有色噪聲背景下自適應雷達波形優化設計

莊珊娜 賀亞鵬 朱曉華

(南京理工大學電子工程與光電技術學院，江蘇 南京 210094)

引 言

雷達是通過對目標回波的處理進行檢測、跟蹤和識別的，而發射波形的選取會影響目標回波中信息的提取，因此，優化發射波形對雷達目標的檢測和識別均具有非常重要的意義[1-6]。針對目標環境中有色噪聲的統計特性自適應設計一組具有較低距離旁瓣和峰均比(PAPR)的發射波形，不僅可抑制有色噪聲，提高目標檢測性能，還能降低微弱信號被強信號距離旁瓣掩蓋的機率，同時降低系統復雜度，提高發射機的功率利用率，這對提高現代雷達的戰場適應力具有重要的軍事價值。

在統計特性已知的有色噪聲背景下，通過優化發射波形，雷達能夠顯著提高匹配濾波器的輸出信噪比(SNR)，增強檢測性能。Chen[7]提出了在已知擴展目標和雜波先驗信息的情況下，聯合優化MIMO雷達的發射波形和接收端濾波器的迭代算法，該算法收斂速度快且能獲得較好的檢測性能。Friedlander[8]構建了信號子空間來設計優化波形，使得在已知目標、雜波和噪聲的統計特性的條件下，最大化檢測器輸出SNR，改善檢測性能。但文獻[7][8]僅優化檢測SNR，忽略了波形自身性能，導致所優化波形自相關主旁瓣比過低，PAPR較高。針對該問題，Bergin[9]和Li[10]利用有色噪聲協方差矩陣的奇異性，提出了選取一組與有色噪聲無關的特征向量，對其加權逼近于某一預先設定的波形，使得SNR提高的同時波形性能接近于該預定波形。Maio[11]提出了一種相位編碼算法，使得在有色高斯噪聲中提高檢測性能，同時，使所優化波形的模糊函數逼近某一預先設定的雷達編碼信號，從而在一定范圍內獲得滿意的距離、多普勒分辨率。然而文獻[9]-[11]所優化波形性能受限于預先設定波形，靈活性較差，且會帶來較大SNR損失，降低檢測性能。

為解決上述問題，提出目標信號子空間加權(WTSS)法自適應設計發射波形，該方法能有效抑制有色噪聲，提高雷達檢測性能，同時獲得較好的自相關性和PAPR，且無需預先設定波形，靈活性高。首先，給出有色噪聲中目標檢測的系統模型及最大化檢測SNR的波形優化方法，選取一組目標-有色噪聲(TCN) 矩陣的大特征向量，對其標準正交化作為基構成目標信號子空間，通過對該子空間加權選取滿足相關性和PAPR約束的優化波形，建立目標函數搜索加權系數，并采用序列二次規劃(SQP)算法對其求解。仿真結果驗證了該方法的有效性。

1. 有色噪聲中目標檢測的系統模型

圖1 系統模型圖

因此系統輸出為

y=hHr=hHsR+hHn=ys+yn

(1)

式中：ys為目標分量；yn為有色噪聲分量，分別定義為

ys=hHsR

(2)

yn=hHn

(3)

假設發射信號與有色噪聲相互獨立，則回波的協方差矩陣表示為

Rr=E[rrH]=Rs+Rn

(4)

式中：E[·]為期望算子；Rs和Rn分別為發射波形和有色噪聲的協方差矩陣，定義如下

(5)

Rn=E[nnH]

(6)

根據式(2)～(6)，系統輸出端SNR為

(7)

使式(7)中γ最大化的最優接收濾波器為[12]

(8)

不失一般性，令α=1，將式(8)代入式(7)，得最優接收濾波器下的最優SNR為

(9)

2. WTSS法優化發射波形

以umax作為雷達發射波形，可使檢測SNR最大化，但往往存在波形自相關主旁瓣比低、PAPR高等問題。針對上述問題，WTSS法對TCN矩陣特征分解，選取大特征向量構成目標信號子空間，通過優化加權系數在其中選取最優發射波形，使得僅以較小的SNR損失為代價，在有效抑制有色噪聲的同時自相關性能和PAPR獲得較大改善。

2.1 目標信號子空間的選取

已知信號的功率譜密度，可通過式(10)獲得其協方差矩陣[13]。假設信號長度為N，頻譜范圍為[f1,f2]，其功率譜有Nb個通帶，第k個通帶的起始頻率為fk1，截止頻率為fk2， 則其N×N維協方差矩陣第m(m=1,2,…,N) 行第l(l=1,2,…,N)列元素rml為

(10)

式中：ξ(f)=exp[2πi(m-l)fΔt]；ωk為相應的加權系數； Δt為采樣間隔； Δt=1/(f2-f1).雷達系統在無目標時探測可獲得雷達環境中有色噪聲的功率譜密度，可利用式(10)獲得其協方差矩陣Rn，獲得TCN矩陣RQ.假設λ1≥λ2≥…≥λN為RQ的特征值，v1，v2，…，vN為其對應的特征向量。選取M個大特征值對應的特征向量vk(k=1,2,…,M)，對其標準正交化得到uk(k=1,2,…,M)，則{u1,u2,…,uM}構成目標信號子空間的正交基,通過加權獲得所需波形，即

(11)

特征向量個數M值的選取可采用信息論法、平滑秩法、矩陣分解法、蓋氏圓法以及正則相關法等[14]，其中平滑秩法和矩陣分解法誤差概率較高，蓋氏圓法穩定性較差，正則相關法計算復雜度較高，因此這里采用誤差概率較小且計算復雜度較低的信息論法，選取使

(12)

最小的M值作為目標信號子空間基的個數。式(12)中第一項為(N-M)個小特征值算術平均與幾何平均的對數似然比，第二項為基于最小描述長度準則的罰函數，因此，使式(12)最小化即可獲得TCN矩陣RQ不相關特征向量個數M值的一致性估計[16]，從而確定目標信號子空間基的個數。

2.2 建立滿足約束條件的目標函數

僅以最大化檢測SNR作為目標優化的發射波形，通常具有較高的距離旁瓣和PAPR.這將導致微弱信號容易被掩蓋，所需收發系統的動態范圍增大等，從而降低雷達的整體性能。為克服上述缺陷，WTSS法在抑制有色噪聲的同時，對波形的自相關特性和PAPR加以約束，使所優化波形具有更為良好的性能。

發射信號sT=[s1,s2,…,sN]T的自相關函數為

(13)

令l=0,得主瓣幅值為

(14)

即信號自相關函數的峰值為常數，為獲得高主旁瓣比，則要求其旁瓣盡可能低，在此以積分旁瓣電平( ISL)作為衡量標準，即

(15)

考慮到實際工程應用，為降低收發系統的動態范圍和復雜度，提高發射機的功率利用率，發射波形應具有較低的PAPR.信號PAPR定義為信號功率峰值與均值的比，即

(16)

(17)

式中：α=N/E為常數；‖·‖∞為向量的∞范數。若系統可接受的PAPR為p≥1，則有

α(‖sT‖∞)2

(18)

根據式(11)、(15)和(18)可建立在提高檢測SNR的同時降低波形自相關旁瓣和PAPR的目標函數為

(19)

2.3 基于SQP的波形優化設計

SQP算法通過求解一系列的二次規劃(QP)子問題獲得原問題的最優解，具有全局收斂性，其收斂速度快、可靠性高、適應能力強[17]。普遍認為該方法是求解非線性約束最優化問題十分有效的方法，被廣泛應用于工程優化問題的求解。

令U=[u1,u2,…,uM]，α=[α1,α2,…,αM]T，則式(19)可表示為

s.t.c1(α)=‖α‖2-E=0

(20)

c2(α)=q-‖Uα‖∞≥0

式中：‖·‖2為向量2范數?；赟QP算法求解目標函數式(20)步驟歸納如下：

步驟 2: 求解二次規劃子問題

mindT

s.t.c1(α(k))+dTc1(α(k))=0

(21)

c2(α(k))+dTc2(α(k))≥0

得到d(k)及其對應的拉格朗日乘子β(k+1).

步驟 3: 采用增廣拉格朗日函數作為效益函數，從點α(k)沿方向d(k)進行線性搜索確定步長γk，并令α(k+1)=α(k)+γkd(k).

SQP算法的計算量主要集中在QP子問題式(21)的求解上，因此其計算復雜度為O(M3)[18]。步驟 3中選擇增廣拉格朗日函數作為效益函數，使得對充分大的k有γk=1，即α(k+1)=α(k)+d(k).又由文獻[19]得，目標函數下降方向d(k)滿足

(22)

式中：αopt為目標函數的全局最優解。因此，采用SQP算法求解式(19)中目標函數具有超線性收斂性[17]。

3. 仿真結果及分析

為驗證WTSS法的有效性和優越性，下文給出計算機仿真，針對點目標和擴展目標兩種目標模型，從波形抑制有色噪聲的性能、自相關主旁瓣比及PAPR三方面與文獻[10] SWORD法優化波形和無自相關及PAPR約束波形(即TCN矩陣RQ最大特征值對應的單位特征向量，下文簡稱無約束波形)相比較。

實驗1：目標模型為點目標，采樣點數N=100，采樣間隔Δt=1/B，系統帶寬B=25 MHz，其中15～18 MHz處存在有色噪聲，系統可承受的PAPR為3.實驗中三種波形的功率譜密度和自相關特性分別如圖2、圖3所示。

從圖2可看出:在15～18 MHz頻帶處，SWORD法獲得-56.55 dB左右的零陷，而WTSS法可形成-141.21 dB左右的零陷，可更有效地抑制有色噪聲。與無約束波形相比WTSS法優化波形的零陷較淺，這是由于需要兼顧相關性和PAPR，以較小的SNR損失換取自相關性能和PAPR的較大改善。由圖3可知，與SWORD法優化波形和無約束波形相比，WTSS法優化波形的自相關旁瓣最低，微弱信號被掩蓋的機率最小，檢測性能最佳。

實驗2：有色噪聲所處的頻帶分別為5～7 MHz、10～12 MHz及15～16 MHz，其余仿真條件同實驗1.仿真得出，WTSS法優化波形的PAPR為2.70，分別比SWORD法優化波形和無約束波形低17.36%和15.45%.由圖4可看出，在有色噪聲頻帶數增多的情況下，WTSS法優化波形和無約束波形對有色噪聲的抑制程度均明顯優于SWORD法優化波形。圖5給出了三種波形的自相關特性曲線，WTSS法優化波形的自相關旁瓣低于SWORD法優化波形和無約束波形的自相關旁瓣，自相關性能最優。

實驗3：若目標為擴展目標，其高分辨率一維距離像模型如圖6所示。其余仿真條件同實驗1。由于受到目標脈沖響應的影響，既需要抑制有色噪聲，減少波形能量在有色噪聲頻帶處的分布，又要與目標的脈沖響應相匹配，使波形能量集中在目標能量較大的頻帶處，因此，在該仿真實驗中，三種波形均不能在有色噪聲頻帶處形成明顯的零陷，這里不再給出其功率譜密度圖。從SNR的角度看，WTSS法的SNR損失比SWORD法低 8.92 dB，因此，可更有效地抑制有色噪聲。

圖6 目標一維高分辨率距離像

圖7給出了三種波形的自相關特性，與SWORD法相比，WTSS法所優化波形的旁瓣較低，自相關性能較好。與無約束波形相比，雖然WTSS法優化波形離主瓣較遠處的距離旁瓣較高，

但其主瓣附近的旁瓣較低，且主瓣較窄，由于主瓣附近的旁瓣對鄰近目標分辨能力的影響較大，因此，WTSS法優化波形的距離分辨力較佳，可見，WTSS法優化波形的自相關性能最優。

以上各實驗中三種波形的主旁瓣比、PAPR以及SNR損失具體數值分別如表1所示。就PAPR而言，SWORD法優化波形和無約束波形的PAPR均超出了系統可承受范圍，WTSS法優化波形的PAPR最低，且符合系統要求。從各實驗中三種波形的主旁瓣比值可以看出，WTSS法優化波形的主旁瓣比最高，微弱信號被掩蓋的幾率最小。與SWORD法相比，WTSS法在抑制有色噪聲、提高自相關主旁瓣比和降低PAPR三方面均較優。與無約束波形相比，WTSS法僅以較小的SNR損失換取波形自相關性能和PAPR的較大改善，達到SNR與波形自相關性能和PAPR間的良好折中，有利于提高雷達系統的整體性能，適合實際工程應用。

表1 各實驗中三種波形的主旁瓣比、PAPR

圖8給出了上述三個實驗中目標函數的收斂曲線。從圖中可看出：實驗1、實驗2和實驗3中目標函數分別經過267、218和351次迭代后收斂。實驗2中有三段頻帶含有色噪聲，可從TCN矩陣中提取的目標信號子空間基的個數較少，即M值較小，因此求解目標函數的運算量相對于實驗1和3較小，目標函數收斂速度較快，但損失了波形設計的自由度，優化所得目標函數值較大，既波形自相關旁瓣較高。SQP算法運算量較大，不能實時優化波形，實際運用中，可預先對無目標環境進行探測，根據多種可能出現的雷達場景設計發射波形，形成最優波形庫，供雷達系統根據實際環境自適應選擇所需波形。

圖8 目標函數收斂曲線

4. 結 論

基于目標信號子空間優化加權系數設計發射波形能夠有效地抑制有色噪聲，提高匹配濾波器輸出SNR，優化檢測性能，同時降低波形的距離旁瓣，減小微弱信號被掩蓋的機率，并保證PAPR在雷達系統可接受的范圍內，降低收發系統的動態范圍，適合實際工程應用。相比僅以最大化SNR為目標優化波形，WTSS法優化波形具有更優的性能，雷達的整體性能得到提高，適應性增強。同時WTSS法可根據實際戰場環境自適應設計所需功率譜，并可單獨設置約束條件，同逼近預先設定波形相比，該方法靈活性較強。

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