅也未發生變化，但諧振頻率點向高頻方向產生了漂移。

圖4 加入瞬變非磁化等離子體前后矩形 腔內電磁波的諧振頻率

3.2 磁化瞬變等離子體頻率漂移分析

磁化情況，所用參數為：E0=1 V/m，ωp_max=2π×10 GHz，z=d/2，ωb=2π×10 GHz，n=1.理論計算得

(37)

FDTD仿真結果如圖5所示，圖中實線表示產生磁化等離子體前的結果，虛線表示產生磁化等離子體后的結果。

為了便于比較，從圖5中提出解析解和仿真值的頻率和振幅值，見表2所示。

從圖5與表2可以看出，磁化情況下，FDTD數值結果與解析解也非常接近，由此可驗證用FDTD方法計算磁化瞬變等離子體的準確性。

圖5 加入瞬變磁化等離子體前后矩形腔內電磁波的諧振頻率

理論解FDTD解產生等離子體前的振幅/(V/m)11產生等離子體前的諧振頻率/GHz1010產生等離子體后的振幅/(V/m)0.5476;0.2341;0.2191;0.5635;0.2507;0.2268;產生等離子體后的諧振頻率/GHz24.6;17;2.424.7;17.1;2.5

通過以上FDTD仿真值與解析解的對比，驗證了FDTD方法計算時變等離子體的正確性，可用此方法繼續分析一些解析解較難計算的復雜問題。同時也可以看出：在矩形諧振腔中瞬間加入非磁化等離子體后，諧振腔內電場的振幅不變，諧振點向高頻處移動；在矩形諧振腔中瞬間加入磁化等離子體后，諧振腔產生了新的諧振頻率，為進一步的分析和應用提供了思路和基礎；在碰撞頻率不為0時，新的諧振振幅有很大的衰減，這樣就對諧振頻率的提取提出了難題，怎樣解決此問題是我們今后的研究方向。

4.結 論

利用CDLT-FDTD方法，推導出了時變各向異性磁等離子體的FDTD遞推式，采用矩形金屬諧振腔中加入瞬變等離子體的模型進行了編程計算，分別得到了瞬變等離子體在是否有外加磁場情況下的數值解。并且從理論上推導計算了一維矩形金屬諧振腔中加入瞬變等離子體后的解析解。將數值解與解析解進行對比，驗證了所用方法的準確性。利用數值方法進一步計算，分析得出如下結論：在矩形諧振腔中瞬間加入非磁化等離子體后，諧振腔的振幅不變，諧振點朝高頻方向發生了漂移；在矩形諧振腔中瞬間加入磁化等離子體后，諧振腔中產生了新的諧振頻率，這些結果為進一步的分析和應用提供了思路和基礎。

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